/四川省成都市2024-2025學年高二下冊3月監(jiān)測考試數(shù)學試卷一、單選題1.是數(shù)列的（）A.第6項 B.第7項 C.第8項 D.第9項【正確答案】A【分析】利用觀察法分析數(shù)列的規(guī)律即可.【詳解】觀察條件式可知原數(shù)列為：，而，即為第6項，故選：A2.已知等差數(shù)列中，，則等于（）A.56 B.53 C.55 D.54【正確答案】D【分析】利用計算公差，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)果.【詳解】由得，故，則.故選：D.3.由公差的等差數(shù)列組成一個新的數(shù)列，下列說法正確的是（）A.新數(shù)列不是等差數(shù)列 B.新數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列C.新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列 D.新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列【正確答案】C【分析】結(jié)合已知根據(jù)等差數(shù)列定義判斷即可.【詳解】因為，所以數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列.故選：C4.中國當代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“二百五十二里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：“有一個人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.則最后一天走了（）A.4里 B.16里 C.64里 D.128里【正確答案】A【分析】先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，相當于求，直接套公式求即可.【詳解】由題意得此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且前6項和為252.設(shè)首項為，則有，解得：=128.∴故選：A（1）數(shù)學建模是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學中，應(yīng)用題是常見考查形式：求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；（2）等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換．5.正項等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】A【分析】由韋達定理、等比數(shù)列性質(zhì)以及對數(shù)運算即可得解.【詳解】由題意得，所以.故選：A.6.在等差數(shù)列中，，，設(shè)，則（）A.281 B.651 C.701 D.791【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件,求出等差數(shù)列的公差及通項公式,判斷正數(shù)、負數(shù)項,再求出.【詳解】等差數(shù)列中,由,得公差,則,顯然當時,,當時,,所以故選：C7.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用倒序相加法，可得答案.【詳解】，，故選：B.8.已知數(shù)列滿足，，若成立，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【正確答案】B【分析】分析可知數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，進而可得，根據(jù)題意利用裂項相消法可得，運算求解即可.【詳解】因為數(shù)列滿足，，可得，可得數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，則，即，則，可得，因為，可得，解得，即所求的最大值為6.故選：B.二、多選題9.已知等比數(shù)列的公比為且成等差數(shù)列，則的值可能為（）A. B.1 C.2 D.3【正確答案】AC【分析】運用等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比的值．【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，因為.又是公比為的等比數(shù)列，所以由，得，即，解得或.故選：10.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，則下列說法正確的是（）A. B. C.當時，取得最小值 D.【正確答案】BC【分析】由題意得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式可判斷ABD；進一步有，由此可判斷C.【詳解】由題意可知，故B正確D錯誤；所以，故A錯誤；而，所以當時，取得最小值，故C正確.故選：BC.11.2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》，這個政策就是我們所說的“雙減”政策，“雙減”政策極大緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，而“內(nèi)卷”作為高強度的競爭使人精疲力竭.數(shù)學中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點，，，，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.設(shè)正方形邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，….下列說法正確的是（）A.從正方形開始，連續(xù)3個正方形的面積之和為B.使得不等式成立的的最大值為4C.D.數(shù)列的前項和【正確答案】ACD【分析】根據(jù)題意，找出計算規(guī)律，得到，求得數(shù)列的通項公式，進而得到的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，逐項判定，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，，所以，所以數(shù)列是以4為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以C正確；由連續(xù)3個正方形的面積之和為，所以A正確；又由，即，所以，所以為等比數(shù)列，令，可得，因為，所以B不正確；又由，所以D正確.故選：ACD.