/山東省德州市2024-2025學(xué)年高三下冊(cè)2月開學(xué)聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加一次數(shù)學(xué)智力競(jìng)賽，決出了第一名到第四名的四個(gè)名次.甲說(shuō)：“我不是第一名”；乙說(shuō)：“丁是第一名”；丙說(shuō)：“乙是第一名”；丁說(shuō)：“我不是第一名”.成績(jī)公布后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有一位說(shuō)的是正確的，則獲得第一名的同學(xué)為A.丙 B.甲 C.乙 D.丁【正確答案】B【分析】分別假設(shè)甲是第一名，乙是第一名，丙是第一名，丁是第一名，四種情況，結(jié)合題中條件，進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】若甲是第一名，則甲、乙、丙說(shuō)的都不正確，丁說(shuō)的正確，符合題意，故甲獲得第一；若乙是第一名，則只有乙說(shuō)的正確，不符合題意；若丙為第一名，則乙丙說(shuō)不正確，甲丁說(shuō)的正確，不滿足題意；若丁是第一名，則甲乙說(shuō)的正確，丙丁說(shuō)的不正確，不滿足題意；故選B本題主要考查邏輯推理，推理案例屬于常考內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題型.2.已知圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為3，球與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】作圖，找出圖中的幾何關(guān)系，求出母線長(zhǎng)和球的半徑即可.【詳解】上圖是該幾何圖形的正視圖，由切線長(zhǎng)定理可知：，設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑R，母線長(zhǎng)為l，球的半徑為，則有，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，垂直是G，則有，∴，在中，，∴圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為；故選：D．二、多選題：3.對(duì)于的展開式，下列說(shuō)法正確的是（）A.展開式共有6項(xiàng) B.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是240C.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64 D.展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1【正確答案】BCD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】的展開式中有7項(xiàng)，A錯(cuò)；二項(xiàng)式系數(shù)和為，C正確；各項(xiàng)系數(shù)和為，D正確，展開式通項(xiàng)公式為，由得，所以常數(shù)項(xiàng)為，B正確．故選：BCD．4.某校高二年級(jí)有男生600人，女生400人，小華按男生、女生進(jìn)行分層，通過(guò)分層抽樣的方法，得到一個(gè)總樣本量為100的樣本，計(jì)算得到男生、女生的平均身高分別為170cm和160cm，方差分別為15和30，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若小華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則男生、女生分別應(yīng)抽取60人和40人；B.若小華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則樣本的方差為37.8；C.若小華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則樣本的平均數(shù)為166，此時(shí)可用樣本平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)；D.若小華采用等額抽取，即男生、女生分別抽取50人，則某男生甲被抽到的概率為.【正確答案】AC【分析】根據(jù)分層抽樣、方差、平均數(shù)、古典概型等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，男生抽取，女生抽取人，A選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，樣本平均數(shù)為，可以用樣本平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)，C選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，樣本方差為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤D選項(xiàng)，男生甲被抽到的概率為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC5.已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，，且，則（）A. B.面積的最大值為C.周長(zhǎng)的最小值為4 D.周長(zhǎng)的最大值為6【正確答案】ABD【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出正弦間的關(guān)系，再應(yīng)用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化求余弦判斷A選項(xiàng)，再結(jié)合不等式求周長(zhǎng)范圍及面積的最大值判斷B,C,D選項(xiàng).

【詳解】由已知得

，由正弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，周長(zhǎng)的取值范圍是，故選.6.已知函數(shù)的圖象在內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則（）A.B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)圖象分析運(yùn)算即可；對(duì)于B：根據(jù)對(duì)稱軸與最值的關(guān)系分析判斷；對(duì)于C：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)圖象變換的性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，若函數(shù)的圖象在內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，且，所以，故A正確；因?yàn)椋也皇亲钪担灾本€不是圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，且在內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間為上單調(diào)遞增，故C正確；將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到，故D正確；故選：ACD.7.已知函數(shù)與及其導(dǎo)函數(shù)與的定義域均為.若為奇函數(shù)，，，則（）A. B.C.曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D.【正確答案】ACD【分析】對(duì)A，賦值法令和計(jì)算即可；對(duì)B，易知為偶函數(shù)，不能確定；對(duì)C，運(yùn)用已知條件推出關(guān)于中心對(duì)稱，進(jìn)而得到關(guān)于中心對(duì)稱；對(duì)D，由為偶函數(shù)得周期為2，結(jié)合條件得到，求出，進(jìn)而求.【詳解】對(duì)于A，令，令，則，A正確；對(duì)于B，為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，則求不出，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，又，則，則關(guān)于中心對(duì)稱.，結(jié)合函數(shù)圖象平移，關(guān)于中心對(duì)稱，C正確；對(duì)于D，由于為偶函數(shù)，結(jié)合C所得對(duì)稱中心，知周期為2，且，，又則，且，，則D正確.故選：ACD三、填空題8.已知直線恒過(guò)定點(diǎn)A，則該定點(diǎn)A的坐標(biāo)為________，若直線l與曲線和都相切，則a＝________．【正確答案】①.②.##【分析】根據(jù)直線的知識(shí)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合判別式、導(dǎo)數(shù)列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】直線恒過(guò).直線與曲線相切，則方程有，即有，直線與也相切，設(shè)切點(diǎn)為，，則切線方程為：，化簡(jiǎn)得：，則，所以，，從而．