§8.4直線與圓、圓與圓的位置關系課標要求1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.1.直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點Δ0

Δ0

Δ0

幾何觀點dr

dr

dr

2.圓與圓的位置關系(☉O1，☉O2的半徑分別為r1，r2，d=|O1O2|)圖形量的關系外離外切相交內切內含3.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|=.(2)代數法：設直線y=kx+m與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|=.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若兩圓沒有公共點，則兩圓一定外離.()(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.()(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實數解，則直線與圓相切.()(4)在圓中最長的弦是直徑.()2.直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關系是()A.相交且直線經過圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線不經過圓心3.直線2x-y+1=0與圓x2+y2=2交于A，B兩點，則弦AB的長度為()A.425 B.655 C.4.圓C1：x2+y2=4與圓C2：x2+y2-8x-6y+16=0的位置關系是()A.外切 B.相交 C.外離 D.內切1.牢記三個相關結論(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)過圓x2+y2=r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.注意：求該類直線的方程亦可以用“留一代一”的方式進行，即將x2用xx0替換，y2用yy0替換，x用x+x02替換，y2.靈活應用兩圓相交時公共弦的性質圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交時：(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2).題型一直線與圓的位置關系命題點1位置關系的判斷例1(多選)已知圓C：(x-2)2+y2=16，直線l：mx+y-3m-1=0，則下列結論中正確的是()A.直線l恒過定點(3，1)B.直線l與圓C相切C.直線l與圓C相交D.直線l與圓C相離思維升華判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系判斷.(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷.(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交.命題點2弦長問題例2已知直線l：y=kx+3與圓C：(x-1)2+(y-1)2=4交于A，B兩點，若|AB|=23，則k等于()A.-34 B.34 C.12 D思維升華弦長的兩種求法(1)代數法：將直線和圓的方程聯立方程組，根據弦長公式求弦長.(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l=2r2命題點3切線問題例3(多選)過點A(4，-3)作圓(x-3)2+(y-1)2=1的切線，所得切線方程為()A.x=4 B.15x+8y-36=0C.y=-3 D.8x-15y-3=0思維升華當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設切線方程為y-y0=k(x-x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d=r，進而求出k.(2)代數法：設切線方程為y-y0=k(x-x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ=0進而求得k.注意驗證斜率不存在的情況.命題點4直線與圓位置關系中的最值問題例4已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓C：x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，則四邊形PACB面積的最小值為.思維升華涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(最值)問題，解題關鍵是能夠把所求線段長表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數的形式，利用求函數值域的方法求得結果.跟蹤訓練1(1)(多選)已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.則下列命題正確的有()A.直線l恒過定點(3，1)B.y軸被圓C截得的弦長為26C.直線l與圓C恒相交D.直線l被圓C截得弦長最短時，直線l的方程為2x-y-5=0(2)(多選)(2024·南京模擬)已知點P在圓O：x2+y2=4上，直線l：4x+3y-12=0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，則()A.過點B作圓O的切線，則點B到切點的距離為23B.