/吉林省2023?2024學年高二下冊期末考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設集合是4與6的公倍數，，則（

）A． B． C． D．3．已知，則的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．144．下列函數中，既是奇函數又在其定義域上是增函數的是（

）A． B．C． D．5．設等差數列an的公差為，前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．26．已知函數則下列說法正確的是（

）A．是上的增函數 B．的值域為C．單調遞減 D．若關于的方程恰有一個實根，則7．若，，，則正數大小關系是（）A． B．C． D．8．已知，，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題（本大題共3小題）9．下列求導運算正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．已知函數，的定義域均為R，函數f2x+2為奇函數，為偶函數，為奇函數，gx=g4?x，則下列說法正確的是（

）A．函數的一個周期是B．函數的一個周期是C．若，則f18D．若當時，gx=lnx+1，則當10≤x≤1211．已知數列an滿足，，則（

）A．an是遞減數列 B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．若，則.13．已知定義在上的偶函數滿足，當時，，則14．已知集合，A是M的子集，當時，，則集合A元素個數的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數列是公差不為零的等差數列，滿足，且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.16．已知函數．(1)若，求在上的最值；(2)若在R上單調遞減，求a的值．17．醫生將一瓶含量的A藥在內勻速注射到患者的血液中稱為A藥的一次注射．在注射期間，患者血液中A藥的注入量與注射用時的關系是，當時，血液中的A藥注入量達到，此后，注入血液中的A藥以每小時的速度減少．(1)求k的值；(2)患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時間可以維持多少h？（精確到0.1）(3)患者首次注射后，血液中A藥含量減少到時，立即進行第二次注射，首次注射的A藥剩余量繼續以每小時的速度減少，已知注射期間能保持患者血液中的A藥含量不低于，那么，經過兩次注射，患者血液中A藥的含量不低于的時間是否可以維持？（參考數據：，，）18．對任意正整數，定義的豐度指數，其中為的所有正因數的和．(1)求的值：(2)若，求數列的前項和(3)對互不相等的質數，證明：，并求的值．19．已知函數在上的極小值點從小到大排列成數列，函數．(1)求在處的切線方程；(2)求的通項公式；(3)討論的零點個數．

