/山東省臨沂市2023?2024學(xué)年高一下冊期末學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若，則在復(fù)平面對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．一組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為（

）A． B． C． D．3．若水平放置的平面四邊形按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形面積（

）A． B．4 C． D．4．已知直線，與平面，，（互不相同），則能使的充分條件是（

）A．， B．，C．， D．，，5．將一個直角邊長為的等腰直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周，所形成幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．6．記中的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知的面積，則（

）A． B． C． D．7．若圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為的球面上，其上、下底面半徑分別為和，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．8．在中，點滿足，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，，設(shè)，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．某學(xué)校為了調(diào)查高一年級學(xué)生每天體育活動時間的情況，隨機(jī)選取了100名學(xué)生，繪制了如圖所示頻率分布直方圖，則（

）A．B．平均數(shù)的估計值為30C．眾數(shù)的估計值為35D．這100名學(xué)生中有25名學(xué)生每天體育活動時間不低于40分鐘10．不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個黑球、3個白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取出2個小球，記事件“取出的兩個球是一個黑球、一個白球”，事件“兩個球中至多一個黑球”，事件“兩個球均為白球”，則（

）A． B． C． D．11．在正方體中，是棱的中點，是棱上的點，則（

）A．直線與平面所成角為B．當(dāng)點位于的中點時，C．二面角的平面角余弦值范圍為D．存在點，使得平面三、填空題（本大題共3小題）12．若，則的最大值為．13．在圓中，已知弦，則．14．已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點．已知平面內(nèi)點，，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，則點的坐標(biāo)為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且．(1)求；(2)若，邊上的高為1，求的周長．16．已知兩個單位向量與的夾角為，設(shè)，．(1)求最小值；(2)若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．17．某學(xué)校高一年級在對組建機(jī)器人建模社團(tuán)調(diào)查中，采取樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣．如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生30人、女生20人進(jìn)行興趣愛好問卷調(diào)查（滿分100分），其中男生問卷所得平均分和方差分別為和，女生問卷所得平均分和方差分別為和．(1)求總樣本方差；(2)從樣本中擇優(yōu)選出小明、小芳和榮榮參加機(jī)器人建模大賽，大賽分為初賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，初賽合格后才能參加復(fù)賽，復(fù)賽合格后才能獲獎，是否通過初賽和是否通過復(fù)賽相互獨立．小明通過初賽和復(fù)賽的概率分別為，，小芳通過初賽和復(fù)賽的概率分別為，，榮榮通過初賽和復(fù)賽的概率與小明都相同，且三人比賽互不影響．求這三人中恰有兩人獲獎的概率．18．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)若，求的值；(3)將函數(shù)圖象上所有點向右平移個單位長度，再把所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有兩個零點，求的取值范圍．19．類比思想在數(shù)學(xué)中極為重要，例如類比于二維平面內(nèi)的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，記，，，二面角的大小為，則．如圖2，四棱柱中，為菱形，，，，且點在底面內(nèi)的射影為的中點．(1)求的值；(2)直線與平面內(nèi)任意一條直線夾角為，證明：；(3)過點作平面，使平面平面，且與直線相交于點，若，求值．

答案1．【正確答案】B【分析】由復(fù)數(shù)除法運算以及共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以在復(fù)平面對應(yīng)點的坐標(biāo)為.故選B.2．【正確答案】A【分析】將題目數(shù)據(jù)從小到大排列，然后根據(jù)百分位數(shù)的定義計算【詳解】一組數(shù)據(jù)，從小到大排序為：，下四分位數(shù)，即分位數(shù)，，根據(jù)百分位數(shù)的定義，下四分位數(shù)應(yīng)取從小到大排列的第個數(shù)，即.故選A.3．【正確答案】D【分析】由斜二測畫法的直觀圖，得出原圖形為直角梯形，由此計算原圖形的面積．【詳解】在直觀圖中過點作交于點，因為，，，，所以，則，所以，由直觀圖可得如下平面圖形，且，，，所以.故選D.4．【正確答案】B【分析】由線面、面面位置關(guān)系即可逐一判斷各個選項并求解.【詳解】對于A，若，，則平行或相交，故A錯誤；對于B，若，則存在使得，因為，所以，又因為，所以，故B正確；對于C，若，則平行，故C錯誤；對于D，若，，，則只能說明相交但不一定垂直，故D錯誤.故選B.5．【正確答案】C【分析】由題意可知，所形成的幾何體是由底面半徑為，高為的兩個圓錐拼接而成，則其表面積是兩個圓錐的側(cè)面積之和.【詳解】如圖等腰直角三角形，，則，取的中點，連接，則，且，將一個直角邊長為的等腰直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是由底面半徑為，高為，母線長為的兩個圓錐拼接而成，所以所形成的幾何體的表面積為.故選C.6．【正確答案】A【分析】由面積公式及余弦定理計算可得.【詳解】因為，又由余弦定理，所以，所以，則.故選A.7．【正確答案】D【分析】先分析出圓臺的底面為球中的一個大圓，然后求出圓臺的高，根據(jù)圓臺的體積公式即可得出答案.【詳解】依題意得，球的直徑是，且圓臺下底的圓的直徑也是，故圓臺的底面是球的一個大圓，如下圖，作出圓臺的截面圖形，即梯形，這里為球心，連接，作，垂足為，由已知，，由三線合一，，則，即為圓臺的高，根據(jù)圓臺的體積公式，.故選D.8．【正確答案】C【分析】運用向量線性運算及三點共線結(jié)論即可求得結(jié)果.【詳解】連接，如圖所示，因為，所以，又因為，，所以，又因為、、三點共線，所以，所以.故選C.9．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為求出，再根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)及頻率分布直方圖一一判斷即可.【詳解】依題意可得，解得，故A正確；平均數(shù)的估計值為，故B錯誤；由頻率分布直方圖可知的頻率最大，因此眾數(shù)的估計值為，故C正確；隨機(jī)選取這100名學(xué)生中體育活動時間不低于40分鐘的人數(shù)為，故D正確；故選ACD.10．【正確答案】AB【分析】利用列舉法寫出隨機(jī)取出個小球的基本事件，根據(jù)題設(shè)描述列舉對應(yīng)事件，由古典概型的概率求法求概率.【詳解】記個白球為，個黑球為，隨機(jī)取出個小球的事件如下，，事件對應(yīng)的基本事件有，所以，故A正確；事件對應(yīng)的基本事件有，所以，事件對應(yīng)的基本事件有，所以，又，故D錯誤；其中對應(yīng)的基本事件有，所以，故B正確；對應(yīng)的基本事件有，所以，故C錯誤.故選AB.11．【正確答案】BC【分析】根據(jù)正三棱錐性質(zhì)確定點在底面內(nèi)的投影位置，然后可判斷A；記的中點為，通過證明平面可判斷B；記平面與交于點，分析的范圍即可判斷C；通過判斷的關(guān)系可判斷D.【詳解】設(shè)正方體的棱長為2，對A，易知三棱錐為正三棱錐，所以點在底面內(nèi)的投影為的中心，記為，記中點為，連接，則為直線與平面所成角，因為，所以，所以，A錯誤；對B，記的中點為，連接，因為分別為的中點，所以平面，，又平面，所以，因為為正方形，所以，所以，因為是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，B正確；對C，記平面與交于點，與交點為，連接，因為，為的中點，所以，因為為正方形，所以，又是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以，所以是二面角的平面角，易知，當(dāng)點與點重合時，最小，此時，當(dāng)點與點重合時，最大，此時，所以二面角的平面角余弦值范圍為，C正確；