故；9.已知向量，的夾角為，且．則向量在向量上的投影向量為__________；若，則的值為__________________．【正確答案】①.②.或3【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算向量在向量上的投影向量；由，得，利用向量的運(yùn)算律建立方程求解即可.【詳解】，則在向量上的投影向量為；由，得，即，即，整理得：，解得或，故；或3.四、解答題10.已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負(fù)得單調(diào)性；（2）分離參變量得在上恒成立，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值的問(wèn)題，求解即可．【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由題意知：在上恒成立，即：在上恒成立，令，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，只需，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.11.如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn),（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成夾角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接交與，連接，通過(guò)證明即可得到平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用與共線和求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用空間向量求線面角即可.【小問(wèn)1詳解】如圖所示連接交與，連接，因?yàn)榈酌媸钦叫危允侵悬c(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閭?cè)棱底面，，所以，又因?yàn)槭钦叫危詢蓛纱怪保詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由三點(diǎn)共線得，即，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)椋裕獾茫渣c(diǎn)坐標(biāo)為，，因?yàn)椋O(shè)平面的法向量，所以，解得，設(shè)所求角為，則，即直線與平面所成夾角的正弦值為.12.一家調(diào)查機(jī)構(gòu)在某地隨機(jī)抽查1000名成年居民對(duì)新能源車與燃油車的購(gòu)買傾向，得到如下表格：傾向于購(gòu)買燃油車傾向于購(gòu)買新能源車合計(jì)女性居民150250400男性居民350250600合計(jì)5005001000（1）能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)新能源車與燃油車的購(gòu)買傾向存在性別差異？（2）從傾向于購(gòu)買燃油車的居民中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再?gòu)闹谐槿?人進(jìn)行座談，求在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率．（3）從所有參加調(diào)查的男性居民中按購(gòu)買這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，再?gòu)闹须S機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購(gòu)買新能源車的居民人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，P(χ2≥k)0.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.879【正確答案】（1）有99%的把握（2）（3）分布列見解析，【分析】（1）由獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)可完成判斷；（2）由題可得抽取的10人中男性7人，女性3人，然后由排列組合與條件概率知識(shí)可得答案；（3）由題可得12人中，傾向于購(gòu)買新能源車的居民人數(shù)為5人，據(jù)此可得可取0，1，2，3，然后可得分布列及期望.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋杂?9%的把握認(rèn)為對(duì)新能源車與燃油車的購(gòu)買傾向存在性別差異．【小問(wèn)2詳解】由表格可得傾向于購(gòu)買燃油車的居民中男、女性別比為7:3，所以抽取男性7人，女性3人，再?gòu)闹谐槿?人進(jìn)行座談，有女性居民記為事件，則，恰有2名男性居民記為事件，則，所以在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率為；【小問(wèn)3詳解】在所有參加調(diào)查的男性居民中按購(gòu)買這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽12人，可得抽取結(jié)果如下表：傾向于購(gòu)買燃油車傾向于購(gòu)買新能源車男性居民75再?gòu)闹须S機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購(gòu)買新能源車的居民人數(shù)為，可取0，1，2，3，可求出，，，，的分布列如下：0123數(shù)學(xué)期望.13.極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德?迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是坐標(biāo)原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，對(duì)于橢圓，極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在極線上任取一點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，（，，均存在）.（1）求極線的方程；（2）求證：；（3）已知過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析；定點(diǎn)【分析】（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)與拋物線焦點(diǎn)得，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理可得，，利用將斜率坐標(biāo)化，利用韋達(dá)定理代入坐標(biāo)關(guān)系化簡(jiǎn)求證可得.（3）設(shè)，由（2）結(jié)論可先證三點(diǎn)共線得到，用表示，由點(diǎn)斜式方程得，再證明不受的影響恒過(guò)定點(diǎn)可得.【小問(wèn)1詳解】由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，解得，又因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，解得.所以橢圓的方程為.由題意可知，對(duì)于橢圓，極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，由題意知過(guò)的直線的斜率必存在，故設(shè)直線，，聯(lián)立方程，消去得，，，即，所以，，則.又，所以，得證【小問(wèn)3詳解】當(dāng)中有橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)為，則或，直線或與橢圓相切，不符合題意，所以的斜率都存在.由（2）得，，又，所以，所以是和的交點(diǎn).因?yàn)椋裕O(shè)，則，所以，直線的方程為，即，令得，所以恒過(guò)定點(diǎn).關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決該題的關(guān)鍵點(diǎn)有三個(gè).一是理解極點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)極線方程的關(guān)系，確定好極線；二是斜率坐標(biāo)式的變形，將運(yùn)算轉(zhuǎn)化為即的對(duì)稱形式，從而應(yīng)用韋達(dá)定理證明斜率關(guān)系式成立；三是（2）問(wèn)結(jié)論的應(yīng)用，應(yīng)用結(jié)論得到，用參數(shù)表達(dá)及直線的方程，從而解決直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.14.已知數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和；（3）在和之間插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前30項(xiàng)和．【正確答案】（1）;（2）;（3）.【分析】（1）利用的關(guān)系式，