湖南省衡陽市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列幾何體中，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)最少的是（

）A．四棱錐 B．長方體 C．四棱臺 D．四面體2．（

）A． B．C． D．3．已知直線，及平面，，且，，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．已知單位向量，滿足，則與的夾角為（

）A．0 B． C． D．5．將顏色為紅、黃、白的3個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人1個(gè)，則與事件“甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球、乙分得紅球”互為對立事件的是（

）A．甲分得黃球 B．甲分得白球C．丙沒有分得白球 D．甲分得白球，乙分得黃球6．在矩形中，若，且，則（

）A．3 B．1 C．2 D．47．如圖，兩座山峰的高度，為測量峰頂和峰頂之間的距離，測量隊(duì)在點(diǎn)（，，在同一水平面上）測得點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)的仰角為，且，則兩座山峰峰頂之間的距離（

）A．300m B．600m C． D．8．在正三棱柱中，，M是AB的中點(diǎn)，N是棱上的動點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在長方體中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別在棱，，，上，且平面平面，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．平面10．Z國進(jìn)口的天然氣主要分為液化天然氣和氣態(tài)天然氣兩類.2023年Z國天然氣進(jìn)口11997噸，其中液化天然氣進(jìn)口7132噸，氣態(tài)天然氣進(jìn)口4865噸.2023年Z國天然氣及氣態(tài)天然氣進(jìn)口來源分布及數(shù)據(jù)如圖所示：下列結(jié)論正確的是（

）A．2023年Z國從B國進(jìn)口的液化天然氣比從A國進(jìn)口的多B．2023年Z國沒有從A國進(jìn)口液化天然氣C．2023年Z國從C國進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國進(jìn)口的多D．2023年Z國從B國進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國進(jìn)口的多11．在中，D是BC的中點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．面積的最大值為C． D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知復(fù)數(shù)，則.13．在某次調(diào)查中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法得到10個(gè)A類樣本，30個(gè)B類樣本.若A類樣本的平均數(shù)為5.5，總體的平均數(shù)為4，則B類樣本的平均數(shù)為.14．已知某圓臺的母線長為3，下底面的半徑為1，若球O與該圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，則球O的表面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，.(1)若，求；(2)若向量，，求與夾角的余弦值.16．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)證明：；(2)若，，求的周長.17．為了解某校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，該年級組織了一次測試.已知此次考試共有1000名學(xué)生參加，將考試成績分成六組：第一組，第二組，…，第六組.整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)該校根據(jù)試卷的難易程度進(jìn)行分析，認(rèn)為此次成績不低于110分，則階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”，試估計(jì)這1000名學(xué)生中階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”的人數(shù)；(2)若采用等比例分層抽樣的方法，從成績在和內(nèi)的學(xué)生中共抽取6人，查看他們的答題情況來分析知識點(diǎn)的掌握情況，再從中隨機(jī)選取3人進(jìn)行面對面調(diào)查分析，求這3人中恰有1人成績在內(nèi)的概率.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱BP上，且，四邊形ABCD為正方形，.

(1)證明：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值.19．在世界杯小組賽階段，每個(gè)小組內(nèi)的四支球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)比賽，共打6場，每場比賽中，勝、平、負(fù)分別積3，1，0分.每個(gè)小組積分的前兩名球隊(duì)出線，進(jìn)入淘汰賽.若出現(xiàn)積分相同的情況，則需要通過凈勝球數(shù)等規(guī)則決出前兩名，每個(gè)小組前兩名球隊(duì)出線，進(jìn)入淘汰賽.假定積分相同的球隊(duì)，通過凈勝球數(shù)等規(guī)則出線的概率相同（例如：若B，C，D三支積分相同的球隊(duì)同時(shí)爭奪第二名，則每個(gè)球隊(duì)奪得第二名的概率相同）.已知某小組內(nèi)的A，B，C，D四支球隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，且每支球隊(duì)在每場比賽中勝、平、負(fù)的概率都是，每場比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求A球隊(duì)在小組賽的3場比賽中只積3分的概率；(2)已知在已結(jié)束的小組賽的3場比賽中，A球隊(duì)勝2場，負(fù)1場，求A球隊(duì)最終小組出線的概率.

