廣東省云浮市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．62．歐幾里得大約生活在公元前330年至公元前275年，著有《幾何原本》《光學(xué)》《曲面軌跡》《已知數(shù)》等著作．若從這4部著作中任意抽取2部，則抽到《光學(xué)》的概率為（

）A． B． C． D．3．設(shè)，則（

）A．2 B．3 C． D．44．已知在高考前最后一次模擬考試中，高三某班8名同學(xué)的物理成績分別為，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（

）A．86，84 B．， C．， D．85，845．在中，，則（

）A． B．C． D．6．在長方體中，與平面所成的角為與所成的角為，則（

）

A． B．C． D．7．已知矩形的對角線長為1，將沿折起得到三棱錐，且三棱錐的各個頂點均在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．有以下6個函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件為“從中任取的1個函數(shù)是奇函數(shù)”，事件為“從中任取的1個函數(shù)是偶函數(shù)”，事件的對立事件分別為，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（

）A． B．C． D．外接圓的面積為10．已知平面向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．一定可以作為一個基底B．一定有最小值C．一定存在一個實數(shù)，使得D．若，則在上的投影向量的坐標為11．在中，平面，邊在平面上的射影長分別為8，12，則邊在上的射影長可能為（

）A． B． C．15 D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知方程的一個根為，則.13．已知正方體的棱長為1，點到平面的距離為.14．如圖，在中，角所對的邊分別為，已知，的平分線交邊于點邊上的高為邊上的高為，，則；.

四、解答題（本大題共5小題）15．已知復(fù)數(shù).(1)若是純虛數(shù)，求；(2)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于第三象限，求的取值范圍.16．為了全面提高學(xué)生的素質(zhì)，促進學(xué)生德?智?體?美?勞全面發(fā)展，某校鼓勵學(xué)生在課余時間參加社會實踐活動，并從該校高一?高二?高三年級共2000名學(xué)生中隨機抽取100名，對他們某周參加活動的時長（單位：分鐘）進行了統(tǒng)計，并將時長按進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求；(2)估計該校學(xué)生每周參加社會實踐活動的平均時長（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)若該校高一?高二?高三年級學(xué)生人數(shù)比為，估計該校高三學(xué)生中每周參加社會實踐活動的時長不少于30分鐘的人數(shù).17．如圖，在四棱錐中，平面為的中點．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正切值．18．2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開了2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)工作，某市經(jīng)過初次選拔后有小明，小王，小紅三名同學(xué)成功進入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中三名同學(xué)同時解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題．已知小明成功解出這道題的概率是，小明，小紅兩名同學(xué)都解答錯誤的概率是，小王、小紅兩名同學(xué)都成功解出的概率是，這三名同學(xué)解答是否正確相互獨立.(1)分別求出小王，小紅兩名同學(xué)成功解出這道題的概率；(2)求三人中至少有兩人成功解出這道題的概率．19．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求角；(2)若為銳角三角形，設(shè)，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算即可求解.【詳解】因為，所以，解得.故選D.2．【答案】B【分析】利用列舉法求解即可.【詳解】記4部書籍分別為，則從從4部書籍中任意抽取2部的基本事件為共有6個，抽到《光學(xué)》的基本事件為共有3個.所以抽到《光學(xué)》的概率為.故選B.3．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則得到，利用模長公式求出答案.【詳解】因為，所以.故選A.4．【答案】C【分析】將數(shù)據(jù)排序，求出平均值和中位數(shù)即可.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按升序排列為，可得平均數(shù)，因為有8個數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)為.故選C.5．【答案】D【分析】由平面向量的加減法、數(shù)乘運算求解即可.【詳解】.故選D.6．【答案】C【分析】借助線面角定義與等角定理可得與相等，與相等，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理計算即可得.【詳解】連接，由長方體的性質(zhì)可得平面，故與平面所成的角為與相等，又平面，故，即，又，故與所成的角與與所成角相等，即與相等，又，故.

