/安徽省皖北縣2024_2025學(xué)年高二下冊(cè)3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、單選題（本大題共8小題）1．在全球高鐵技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)中，中國(guó)站到了前沿.全國(guó)政協(xié)委員、中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗(yàn)，預(yù)計(jì)將在一年后投入商業(yè)運(yùn)營(yíng).小張需要乘坐G302次高鐵從合肥到北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，則小張的購(gòu)票方案種數(shù)為（

）A．19 B．20 C．90 D．2002．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．10 C．19 D．383．有3名男生和3名女生去影院觀影，他們買了同一排相連的6個(gè)座位，若3名女生必須相鄰，則不同的坐法有（

）A．24種 B．48種 C．96種 D．144種4．已知，則（

）A．364 B．365 C．728 D．7305．已知點(diǎn)是拋物線：上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則面積的最大值是（

）A．2 B． C． D．7．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在用7種顏色給5個(gè)小區(qū)域（，，，，）涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有（

）

A．2520種 B．3360種 C．3570種 D．4410種二、多選題（本大題共3小題）9．下列關(guān)于的二項(xiàng)展開(kāi)式，說(shuō)法正確的是（

）A．展開(kāi)式共有10項(xiàng) B．展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024C．展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為8064 D．展開(kāi)式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)D．是函數(shù)的極大值11．將個(gè)數(shù)排成行列的一個(gè)數(shù)陣，如：該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個(gè)數(shù)的和為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的圖象在處的切線方程是.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則.14．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支和左支分別交于點(diǎn)，，若的面積為，且的面積是面積的2倍，則雙曲線的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．高二（3）班的3個(gè)男生，2個(gè)女生（含學(xué)生甲、乙）在寒假期間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).（用數(shù)字作答下列問(wèn)題）(1)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)有5項(xiàng)不同的工作，要求每個(gè)人只能做一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作都有人去做，求不同的分配方案的種數(shù)；(2)活動(dòng)后5人排成一排拍照，求甲不在中間，乙不在排頭的排法種數(shù).16．已知數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求證：對(duì)且，都有.18．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸與軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是的右焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.19．在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用（其中，）表示，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向，我們可以確定一條直線，例如：已知點(diǎn)在直線上，是直線的一個(gè)方向向量，則直線上任意一點(diǎn)滿足，化簡(jiǎn)得直線的方程為.而在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都可以表示成（其中，且），類似的，在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)平面的法向量也可以確定一個(gè)平面.(1)若點(diǎn)，，，求平面的方程；(2)求證：是平面的一個(gè)法向量；(3)已知某平行六面體，平面的方程為，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，平面的方程為，求平面與平面夾角的余弦值.

答案1．【正確答案】A【詳解】因?yàn)榇舜胃哞F列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，按照分類加法計(jì)數(shù)原理可得小張的購(gòu)票方案種數(shù)為.故選A.2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以.故選C.3．【正確答案】D【詳解】先把3名女生看成一個(gè)整體，有種排法，再把這個(gè)整體與另外3名男生排列，有種排法，則不同的坐法有種坐法.故選D.4．【正確答案】B【詳解】令，得①，令，得②，①+②，得，所以.故選B.5．【正確答案】B【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，由拋物線的定義可知，，所以當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值，.故選B.6．【正確答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋裕淼茫渣c(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，又直線的方程為軸，所以點(diǎn)到直線的最大距離為圓的半徑，即，所以面積的最大值為.故選C.7．【正確答案】D【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋圆坏仁娇勺優(yōu)椋矗裕矗圆坏仁降慕饧癁?故選D.8．【正確答案】D【詳解】分4步進(jìn)行分析：①對(duì)于區(qū)域，有7種顏色可選；②對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有6種顏色可選；③對(duì)于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有5種顏色可選；④對(duì)于區(qū)域、若與顏色相同，區(qū)域有5種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有4種顏色可選，區(qū)域有4種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇.綜上所述，不同的涂色方案有種.故選D.9．【正確答案】BD【詳解】由題意可知，展開(kāi)式共有11項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故B正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故D正確.故選BD.10．【正確答案】AD【詳解】由圖可知，所以函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0，故A正確；由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值，故D正確.故選AD.11．【正確答案】ACD【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得.因?yàn)椋裕獾茫ǎ崛ィ蔄正確；所以.，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】【詳解】由已知，得，，所以，所以所求切線方程為，即.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋裕詳?shù)列是常數(shù)列，因?yàn)椋裕?14．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋裕矗驗(yàn)椋裕裕矗O(shè)，，由的面積是面積的2倍，得，則，，在中，，所以，解得，所以，，因?yàn)椋裕茫矗噪p曲線的離心率為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）5個(gè)人做5項(xiàng)不同的工作，要求每個(gè)人只能做一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作都有人去做，不同的分配方案總數(shù)為種.（2）方法一：甲不在中間，乙不在排頭的排法可以分兩類：①甲在排頭，其他4人隨機(jī)排，則有種排法；②甲不在排頭也不在中間，甲有3個(gè)位置可以選擇，乙不在排頭，有3個(gè)位置可以選擇，其他3人隨機(jī)排，則有種排法.綜上所述，甲不在中間，乙不在排頭的排法種數(shù)共有種.方法二：5人隨機(jī)排有種排法，其中甲在中間，其他4人隨機(jī)排，有種排法，乙在排頭，其他4人隨機(jī)排，有種排法，甲在中間，乙在排頭，其他3人隨機(jī)排，有種排法.綜上所述，甲不在中間，乙不在排頭的排法種數(shù)共有種.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）因?yàn)椋裕?因?yàn)椋裕詳?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即.（2）因?yàn)椋?其中.令，，兩式相減，得.所以，所以.17．【正確答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：因?yàn)椋x域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：不妨設(shè)，要證對(duì)，都有，只需證，即需證.構(gòu)造函數(shù)，則需證函數(shù)在上為增函數(shù)，結(jié)合，因?yàn)椋院瘮?shù)在上為增函數(shù)成立，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)且，都有.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)的方程為，將點(diǎn)，代入，得解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，，，當(dāng)直線的斜率不存在，直線的斜率為0時(shí)，，，所以四邊形的面積.當(dāng)直線，的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，由題意得，，.所以，同理，四邊形的面積.令，則，所以當(dāng)，即時(shí)，，所以.綜上所述，四邊形面積的取值范圍.19．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）解：，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，所以.設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，由，得，所以平面的方程為.（2）證明