參考答案1．【答案】D【分析】直接根據(jù)幾何體的特征去判斷即可．【詳解】四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn)，長方體和四棱臺有8個(gè)頂點(diǎn)，四面體有4個(gè)頂點(diǎn)．故選D.2．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則可得答案.【詳解】.故選B.3．【答案】B【詳解】對于A：若，則不一定垂直，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕蔅正確；對于C：若，則不一定平行于，故C錯(cuò)誤；對于D：若，則或，故D錯(cuò)誤.故選B.4．【答案】C【分析】根據(jù)單位向量定義與等量關(guān)系可得，再利用夾角的計(jì)算公式即可求解.【詳解】由題意得，因?yàn)椋裕裕驗(yàn)椋裕磁c的夾角為.故選C.5．【答案】C【分析】由對立事件的概念即可得解.【詳解】甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球，乙分得紅球，即丙分得白球，與丙沒有分得白球互為對立事件.故選C.6．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合向量的加減法法則即可得解．【詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦危砸驗(yàn)椋?故選D.7．【答案】C【分析】在，中利用銳角三角函數(shù)求出，，再在中利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】在中，，在中，，在中，．故選C.8．【答案】D【分析】根據(jù)題意，先畫出圖象，作，然后由面面的垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而可知為直線與平面所成的角，當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，取得最小值，從而可得直線與平面所成角的正切值的最大值.【詳解】如圖，作，垂足為G，連接.

在正三棱柱中，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫云矫?故為直線與平面所成的角.當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，取得最小值.不妨設(shè)，則，的最小值為a，于是.故選D.9．【答案】ABD【分析】利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面平行的判定定理逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫媾c平面和平面的都相交，是交線，所以，故A正確；因?yàn)殚L方體，所以平面平面，而平面與這兩個(gè)平行平面的都相交，是交線，所以，故B正確，如圖，連接，此時(shí)平面與平面和平面的都相交，是交線，所以，而，所以，又因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危裕运倪呅问瞧叫兴倪呅危裕驗(yàn)椋耘c不平行，故C錯(cuò)誤；如圖，連接，由長方體性質(zhì)得面面，此時(shí)平面與這兩個(gè)平面的都相交，是交線，所以，又因?yàn)槊妫妫云矫妫蔇正確.故選ABD.10．【答案】ABC【分析】由餅狀統(tǒng)計(jì)圖的實(shí)際含義逐一驗(yàn)算各個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】對于B，2023年Z國從A國進(jìn)口天然氣2480噸，全部為氣態(tài)天然氣，所以2023年Z國沒有從A國進(jìn)口液化天然氣，B正確.對于A，2023年Z國從B國進(jìn)口天然氣2435噸，其中氣態(tài)天然氣1630噸，液化天然氣805噸，所以2023年Z國從B國進(jìn)口的液化天然氣比從A國進(jìn)口的多，A正確.對于C，假設(shè)2023年Z國氣態(tài)天然氣其余部分全部來自C國，共噸，則Z國從C國進(jìn)口液化天然氣噸，仍然大于從D國進(jìn)口的天然氣的總量，所以2023年Z國從C國進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國進(jìn)口的多，C正確.對于D，2023年Z國從B國進(jìn)口液化天然氣噸，2023年Z國從D國進(jìn)口的天然氣總量為1666噸，若全部為液化天然氣，則2023年Z國從B國進(jìn)口的液化天然氣比從D國進(jìn)口的少，D錯(cuò)誤.故選ABC.11．【答案】BCD【分析】根據(jù)勾股定理可判定A；根據(jù)三角形面積公式可判定B；根據(jù)向量運(yùn)算可判定C；結(jié)合正余弦定理可判定D.【詳解】在中，，所以，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，最大，所以面積的最大值為，故B正確；，故C正確；在中，由正弦定理可得，得.在中，由余弦定理可得，即.在中，由余弦定理可得，即，所以，整理得，解得（舍去），故D正確.12．【答案】【詳解】因?yàn)椋?13．【答案】3.5【分析】設(shè)B類樣本的平均數(shù)為x，通過總體的平均數(shù)列方程，進(jìn)而解方程可得B類樣本的平均數(shù).【詳解】設(shè)B類樣本的平均數(shù)為x，則，解得.故答案為：.14．【答案】【分析】把空間問題降維，轉(zhuǎn)化在軸截面中進(jìn)行研究，需要理解軸截面的概念，利用等面積法及勾股定理建立等式求解．【詳解】如圖：