滿足PA·PB=0的點P僅有1個C.點P到直線l距離的最大值為22D.|PA+PB|的最小值是1題型二圓與圓的位置關系例5(多選)已知圓C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圓C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R.則下列選項正確的是()A.直線C1C2恒過定點(3，0)B.當圓C1和圓C2外切時，若P，Q分別是圓C1，C2上的動點，則|PQ|max=10C.若圓C1和圓C2共有2條公切線，則a<4D.當a=13時，圓C1與圓C2相交弦的弦長為思維升華(1)判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法.(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到.跟蹤訓練2(多選)(2024·長沙模擬)若圓O1：x2+y2+2x-3=0與圓O2：x2+y2-2y-1=0交于A，B兩點，則下列選項中正確的是()A.點(1，-1)在圓O2內B.直線AB的方程為x+y-1=0C.圓O1上的點到直線AB的距離的最大值為2+2D.圓O2上存在兩點P，Q，使得|PQ|>|AB|答案精析落實主干知識1.<=>>=<2.d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|3.(1)2r2-d2自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.D3.B4.A探究核心題型例1AC[圓C：(x-2)2+y2=16的圓心C(2，0)，半徑r=4，直線l：m(x-3)+y-1=0恒過定點(3，1)，顯然(3-2)2+12=2<4=r，因此點(3，1)在圓C內，直線l與圓C相交，B，D錯誤，A例2A[圓C：(x-1)2+(y-1)2=4的圓心C(1，1)，r=2，所以圓心C(1，1)到直線l：y=kx+3的距離d=k而d=r2-|AB|2所以d=k+2|1+k2=1，解得例3AB[由圓心為(3，1)，半徑為1，當過點A(4，-3)的切線斜率存在時，設切線方程為y=k(x-4)-3，則圓心到切線的距離d=|-k可得k=-15所以y=-158(x-4)-3即15x+8y-36=0；當切線斜率不存在時，切線方程為x=4，顯然與圓相切，綜上，切線方程為15x+8y-36=0或x=4.]例422解析圓C：x2+y2-2x-2y+1=0，即圓C：(x-1)2+(y-1)2=1，所以圓心C(1，1)，半徑r=1，如圖，連接PC，因為S四邊形PACB=2S△PAC=2×12×|AP|·|AC|=|AP|=所以求S四邊形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圓心C到直線3x+4y+8=0的距離d，即d=|3+4+8|所以四邊形PACB面積的最小值為9-1=22.跟蹤訓練1(1)ACD[由已知可得，圓心C(1，2)，半徑r=5，直線方程可化為l：m(2x+y-7)+x+y-4=0，由2x+所以直線l恒過定點(3，1)，A正確；將x=0代入圓的方程有1+(y-2)2=25，解得y=2±26所以y軸被圓C截得的弦長為46，B因為點(3，1)到圓心C(1，2)的距離為(1-3)2+(2-1)2所以點(3，1)在圓內，直線l與圓C恒相交，C正確；當圓心C(1，2)與定點(3，1)的連線恰好與l垂直時，圓心到直線的距離最大，直線l被圓C截得的弦長最短，則l的斜率k應滿足1-23-1·k=-1，所以k=2代入點斜式方程有y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0，D正確.](2)ACD[點A(3，0)，點B(0，4)，設圓O的半徑為r，過點B作圓O的切線，所以點B到切點的距離為|OB|2-r2=16-4由中點坐標公式得線段AB的中點為M32，2，由兩點間距離公式得|AB|=5，則以線段AB為直徑的圓M的方程為x-322因為|OM|=94+4而52-2=12滿足12<52<92，所以圓M與圓O相交，所以滿足PA·PB=0的點P有圓心O到直線l的距離為|-12|42+32=125，半徑r=2線段AB的中點為M3則PM=12(PA+所以|PA+PB|=2|PM|，因為|PM|min=|OM|-r=52-2=所以|PA+PB|的最小值是1，故D正確.]例5ABD[由圓C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圓C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，可知C1(1，2a)，C2(4，-a)，故直線C1C2的方程為y+a=-a(x-4)，即y=-a(x-3)，則直線C1C2恒過定點(3，0)，A正確；圓C1的半徑r1=3，又圓C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R即(x-4)2+(y+a)2=4，a∈R，圓C2的半徑r2=2，當圓C1和圓C2外切時，|C1C2|=r1+r2=3+2=5，|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=10，B正確；若圓C1和圓C2共有2條公切線，則兩圓相交，又|C1C2|=(1-4)2則3-2<|C1C2|<3+2，即1<9+9a2<5，解得-43<a<當a=13圓C1：(x-1)2+y-2圓C2：(x-4)2+y+1將兩方程相減可得公共弦方程為6x-2y-593=0，則C11，23到直線6x-2y6-43則圓C1與圓C2相交弦的弦長為29-31042=3跟蹤訓練2BC[因