專題二尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖專題突破篇備考指導(dǎo)·類型1直接利用基本作圖·類型2根據(jù)已知條件作三角形·類型3根據(jù)已知條件作四邊形·類型4根據(jù)已知條件作圖類型1直接利用基本作圖如圖1，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B＝70°.例1(1)尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線AE，交CD于點(diǎn)E；(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)(圖1)解：如答圖1所示，AE即為所求．(答圖1)如圖1，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B＝70°.(2)求∠AEC的度數(shù)．(圖1)解：∵∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠B＝70°，∴∠BAC＋∠ACB＝180°－70°＝110°.∵CD平分∠ACB，AE平分∠BAC，∴∠EAC＝

∠BAC，∠ECA＝

∠ACB，∴∠EAC＋∠ECA＝

∠BAC＋

∠ACB＝

×110°＝55°.∴∠AEC＝180°－(∠EAC＋∠ECA)＝180°－55°＝125°.如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為底作等腰三角形BCD，且∠ABD＝90°，直線l⊥BC，垂足為點(diǎn)B.例2類型2根據(jù)已知條件作三角形(1)在直線l上確定一點(diǎn)E，使得△ABE是以AB為底的等腰三角形；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)(圖2)解：如答圖2所示，點(diǎn)E即為所求．(答圖2)如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為底作等腰三角形BCD，且∠ABD＝90°，直線l⊥BC，垂足為點(diǎn)B.(2)在(1)的情況下，連接DE交AB于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)．(圖2)證明：如答圖3，設(shè)AB的垂直平分線與AB的交點(diǎn)為G，連接DG交BC于點(diǎn)H，連接CG.∵GE是AB的垂直平分線，∴∠EGB＝90°.(答圖3)又∵∠ABD＝90°，∴∠EGB＝∠ABD，∴DB∥EG.∵∠ACB＝90°，G是AB的中點(diǎn)，∴CG＝

AB＝BG.∵BC是等腰三角形BCD的底，∴DB＝DC，∴點(diǎn)D，G在線段BC的垂直平分線上，即DG垂直平分BC，∴∠DHB＝90°.∵l⊥BC，∴∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠DHB，∴DG∥BE，∴四邊形BEGD是平行四邊形，∴BG，DE互相平分，即點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)．例3如圖3，在△ABC中，AB＝

，AC＝

，BC＝3，將△ABC沿射線BC平移，使邊AB平移到DE，得到△DEF.(1)作出平移后的△DEF；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)(圖3)解：如答圖4所示，△DEF就是所求作的三角形．(答圖4)如圖3，在△ABC中，AB＝

，AC＝

，BC＝3，將△ABC沿射線BC平移，使邊AB平移到DE，得到△DEF.(2)若AC，DE相交于點(diǎn)H，BE＝2，求四邊形DHCF的面積．(圖3)解：點(diǎn)H如答圖4所示．∵AB＝

，AC＝

，BC＝3，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°.

∵△ABC平移得到△DEF，(答圖4)∴EF＝BC＝3，S△DEF＝S△ABC＝

∵BE＝2，∴EC＝BC－BE＝1.由平移性質(zhì)可知∠DFE＝∠ACB，即∠DFE＝∠HCE.又∵∠HEC＝∠DEF，∴△ECH∽△EFD.例4如圖4，已知△ABC和點(diǎn)A′.(1)以點(diǎn)A′為頂點(diǎn)求作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，S△A′B′C′＝4S△ABC;(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)(圖4)解：如答圖5，△A′B′C′即為所求．如圖4，已知△ABC和點(diǎn)A′.(2)設(shè)點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D′，E′，F(xiàn)′分別是(1)中所作的△A′B′C′三邊A′B′，A′C′，B′C′的中點(diǎn)，求證：△DEF∽△D′E′F′.(圖4)證明：如答圖6，∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，由(1)可知△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D′E′F′.類型3根據(jù)已知條件作四邊形例5如圖5，已知△ABC，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且CD＝BC.(1)求作?ACDE；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(圖5)解：如答圖7①，?ACDE即為所作圖形．(答圖7)如圖5，已知△ABC，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且CD＝BC.(2)在(1)的條件下，若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接BF交AC于點(diǎn)M，連接CE交BF于點(diǎn)N，求