答案1．【正確答案】A【分析】根據條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求出結果.【詳解】由，即，得到或，所以得不出，當時，有，即可以得出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選A.2．【正確答案】B【分析】由題意可知：，則是的真子集，對比選項分析即可.【詳解】由題意可知：，顯然24的倍數均為12的倍數，但12的倍數不一定是24的倍數，例如12，所以的真子集，對比選項可知B正確，ACD錯誤.故選B.【方法總結】充分必要條件和對應集合的關系可根據如下規則轉化(1)若p是q的必要不充分條件,則q對應集合是p對應集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要條件,則p對應集合是q對應集合的真子集；(3)若p是q的充要條件,則p對應集合與q對應集合相等；(4)若p是q的既不充分也不必要條件,則q對應集合與p對應集合互不包含.3．【正確答案】C【分析】將變為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】,,當且僅當，即時取得等號，即的最小值為12.故選C.4．【正確答案】B【分析】選項A，對求導，得到，即可求解；選項B，利用奇函數的判斷方法，可得為奇函數，再對求導，利用導數與函數單調性間的關系，即可求解；選項C，因為的定義域為，不具有奇偶性，即可求解；選項D，利用的性質即可求解.【詳解】對于選項A，易知函數的定義域為，又在上恒成立，得到的減區間為，，所以選項A錯誤，對于選項B，由，得到，關于原點對稱，又，所以為奇函數，又，得到在區間上恒成立，即在其定義域上是增函數，所以選項B正確，對于選項C，因為的定義域為，不關于原點對稱，不具有奇偶性，所以選項C錯誤，對于選項D，由性質知，在其定義域上不具有單調性，所以選項D錯誤.故選B.5．【正確答案】C【分析】根據等差數列下標和性質以及的公式計算出，然后計算公差。【詳解】，故.故選C.6．【正確答案】D【分析】利用基本函數的圖象，作出的圖象，由圖知的增區間為，0,+∞，值域為，即可判斷出選項A，B和C的正誤，選項D，將方程恰有一個解轉化成與的圖象只有一個交點，再數形結合，即可求出結果.【詳解】因為，其圖象如圖所示，對于選項A，由圖知，時，，所以選項A錯誤，對于選項B，由圖知，當x∈0,1時，，所以選項B錯誤，對于選項C，由圖知，在區間上單調遞增，在區間0,+∞上單調遞增，所以選項C錯誤，對于選項D，由，得到，令，，因為關于的方程恰有一個實根，所以與的圖象恰有一個交點，由圖知.故選D.7．【正確答案】B【分析】將問題轉化為函數與函數的交點的橫坐標，再數形結合即可判斷.【詳解】由，則為與交點的橫坐標，由，則為與交點的橫坐標，由，即，則為與交點的橫坐標，作出，，，的圖象如下所示，由圖可知，.故選B.8．【正確答案】C【分析】令，根據題設，將問題轉化成為函數與交點的橫坐標，為函數與交點的橫坐標，再利用與互為反函數，再結合圖象，即可求出結果.【詳解】由，得到，令，得到所以為函數與交點的橫坐標，由，得到，所以為函數與交點的橫坐標，又與互為反函數，故它們的圖象關于直線對稱，又關于對稱，由，得到，所以，得到，故選C.【關鍵點撥】本題的關鍵在于將問題轉化成求函數與交點的橫坐標及與交點的橫坐標之和，再利用與互為反函數，即可求解.9．【正確答案】BD【分析】根據求導公式計算判斷各選項.【詳解】因為，所以錯誤；因為，所以正確；因為，所以錯誤；因為，所以D正確.故選BD.10．【正確答案】BCD【分析】選項A，根據條件得到f(?t)=?f(t+4)，f(?x)=f(x?2)，即可求解；選項B，根據條件得到g(x)=?g(x+4)=g(x+8)，即可求解；選項C，利用選項A和B，可得f18+g68=f(6)+g(4)，再求出【詳解】對于選項A，因為f2x+2為奇函數，所以f令t=2x，得到f2?t即有f(?t)=?f(t+4)，故可得f(?x)=?f(x+4)，又fx?1為偶函數，所以f?x?1=f(x?1)所以f(x?2)=?f(x+4)，得到f(x)=?f(x+6)，所以f(x)=?f(x+6)=f(x+12)，即函數的一個周期是，故A錯誤；對于選項B，因為為奇函數，所以g?x=?g(x)，又g所以?g(?x)=g(4?x)，即g(x)=?g(x+4)=g(x+8)，所以函數的一個周期是，故B正確；對于選項C，由選項A和B知，f18又g0=g4=0，f(6)=?f(0)=?2對于選項D，因為當時，gx=ln所以當10≤x≤12時，0≤12?x≤2，所以g(x)=g(x?8)=g(4?(x?8）=g(12?x)=ln(12?x+1)=ln(13?x)，所以選項D正確.故選BCD.11．【正確答案】BD【分析】根據已知條件，判斷出，即可判斷數列的單調性，進而判斷A；將表示為，再根據即可判斷B；根據將表示為再根據有判斷C；由，得，化為即可判斷D.