三、填空題12.在等差數(shù)列中，，，求____【正確答案】484【分析】利用等差數(shù)列片段和性質(zhì)有，結(jié)合已知求，即可得的值.【詳解】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)有，∴．∴故答案：48413.數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和記為，則______．【正確答案】2191【分析】，對分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】數(shù)列是以公差的等差數(shù)列;.,數(shù)列是以公比的等比數(shù)列;..故2191.14.若正整數(shù)m，n的公約數(shù)只有1，則稱m，n互質(zhì).對于正整數(shù)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉的名字命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，則.若數(shù)列的前n項和為，則____________.【正確答案】【分析】根據(jù)的定義求得和，進而是以為首項，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式計算即可求解.【詳解】小于等于的正整數(shù)有，與不互質(zhì)的數(shù)是2的倍數(shù)，即，共個，所以與互質(zhì)的數(shù)有個，即；小于等于的正整數(shù)有，與不互質(zhì)的數(shù)是3倍數(shù)，即，共個，所以與互質(zhì)的數(shù)有個，即；所以，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則.故四、解答題15.在等差數(shù)列中，已知公差，．（1）判斷和是否是數(shù)列中的項．如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由．（2）求數(shù)列的前項和．【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求解即可．（2）利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可．【小問1詳解】等差數(shù)列中，公差，，，，，令，，不是數(shù)列中的項，令，，是數(shù)列中的項，是第21項小問2詳解】16.已知數(shù)列，若，且．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（2）若，且數(shù)列的前項和為，求．【正確答案】（1）證明見解析，（2）【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明即可，求出的通項，即可得到的通項公式；（2）由（1）可得，則，利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】因為，所以，又，所以，所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以，則.【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以.17.等比數(shù)列中，，數(shù)列的前n項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和，求.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)求出公比，再代入求出，即可求出的通項公式，再根據(jù)作差即可求出的通項公式；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和即可【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，在等比數(shù)列中，，，所以，所以，所以，所以，又數(shù)列的前項和，當時，當時，經(jīng)檢驗當時也成立，所以.【小問2詳解】因，所以，所以，，兩式相減得，即，也即.18.年月日，小劉從各個渠道融資萬元，在某大學投資一個咖啡店，年月日正式開業(yè)，已知開業(yè)第一年運營成本為萬元，由于工人工資不斷增加及設(shè)備維修等，以后每年成本增加萬元，若每年的銷售額為萬元，用數(shù)列表示前年的純收入．（注：純收入前年的總收入前年的總支出投資額）（1）試求年平均利潤最大時的年份（年份取正整數(shù)）并求出最大值．（2）若前年的收入達到最大值時，小劉計劃用前年總收入的對咖啡店進行重新裝修，請問：小劉最早從哪一年對咖啡店進行重新裝修（年份取整數(shù)）？并求小劉計劃裝修的費用．【正確答案】（1）到年或年，年平均利潤最大，最大值為萬元；（2）小劉最早從年對咖啡店進行重新裝修，計劃裝修費用為萬元．【分析】（1）每年的運營成本構(gòu)成一個等差數(shù)列，每年的銷售額是一個常數(shù)列，根據(jù)題意，列出等式年平均利潤為，之后應(yīng)用基本不等式，結(jié)合求得結(jié)果；（2）由（1）知，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及的條件，得到當或時，取得最大值，進而得到結(jié)果.【詳解】（1）由條件可知，每年的運營成本構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，，則年平均利潤為，由，當且僅當，即時取等號．但，且或時，．此時，取最大值．到年或年，年平均利潤最大，最大值為萬元；（2）由（1）可得，當或時，取得最大值．（萬元）故小劉最早從年對咖啡店進行重新裝修，計劃裝修費用為萬元．該題考查的是有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的求和公式，利用基本不等式求最值，二次函數(shù)的最值，在解題的過程中，注意的條件，屬于簡單題目.19.已知數(shù)列的相鄰兩項是關(guān)于的方程的兩根，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)函數(shù)，若對任意的都成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）利用根與系數(shù)關(guān)系建立一個數(shù)列的遞推關(guān)系式，再將關(guān)系式配湊出結(jié)論中數(shù)列中的項得證；（2）由（1）可得等比數(shù)列的通項公式，從而得到數(shù)列的通項公式，采用分組求和法求出前項和即可；（3）由（2）得的解析式，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，故，又，故，