/黑龍江省大慶市2024屆高三下冊5月期中數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，，則的子集的個數為（

）A．1 B．2 C．4 D．82．設（其中為虛數單位），則（

）A． B． C． D．3．甲乙兩名大學生計劃今年五一假期分別從岳陽樓，常德桃花源，天門山，長沙橘子洲頭，茶峒古鎮五個不同的景區隨機選三個景區前往打卡旅游，則兩人恰好有兩個景區相同的選法共有（

）A．36種 B．48種 C．60種 D．72種4．如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……第層有個球，則數列的前100項和為（

）A． B． C． D．5．三個函數，，的零點分別為，則之間的大小關系為（

）A． B．C． D．6．已知函數，下面說法正確的是（

）A．在上的平均變化率為1 B．C．是的一個極大值點 D．在處的瞬時變化率為27．圓關于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．8．已知各棱長均相等的正四棱錐各頂點都在同一球面上，若該球表面積為，則正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．把函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數圖象恰好關于軸對稱，則（

）A．的最小正周期為B．關于點對稱C．在是上單調遞增D．若在區間上恰有兩個最大值點，則實數的取值范圍為10．公差為的等差數列，其前項和為，，，下列說法正確的是（

）A． B． C．中最大 D．11．下列選項中正確的是（

）A．已知隨機變量服從二項分布，則B．口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍球和1個黑球．從中任取兩個球，記其中紅球的個數為隨機變量，則的數學期望C．對標有不同編號的6件正品和4件次品的產品進行檢測，從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是D．某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數是7次三、填空題（本大題共3小題）12．在的展開式中，系數為有理數的項共有項．13．四邊形ABCD中，，且，若，則．14．已知為坐標原點，橢圓的離心率，短軸長為．若直線與在第一象限交于兩點，與軸、軸分別相交于兩點，，且，則．四、解答題（本大題共5小題）15．某地5家超市春節期間的廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數據如下：超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070(1)從A，B，C，D，E這5家超市中隨機抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個數為X，求隨機變量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y關于x的線性回歸方程，并預測廣告支出為10萬元時的銷售額．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．16．某地進行老舊小區改造，有半徑為米，圓心角為的一塊扇形空置地（如圖），現欲從中規劃出一塊三角形綠地，其中在上，，垂足為，，垂足為，設；(1)求，（用表示）；(2)當在上運動時，這塊三角形綠地的最大面積，以及取到最大面積時的值.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，且，，，，，為的中點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C．(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；(2)已知點，不經過點的直線與曲線C交于A，B兩點，且．直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由．19．已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)若函數有個零點，求的范圍(3)若函數在處取得極值，且存在，使得成立，求實數的取值范圍．

答案1．【正確答案】C【詳解】由，即，解得，所以，由，即，解得，所以，所以，則的子集有個.故選：C2．【正確答案】C【詳解】，則故選：C3．【正確答案】C【詳解】先從5個景點選出2個相同的，有種，再從剩下的3個景點選兩個分配給甲乙二人，有，所以兩人恰好有兩個景區相同的選法共有種.故選：C.4．【正確答案】D【詳解】由題意得，，當時，，以上各式累加得：，經檢驗符合上式，所以，所以設數列的前項和為，則，所以.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】因為函數，，，都是增函數，所以函數，，均為增函數，因為，所以函數的零點在上，即，因為，所以函數的零點在上，即，因為，所以函數的零點在上，即，綜上，．故選：B．6．【正確答案】D【詳解】由在上的平均變化率為，所以選項A是錯誤的；利用復合函數求導法則，由，所以選項B是錯誤的；因為，當時，，所以選項C是錯誤的；因為，當時，，所以選項D是正確的；故選：D.7．【正確答案】C【詳解】由圓可得標準方程為，因為圓關于直線對稱，該直線經過圓心，即，，，當且僅當，即時取等號，故選：C.8．【正確答案】A【詳解】如圖，設四棱錐的棱長為，在底面的射影為，則平面，且為的交點，且，由正四棱錐的對稱性可知在直線上，設外接球的半徑為，則其表面積為，所以，則，故，解得或（舍），故正四棱錐的體積為．故選：A．9．【正確答案】BC【詳解】解：因為，所以把的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，因為關于軸對稱，所以，即，又因為，所以，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，由，得，所以當時，的單調遞增區間為，又因為，所以在上單調遞增，故C正確；對于D，，因為恰有兩個最大值點，所以，所以，故D錯誤．故選：BC．10．【正確答案】ABD【詳解】在等差數列中，，所以，，所以，，所以，，所以，故AB正確；，故C錯誤；由，所以，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】BC【詳解】A選項，，，，A錯誤；B選項，X服從超幾何分布，，，B正確；C選項，根據題意，設“第一次摸出正品”為事件A，“第二次摸出正品”為事件B，則,，，故C正確；D選項，設9次射擊擊中k次概率最大，則，解得，所以同時最大，故或，D錯誤．故選：BC．12．【正確答案】6【詳解】由題意知，展開式的通項公式為，當（）為整數時，的系數為有理數，所以，即展開式中系數為有理數的項共有6個.故613．【正確答案】2【詳解】如圖，由可得且，易得,則有于是,

因，故得由，解得.故2.14．【正確答案】【詳解】由題意得，解得，故橢圓的方程為，設，線段的中點為，連接，如圖，點在橢圓上，，兩式相減得，則，設直線的方程為，則，點也為的中點，，，解得，，，故直線的方程為，聯立，消去整理得，則，則,故15．【正確答案】(1)X的分布列見解析，期望(2)；預測廣告費支出10萬元時的銷售額為87萬元．【詳解】（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市有C，D，E這3家超市，則隨機變量的可能取值為1，2，3，，，的分布列為：123數學期望．（2），，，．關于的線性回歸方程為；在中，取，得．預測廣告費支出10萬元時的銷售額為87萬元．16．【正確答案】(1)，(2)三角形綠地的最大面積是平方米，此時【詳解】（1）在中，，，∴（米），又，所以，在中，可得（米）.（2）由題可知，∴的面積，又，，∴當，即時，的面積有最大值平方米，即三角形綠地的最大面積是平方米，此時.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【詳解】（1）在四棱錐中，平面平面，平面平面，又，平面，則平面，取的中點，連接，由，，得，則，而，于是，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設平面的一個法向量為，則，令，得，顯然，則，又平面，所以平面.（2）設平面的一個法向量為，而，，則，令，得，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）假設線段上存在一點滿足條件，令，，則，即，由（1）知平面的一個法向量，于是，整理得：，即，而，解得，所以在線段上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，且.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)直線恒過定點，，【詳解】（1）證明：由題意知圓M：的圓心為，圓N：的圓心為如圖，設圓E的圓心為，半徑為r，由題可得圓M半徑為3，圓N半徑為1，則，，所以，由雙曲線定義可知，E的軌跡是以，為焦點、實軸長為4的雙曲線的右支又，，所以動圓的圓心E的軌跡方程為，，即曲線的方程為.

（2）設直線的方程為，聯立，消去得，

由題意直線與曲線有兩個交點，則，,設，，其中，，由韋達定理得：，，又點，所以，，因為，所以，則，即，解得（舍去），當，直線的方程為，，故直線恒過點，．19．【正確答案】(1)答案見解析(2)(3)【詳解】（1）函數的定義域為，又．當時，則恒成立，在上單調遞減；當時，由，解得，由，解得．在上單調遞增，在上單調遞減；綜上可得，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）令，即，因為，所以，因為函數有個零點