在軸截面梯形中，，，設(shè)球O的半徑為r，．，解得：，因?yàn)椋裕郧騉的表面積為，故答案為：．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?由，可得，即，解得，所以，故；（2）依題意得.因?yàn)椋裕獾茫瑒t,，，，所以，所以與夾角的余弦值為.16．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等變換即可得證；（2）由正弦定理以及三角恒等變換即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋裕烧叶ɡ砜傻?因?yàn)椋裕瑒t（或，舍去），即；（2）因?yàn)椋裕?.由，可得，.故的周長為.17．【答案】(1)200人(2)【分析】（1）用學(xué)生成績在內(nèi)的頻率乘以1000即可得解；（2）寫出從6人中任選3人的樣本空間，以及抽取的3人中恰有1人成績在內(nèi)的樣本空間寫出來，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，可得學(xué)生成績在內(nèi)的頻率為0.04，在內(nèi)的頻率為0.16，故估計(jì)這1000名學(xué)生中階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”的人數(shù)為.（2）學(xué)生成績在內(nèi)的頻率為0.08，在內(nèi)的頻率為0.16，則抽取的6人中，成績在內(nèi)的有2人，在內(nèi)的有4人.記成績在內(nèi)的4名學(xué)生為a，b，c，d，在內(nèi)的2名學(xué)生為E，F(xiàn)，則從6人中任選3人，樣本空間可記，共包含20個(gè)樣本.用事件A表示“這3人中恰有1人成績在內(nèi)”，則A={，，，}，A包含4個(gè)樣本.故所求概率.18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線面垂直的判定求證；（2）由轉(zhuǎn)化求解；（3）由線面垂直的性質(zhì)得即二面角的平面角，即可求解．【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌妫酌妫?因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫妫?在中，，E是PC的中點(diǎn)，則.因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫妫?（2）連接交于點(diǎn)，如圖所示：

則，又底面，平面，得，而，則平面，則點(diǎn)C到平面的距離為，因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以，，，，所以，，所以.（3）由（1）可得平面，因?yàn)槠矫妫矫妫裕?為二面角的平面角.，.因?yàn)椋裕獾?因?yàn)椋矗?故二面角的余弦值為.19．【答案】(1)(2)【分析】（1）分類討論只積3分的可能情況，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）由題意，若A球隊(duì)參與的3場比賽中勝2場，負(fù)1場，根據(jù)獲勝的三隊(duì)通過凈勝球數(shù)等規(guī)則決出前兩名，分情況討論結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）A球隊(duì)在小組賽的3場比賽中只積3分，有兩種情況.第一種情況：A球隊(duì)在3場比賽中都是平局，其概率為.第二種情況：A球隊(duì)在3場比賽中勝1場，負(fù)2場，其概率為.故所求概率為.（2）不妨假設(shè)A球隊(duì)參與的3場比賽的結(jié)果為A與B比賽，B勝；A與C比賽，A勝；A與D比賽，A勝.此情況下，A積6分，B積3分，C，D各積0分.在剩下的3場比賽中：若C與D比賽平局，則C，D每隊(duì)最多只能加4分，此時(shí)C，D的積分都低于A的積分，A可以出線；若B與C比賽平局，后面2場比賽的結(jié)果無論如何，都有兩隊(duì)的積分低于A，A可以出線；若B與