【詳解】對于A：易知，否則與矛盾，由，得，所以，所以數列an是遞增數列，故A錯誤；對于B：由選項A的判斷知，所以，由，得，所以，，即，故B正確；對于C：由，得，則所以，故C錯誤；對于D：由，得，即，所以故D正確.故選BD.12．【正確答案】1【分析】根據指數與對數的互化可得，結合對數的換底公式和運算性質即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故1.13．【正確答案】【分析】利用函數的周期性結合奇偶性可求出答案.【詳解】因為，所以函數的周期，所以，又為偶函數，所以，所以.故答案為.14．【正確答案】1895【分析】先構造抽屜：．使前100個抽屜中恰均只有2個數，且只有1個數屬于A，可從集合M中去掉前100個抽屜中的數，剩下個數，作為第101個抽屜．【詳解】現從第1至100個抽屜中取較大的數，和第101個抽屜中的數，組成集合A，于是，滿足A包含于M，且當時，．所以的最大值為．故1895.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列通項公式得到關于的方程，解出值即可；（2）根據等差數列和等比數列求和公式進行分組求和即可.【詳解】（1）設數列的公差為，由已知有，即，解得（舍去），，；（2），.16．【正確答案】(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）當時，求得，得出函數的單調性，進而求得函數的最值；（2）求得，轉化為在上恒成立，結合二次函數的性質，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：由時，可得，則，當時，；當時，；當時，，所以函數在單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增，又由，所以函數在區間上的最大值為，最小值為.（2）解：由函數，可得，因為函數在上單調遞減，所以在上恒成立，則滿足，整理得且，解得.17．【正確答案】(1)；(2)；(3)可以.【分析】（1）把，代入計算即得.（2）根據給定條件，列出不等式，再利用對數函數單調性解不等式即得.（3）求出A藥含量為時時間關系，再列出第二次注射完成后患者血液中A藥的含量隨注射時間變化的函數關系，列出不等式求解即得.【詳解】（1）依題意，，解得，所以k的值為.（2）血液中的A藥含量達到后，經過x小時患者血液中A藥含量為．由，得，兩邊取對數得：，解得，所以患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時間可以維持.（3）設第一次注射開始后經過患者血液中A藥的含量為，即，記第二次注射完成后患者血液中A藥的含量為，其中為第一次注射開始后經過的時間，則，由，得，即，兩邊取對數得：，解得，又，所以經過兩次注射后，患者血液中A藥的含量不低于的時間可以維持．18．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析，【分析】（1）先找出的所有正因數，再根據題設定義，即可求解；（2）由題設定義，結合的正因數，求出，再由分組求和與錯位相減法，即可求出結果；（3）先分別求出及的正因數，由豐度指數的定義，證明，再利用結論求解即可.【詳解】（1）因為的所有正因數為，所以，得到.（2）因為共有個正因數，它們為，所以，得到，所以，令①，則②，由①②得到，所以，故.（3）因為是互不相等的質數，則的正因數有個，它們是，的正因數均為個，分別為和，的正因數有個，分別為，所以，，因為，所以.【方法總結】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的．遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．19．【正確答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）根據條件，利用導數的幾何意義，即可求解；（2）使用導數判斷的單調性，再得到全部的極小值點，即可求解；（3）構造，然后考慮在上的零點個數，再利用是偶函數得到的零點個數，最后利用和零點個數相等，即可求解.【詳解】（1）因為，所以，得到，又，所以在處的切線方程為.（2）因為，令，則，當時，，當時，，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，又，，，，這里，結合的單調性知，當時，，對，存在唯一的，使得，且在上取正值，在上取負值，對，存在唯一的，使得，且在上取負值，在上取正值，這表明對，在和上遞增，在和上遞增，從而上遞增，在和上遞減，從而，在上遞增，在上遞減，在上遞增，且，將以上討論與結合，即可得到在上全部的極小值點就是，且是遞增數列，所以，又注意到，，結合的定義，知一定有，所以的通項公式為.（3）由已知有，而，故，設，則我們只需要討論的零點個數，又，令，則，由零點存在定理知存在唯一的，使得，故當時，有，從而，當，有，從而，即在上單調遞增，在上單調遞減，又，，則存在唯一的，使得，且當或時，，當時，，所以在或上遞增，在上遞減，又，當時，由于，，故，又因為，所以根據的定義可知