解答題滾動(dòng)練21.天然氣是較為安全的燃?xì)庵唬缓谎趸迹脖瓤諝廨p，一旦泄露，立即會(huì)向上擴(kuò)散，不易積累形成爆炸性氣體，安全性較高，其優(yōu)點(diǎn)有：①綠色環(huán)保；②經(jīng)濟(jì)實(shí)惠；③安全可靠；④改善生活.某市政府為了節(jié)約居民天然氣，計(jì)劃在本市試行居民天然氣定額管理，即確定一個(gè)居民年用氣量的標(biāo)準(zhǔn)，為了確定一個(gè)較為合理的標(biāo)準(zhǔn)，必須先了解全市居民日常用氣量的分布情況，現(xiàn)采用抽樣調(diào)查的方式，獲得了n位居民某年的用氣量(單位：立方米)，樣本統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖表.分組頻數(shù)頻率[0，10)25[10，20)0.19[20，30)50[30，40)0.23[40，50)0.18[50，60)5(1)分別求出n，a，b的值；(2)若從樣本中年均用氣量在[50，60](單位：立方米)的5位居民中任選2人作進(jìn)一步的調(diào)查研究，求年均用氣量最多的居民被選中的概率(5位居民的年均用氣量均不相等).解(1)用氣量在[20，30)內(nèi)的頻數(shù)是50，頻率是0.025×10＝0.25，則n＝eq\f(50,0.25)＝200.用氣量在[0，10)內(nèi)的頻率是eq\f(25,200)＝0.125，則b＝eq\f(0.125,10)＝0.0125.用氣量在[50，60]內(nèi)的頻率是eq\f(5,200)＝0.025，則a＝eq\f(0.025,10)＝0.0025.(2)設(shè)A，B，C，D，E代表用氣量從多到少的5位居民，從中任選2位，總的基本事件為AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10個(gè)，包含A的有AB，AC，AD，AE，共4個(gè)，所以P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥側(cè)面ABB1A1，∠B1A1A＝∠C1A1A＝60°，AA1＝AC＝4，AB＝1.(1)求證：A1B1⊥B1C1；(2)求三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面積.(1)證明取AA1的中點(diǎn)O，連接OC1，AC1.∵AA1＝AC＝A1C1＝4，∠C1A1A＝60°，∴△AC1A1為正三角形，∴OC1⊥AA1，OC1＝2eq\r(3)，又側(cè)面ACC1A1⊥側(cè)面ABB1A1，平面ACC1A1∩平面ABB1A1＝AA1，OC1?平面ACC1A1，∴OC1⊥平面ABB1A1，又A1B1?平面ABB1A1，∴OC1⊥A1B1，在△OA1B1中，∵∠OA1B1＝60°，A1B1＝AB＝1，OA1＝2，∴OBeq\o\al(2,1)＝1＋4－2×1×2×cos60°＝3，解得OB1＝eq\r(3)，∴OAeq\o\al(2,1)＝OBeq\o\al(2,1)＋A1Beq\o\al(2,1)，∴A1B1⊥OB1.又OB1∩OC1＝O，OB1?平面OB1C1，OC1?平面OB1C1，∴A1B1⊥平面OB1C1，∵B1C1?平面OB1C1，∴A1B1⊥B1C1.(2)解依題意，＝2×eq\f(1,2)×A1B1×AA1×sin60°＝2eq\r(3)，＝2×eq\f(1,2)×OC1×AA1＝8eq\r(3)，在平行四邊形ABB1A1中，過(guò)B1作B1E⊥AA1于點(diǎn)E，過(guò)O作OF⊥BB1于點(diǎn)F，則四邊形OFB1E為矩形，∴OF＝B1E，由(1)知OC1⊥平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，∴BB1⊥OC1，∵BB1⊥OF，OC1∩OF＝O，OC1?平面OC1F，OF?平面OC1F，∴BB1⊥平面OC1F，∵C1F?平面OC1F，∴C1F⊥BB1，∵B1E＝A1B1×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴在Rt△OC1F中，OC1＝2eq\r(3)，OF＝B1E＝eq\f(\r(3),2).∴C1F＝eq\r(2\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(51),2)，∴＝BB1×C1F＝2eq\r(51)，∴三棱錐ABC－A1B1C1的側(cè)面積S＝2eq\r(3)＋8eq\r(3)＋2eq\r(51)＝10eq\r(3)＋2eq\r(51).3.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝9，且an＝an－1＋λn－1(n≥2).(1)求λ的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝(－1)n·(an＋n)，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S2n.解(1)∵a1＝1，an＝an－1＋λn－1，∴a2＝2λ，a3＝5λ－1，由a3＝5λ－1＝9，得λ＝2，于是an＝an－1＋2n－1，即an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，an－2－an－3＝2n－5，…，a2－a1＝3，n＞3.以上各式累加得an＝1＋eq\f(n－12n＋2,2)＝n2，n＞3.經(jīng)驗(yàn)證知，a1，a2，a3也滿足an＝n2，故an＝n2(n∈N*).(2)由(1)得bn＝(－1)n·(an＋n)＝(－1)n·n(n＋1)，故S2n＝－1×2＋2×3－3×4＋4×5－5×6＋6×7－…－(2n－1)·2n＋2n·(2n＋1)＝2(－1＋3)＋4(－3＋5)＋6(－5＋7)＋…＋2n(－2n＋1＋2n＋1)＝2(2＋4＋6＋…＋2n)＝2·eq\f(n2n＋2,2)＝2n2＋2n.4.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到點(diǎn)F(1，0)的距離比到直線x＝－2的距離小1，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為E.(1)求曲線E的方程；(2)若直線l：y＝kx＋m(km＜0)與曲線E相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝5，證明：直線l經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(1)解由題意可得動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)F(1，0)的距離等于到直線x＝－1的距離，∴曲線E是以點(diǎn)(1，0)為焦點(diǎn)，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為y2＝2px(p＞0)，∴eq\f(p,2)＝1，∴p＝2，∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程為y2＝4x.(2)證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,y2＝4x))得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4－2km,k2)，x1x2＝eq\f(m2,k2).∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝5，∴x1x2＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋k2))x1x2＋kmeq\b\lc\(