12.5

離散型隨機(jī)變量的均值與方差-2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23141.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.(1)均值:稱(chēng)E(X)=

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.

x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn標(biāo)準(zhǔn)差

-3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23142.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=

;

(2)E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);(3)D(aX+b)=

.

aE(X)+b

a2D(X)-4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23143.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值與方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=

,D(X)=

.

(2)若X~B(n,p),則E(X)=

,D(X)=

.

pp(1-p)np

np(1-p)-5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23144.常用結(jié)論(1)如果X1,X2相互獨(dú)立,那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).(2)均值與方差的關(guān)系:D(X)=E(X2)-E2(X).(3)超幾何分布的均值:若X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則2-6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)3415答案答案關(guān)閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)√1.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無(wú)關(guān).(

)(2)均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況,因此它們是一回事.(

)(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小.(

)(4)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值,σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(

)-7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉2.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,則(

)A.n=5,p=0.32 B.n=4,p=0.4C.n=8,p=0.2 D.n=7,p=0.45-8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234154.設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,且概率都是0.4,則此人三次上班途中遇紅燈次數(shù)的均值為

(

)A.0.4 B.1.2 C.0.43 D.0.6答案解析解析關(guān)閉∵途中遇紅燈的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布,即X~B(3,0.4),∴E(X)=3×0.4=1.2.答案解析關(guān)閉B-10-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234155.(2017全國(guó)Ⅱ,理13)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)=

.

答案解析解析關(guān)閉由題意可知抽到二等品的件數(shù)X服從二項(xiàng)分布,即X~B(100,0.02),其中p=0.02,n=100,則D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案解析關(guān)閉1.96-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1某大學(xué)對(duì)參加了“世博會(huì)”的該校志愿者實(shí)施“社會(huì)教育實(shí)踐”學(xué)分考核,因該批志愿者表現(xiàn)良好,該大學(xué)決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次,若某志愿者考核為合格,授予0.5個(gè)學(xué)分;考核為優(yōu)秀,授予1個(gè)學(xué)分.假設(shè)該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為

他們考核所得的等次相互獨(dú)立.(1)求在這次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率;(2)記這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為隨機(jī)變量ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值E(ξ).思考怎樣求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差?-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

解

(1)記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A,“乙考核為優(yōu)秀”為事件B,“丙考核為優(yōu)秀”為事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E,-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫(xiě)出X的全部可能取值.(2)求X取每個(gè)值的概率.(3)寫(xiě)出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).2.注意性質(zhì)的應(yīng)用:若隨機(jī)變量X的均值為E(X),則對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量aX+b的均值是aE(X)+b,方差為a2D(X).-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2某新建公司規(guī)定,招聘的職工須參加不少于80小時(shí)的某種技能培訓(xùn)才能上班.公司人事部門(mén)在招聘的職工中隨機(jī)抽取200名參加這種技能培訓(xùn)的數(shù)據(jù),按時(shí)間段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](單位:小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)求抽取的200名職工中參加這種技能培訓(xùn)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù),并估計(jì)從招聘職工中任意選取一人,其參加這種技能培訓(xùn)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率;(2)從招聘職工(人數(shù)很多)中任意選取3人,記X為這3名職工中參加這種技能培訓(xùn)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù).試求X的分布列、均值E(X)和方差D(X).思考如何簡(jiǎn)便地求二項(xiàng)分布的均值與方差?-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解

(1)依題意,參加這種技能培訓(xùn)時(shí)間在時(shí)間段[90,95)小時(shí)的職工人數(shù)為200×0.06×5=60,在時(shí)間段[95,100]小時(shí)的職工人數(shù)為200×0.02×5=20,故抽取的200名職工中參加這種技能培訓(xùn)時(shí)間不少于90小時(shí)的職工人數(shù)為80,因此從招聘職工中任意選取一人,其參加這種技能培訓(xùn)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率估計(jì)為-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí),可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布,如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大減少計(jì)算量.-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng),小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng),記他們的累計(jì)得分為X,求X≤3的概率;(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),問(wèn):他們選擇何種方案抽獎(jiǎng),累計(jì)得分的均值較大?-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例3某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(3)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的均值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?思考如何利用均值與方差對(duì)生活中相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行決策?-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解

(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列為-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).當(dāng)n=19時(shí),E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4

040.當(dāng)n=20時(shí),E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4

080.可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的均值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的均值,故應(yīng)選n=19.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得利用均值、方差進(jìn)行決策的方法:均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”,因此,當(dāng)均值不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分曉,由此可對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策判斷;若兩個(gè)隨機(jī)變量均值相同或相差不大,則可通過(guò)分析兩個(gè)變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,方差越小,則偏離均值的平均程度越小,進(jìn)而進(jìn)行決策.-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2017全國(guó)Ⅲ,理18)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?解:(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500