故選C.7．【答案】B【分析】由外接球的定義可知外接球球心到三棱錐四個頂點的距離相等，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知球心在矩形對角線中點，所以半徑為，由表面積求解即可.【詳解】由外接球的定義可知外接球球心到三棱錐四個頂點的距離相等.記矩形中心為，由矩形的性質(zhì)知點在翻折過程中到四個頂點的距離相等，即其為外接球球心，對角線的一半即為外接球半徑，則.故選B.8．【答案】D【分析】首先判斷各函數(shù)的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判斷即可.【詳解】由題可知，對于①：，則，解得，所以，故為偶函數(shù)且為奇函數(shù)；對于②：為奇函數(shù)；對于③：為奇函數(shù)；對于④：為偶函數(shù)；對于⑤：定義域為，為非奇非偶函數(shù)；對于⑥為非奇非偶函數(shù)；則事件為：①，②，③；事件為：④，⑤，⑥；事件為：①，④；事件為：②，③，⑤，⑥；事件為：①，②，③，④；為：⑤，⑥；所以，，，，，，所以，，故A，C錯誤；又為：①；所以為：②，③，④，⑤，⑥，所以，則，故B錯誤；因為，所以，故D正確.故選D.9．【答案】AC【分析】對于A，運用余弦定理求解即可；對于B,C,D借助正弦定理求解即可.【詳解】對于A：由余弦定理，得，解得或（舍去），故A正確.對于B，C：因為，所以，解得，故B錯誤，C正確.對于D：設(shè)外接圓的半徑為，因為，所以外接圓的面積為，故D錯誤.故選AC.10．【答案】BCD【分析】對于A，借助基底的定義與向量共線定理計算即可得；對于B，借助模長定義計算即可得；對于C，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，計算即可得；對于D，由投影向量的定義求解即可得.【詳解】對于A：當時，，不能作為平面向量的一個基底，故A錯誤；對于B：由，得，所以有最小值，故B正確；對于C：由，兩邊同時平方得，則，解得，故C正確；對于D：當時，，則，故D正確.故選BCD.11．【答案】AD【分析】根據(jù)射影概念，分情況討論當在的同側(cè)，異側(cè)，進行求解即可.【詳解】因為，且邊在平面上的射影長分別為8，12，所以點到的距離分別為6，9.當在的同一側(cè)時，在上的射影長為；當在的兩側(cè)時，在上的射影長為.故選AD．12．【答案】3【分析】方法一：根據(jù)題意得到方程的另一個根為，由韋達定理得到答案；方法二：將代入方程，求出答案.【詳解】方法一：因為的一個根為，則方程的另一個根為，結(jié)合韋達定理可得.方法二：將代入方程得，解得.13．【答案】【分析】根據(jù)等體積法即可求解.【詳解】

設(shè)點到平面的距離為，由，得，解得.14．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合角度關(guān)系分析可知，，即可得結(jié)果；根據(jù)題意利用正弦定理可得，，根據(jù)圖形分別求，即可得結(jié)果.【詳解】在中，可知，因為，且為的平分線，可知，則，在中，可得，在中，可得，所以；因為，，在中，由正弦定理可得，則，解得，在中，可知，則，由正弦定理可得，因為為的平分線，則，可得，在中，由正弦定理可得，在中，可知，在中，可知，所以.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義得到方程和不等式，求出；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限，得到不等式，求出答案.【詳解】（1）因為是純虛數(shù)，所以，由，解得或，由，解得且，故；（2）因為對應(yīng)的點位于第三象限，所以，所以，解得，故的取值范圍是.16．【答案】(1)(2)37(3)396【分析】（1）由所有分組的頻率之和為1，求的值；（2）利用頻率分布直方圖由公式計算平均值；（3）利用頻率計算頻數(shù).【詳解】（1）因為，所以；（2）估計該校學(xué)生每周參加社會實踐活動的平均時長為（分鐘）；（3）由題意知，該校高三年級人數(shù)為，所以估計該校高三學(xué)生巾參加社會實踐活動的時長不少于30分鐘的人數(shù)為.17．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)條件證出，，利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點，連接，先證明就是直線與平面所成的角，再解三角形即可．【詳解】（1）證明：因為平面平面，所以．連接，由，且，可知四邊形為平行四邊形．又，所以平行四邊形為正方形，則．因為，且，可知四邊形為平行四邊形．所以，所以．又平面，所以平面；（2）取的中點，連接．因為分別為的中點，所以．由（1）知平面，所以平面，則就是直線與平面所成的角．設(shè)，則，所以．在中，，所以所以．18．【答案】(1)小王、小紅解出概率分別為，(2)【分析】（1）借助對立事件的性質(zhì)及相互獨立事件乘法公式計算即可得；（2）借助相互獨立事件乘法公式計算即可得.【詳解】（1）設(shè)小明、小王、小紅成功解出該道題分別為事件A，B，C，根據(jù)題意，則有，則，又，所以，即，又，則．即小王、小紅成功解出這道題的概率分別為，；（2）設(shè)三人中至少有兩人成功解出這道題為事件D，則有，所以三人中至少有兩人成功解出這道題的概率為．19．【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：根據(jù)可得利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，進而分析求解；解法二：由內(nèi)角和定理結(jié)合正弦定理得出，再由三角恒等變換得出；（2）