的值．(圖5)解：如答圖7②.∵四邊形ACDE為平行四邊形，∴AC∥DE，∴∠ACB＝∠BDF，即∠MCB＝∠FDB.又∵∠CBM＝∠DBF，∴△BCM∽△BDF.∴

∵BC＝CD，∴BC＝BD.∴

∵AC∥DE，∴∠MCN＝∠FEN.又∵∠CNM＝∠ENF，∴△CMN∽△EFN.∴

∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，∴EF＝DF.(答圖7)例6如圖6，已知線段MN＝a，AR⊥AK，垂足為A.(1)求作四邊形ABCD，使得點(diǎn)B，D分別在射線AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(圖6)解：如答圖8，四邊形ABCD即為所求作的四邊形．(答圖8)如圖6，已知線段MN＝a，AR⊥AK，垂足為A.(2)設(shè)點(diǎn)P，Q分別為(1)中四邊形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，求證：直線AD，BC，PQ相交于同一點(diǎn)．(圖6)證明：如答圖8，設(shè)直線PQ交AD于點(diǎn)G，直線BC交AD于點(diǎn)G′.∵CD∥AB，即DQ∥AP，∴△GDQ∽△GAP.∴

∵CD∥AB，∴△G′DC∽△G′AB，∴

∵點(diǎn)P，Q分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴DC＝2DQ，AB＝2AP，(答圖8)例7如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，AB上，將四邊形CEFB沿直線EF翻折得到四邊形DEFG，C，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D，G，連接CD.(1)利用尺規(guī)作圖，在圖中確定點(diǎn)F，G的位置，作出四邊形DEFG；(保留作圖痕跡，不寫作法)(圖7)解：如答圖9，四邊形DEFG是所求作的四邊形．(答圖9)(2)若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在邊AC上，已知CE＝2，BC＝

，AC>7，求CD的長(zhǎng)．如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，AB上，將四邊形CEFB沿直線EF翻折得到四邊形DEFG，C，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D，G，連接CD.(圖7)解：如答圖10，連接BG.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠BEC＝∠GED，GE＝BE，DE＝CE.∵∠ACB＝90°，CE＝2，BC＝

，∴在Rt△BEC中，BE＝

∴GE＝BE＝5.∵CE＝2，∴GC＝GE＋CE＝5＋2＝7，在Rt△BCG中，由勾股定理得(答圖10)考點(diǎn)4根據(jù)已知條件作圓如圖8，△ABC為等邊三角形．例8(1)求作：△ABC的外接圓⊙O；(不寫作法，保留作圖痕跡)(圖8)解：如答圖11，⊙O即為所求作．(答圖11)如圖8，△ABC為等邊三角形．(2)在(1)所作的圖形中，若△ABC的邊長(zhǎng)為6，求

的長(zhǎng)．(圖8)解：作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接OA，OB.∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，OD⊥AB，∴BD＝AD＝3.∵在等邊三角形ABC中，∠C＝60°，∴∠AOB＝120°.如圖9，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．例9(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(圖9)解：如答圖12所示，⊙A即為所求作．(答圖12)如圖9，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．(2)在(1)的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為點(diǎn)F.若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan∠ADB的值．(圖9)解：根據(jù)題意，作出圖形如答圖13所示，連接AE，AG.設(shè)∠ADB＝α，⊙A的半徑為r.∵BD與⊙A相切于點(diǎn)E，直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°.∵CF⊥BD，∴∠EFG＝∠CFD＝90°，∴四邊形AEFG是矩形．又∵AE＝AG＝r，∴四邊形AEFG是正方形，∴EF＝AE＝r.在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE＋∠ABD＝90°，(答圖13)∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB＝α.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝

，∴BE＝rtanα.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.又∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝rtanα，∴DE＝DF＋EF＝rtanα＋r.在Rt△ADE中，tan∠ADE＝

，即DE·tanα＝AE，∴(rtanα＋r)tanα＝r，即tan2

α＋tanα－1＝0.由題易知tanα>0，∴tanα＝

，即tan∠ADB的值為

.如圖10，已知點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)．用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線．要求：例10(1)用直尺和圓規(guī)作圖；(圖10)(2)保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說(shuō)明．解：方法一：如答圖14所示．作法：連接PO，分別以P，O為圓心，大于

PO的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)交PO于點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，OA