對D，因為，且，所以為平行四邊形，所以，假設(shè)存在點，使得平面，則平面，因為平面，所以，又，所以在平面內(nèi)過點存在兩條直線與垂直（矛盾），所以，不存在點，使得平面，D錯誤.故選BC.12．【正確答案】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)模長的幾何意義，將題意轉(zhuǎn)化為圓上的點到的距離，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因為表示以為圓心，為半徑的圓，所以可理解為圓上的點到的距離，故的最大值為．故答案為.13．【正確答案】/0.5【分析】設(shè)圓心，為半徑，為弦，可得在上的投影為，再根據(jù)，計算求得結(jié)果．【詳解】如圖，設(shè)圓心，為半徑，為弦，故在上的投影為，，故/0.5.14．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，計算出，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則計算出點的坐標(biāo).【詳解】因為，，所以，將向量順時針方向旋轉(zhuǎn)，即逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，其中，，化簡得，所以點坐標(biāo)為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）對原式使用正弦定理進(jìn)行邊換角，然后結(jié)合三角恒等變換進(jìn)行計算求解；（2）利用三角形的面積公式和余弦定理列方程組求解.【詳解】（1）由正弦定理，，即，而，結(jié)合兩式可得，，則，又，則，故，即，又，則，上式化簡為，則，故，（2）根據(jù)三角形面積公式，可得，由余弦定理，，即，于是，故，于是的周長為.16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）首先得，，然后利用模長公式將所求轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)的最小值即可；（2）由題意得且，不共線，由此可列出關(guān)于的不等式組，從而求解.【詳解】（1）由題意，因為，，所以所以，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以最小值是；（2）因為，，所以，設(shè)，共線，即設(shè)，因為向量與不共線，所以，解得，若與的夾角為鈍角，則，且，解得的取值范圍是.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得；（2）設(shè)事件“小明獲獎”，“小芳獲獎”，“榮榮獲獎”，首先求出、、，再根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.【詳解】（1）首先證明：若總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，，記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則；因為，，，總體方差，又，因為，，同理，故；所以總體的平均數(shù)為，所以總樣本方差；（2）設(shè)事件“小明獲獎”，“小芳獲獎”，“榮榮獲獎”，所以，，設(shè)這三人中恰有兩人獲獎為事件，則，所以這三人中恰有兩人獲獎的概率為.18．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）依題意可得，再由及二倍角公式計算可得；（3）首先求出解析式，依題意可得與在上有兩個交點，分析在上的單調(diào)性與取值，即可求出的范圍.【詳解】（1）因為，所以的最小正周期；（2）由，得，即，故.（3）將函數(shù)圖象上所有點向右平移個單位長度得到，再把所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變得到，所以，因為函數(shù)在上有兩個零點，即與在上有兩個交點，因為，故，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，解得，故函數(shù)在上有兩個零點，實數(shù)的取值范圍為.19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）連接，即可證明平面平面，即二面角的大小為，求出，再由所給三面角余弦定理計算可得；（2）依題意可得，設(shè)平面內(nèi)任一條直線為，分過點與不過點兩種情況，當(dāng)過點，記與的夾角為（），則，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得證；（3）連接，，首先證明平面平面，從而得到平面平面，再由面面平行的性質(zhì)得到，從而得到，即可得解.【詳解】（1）連接，由已知得平面，，