/湖南省長沙市2024-2025學年高三下冊月考（七）數學試卷注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先求出集合，再求，然后可求出【詳解】由題意，，因為，所以，因為，所以．故選：D2.已知復數滿足：，且的實部為2，則（）A.2 B. C. D.5【正確答案】B【分析】設，根據可求出值，由此可得結果.【詳解】設，則，而，∴，解得，∴，故.故選：B.3.（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.4.某省中學生足球賽預選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組進行的比賽場數為（）A.15 B.18 C.30 D.36【正確答案】C【分析】根據分步乘法計數原理進行計算即可.【詳解】可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊.按分步乘法計數原理，每組進行的比賽場數為.故選：C.5.已知，，則數列的通項公式為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用倒序相加法計算求解.【詳解】，則兩式相加得所以，所以.故選：A.6.在矩形中，為邊上的一點，，現將沿直線折成，使得點在平面上的射影在四邊形內（不含邊界），設二面角的大小為，直線與平面所成的角分別為，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先根據線面角的定義得出、、的正切值表達式，再通過比較線段長度得出正切值大小關系，進而得到角的大小關系.【詳解】如圖所示，在矩形中，過作交于點，將沿直線折成，則點在面內的射影在線段上（不包含兩點），設到平面上的距離為，則，由二面角，線面角的定義得：，顯然，所以最大，所以最大，當與重合時，，因為，所以，則，所以，所以，故選：D.7.設、分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得，，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用雙曲線的定義結合已知條件可得出，可求得，再由公式可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】由雙曲線的定義得，又，，即，因此，即，則，解得，（舍去），因此，該雙曲線離心率為.故選：B.本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關鍵就是利用雙曲線的定義建立、所滿足的齊次等式，考查計算能力，屬于中等題.8.已知，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】令，根據指數與對數的互化可得，均為方程的根，進而得到，，進而求解即可.【詳解】令，則，由，得，則，則，均為方程的根，則，即，所以故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設是變量和的個樣本點，直線是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線，以下結論正確的是（）A.直線過點B.直線的斜率即為和的相關系數C.和的相關系數在到1之間D.當為偶數時，分布在兩側的樣本點的個數相等【正確答案】AC【分析】根據回歸直線方程、相關系數的的概念及特點、回歸直線與樣本點的關系判斷各選項即可.【詳解】回歸直線一定過這組數據的樣本中心點，故A項正確；兩個變量的相關系數不是回歸直線的斜率，兩者公式不同，故B項不正確；兩個變量的相關系數在到1之間，故C項正確；所有樣本點集中在回歸直線附近，不一定兩側一樣多，故D項不正確.故選：AC.10.關于函數f(x)＝sin|x|＋|sinx|的敘述正確的是（）A.f(x)是偶函數` B.f(x)在區間單調遞增C.f(x)在[－π，π]有4個零點 D.f(x)的最大值為2【正確答案】AD【分析】根據函數的奇偶性、單調性、零點、最值對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函數，故A正確；B.當時，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx，f(x)在單調遞減，故B錯誤；C.當x∈[0，π]時，令f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上為偶函數，∴f(x)＝0在[－π，π]上的根為－π，0，π，有3個零點，故C錯誤；D.∵sin|x|≤1，|sinx|≤1，當或時兩等號同時成立，∴f(x)的最大值為2，故D正確．故選：AD11.已知，且，函數，則（）A.當時，恒成立B.當時，有兩個零點C.當時，有且僅有1個零點D.存在，使得存在三個極值點【正確答案】ABC【分析】對于A，不等式變形后求函數的最值進行判斷；對于B，結合選項A中的新函數進行判斷；對于C，確定函數的單調性，利用零點存在定理進行判斷；對于D，求導，由導函數等于0，構造新函數確定導數的零點個數，得極值點個數判斷.【詳解】對于A，當時，要證明，即證明，即證明，即證明，設，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，，故A正確；對于B，當時，由得，當時，由A的分析可知，，因此有兩個零點，故B正確；對于C，當時，單調遞減，存在唯一零點，故C正確；對于D，，令得，兩邊同時取對數得，設，，令得，則在上單調遞減，在上單調遞增，最多有兩個零點，最多有兩個極值點，故D錯誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的焦點為，且離心率，若點在橢圓上，，則__________.【正確答案】2【分析】根據橢圓的標準方程和離心率的概念求的，結合橢圓的定義計算即可求解.【詳解】橢圓，橢圓的焦點在軸上，，則離心率，即，由解得，橢圓的長軸長為，由橢圓的定義可知，.故213.記為等比數列的前項和．若，則的公比為________．【正確答案】【分析】先分析，再由等比數列的前項和公式和平方差公式化簡即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當時，因為，所以，即，即，即，解得.故14.如圖，已知直四棱柱的所有棱長等于1，，和分別是上下底面對角線的交點，在線段上，，點在線段上移動，則三棱錐的體積最小值為______.【正確答案】【分析】因為C1到平面BB1D1D（即三棱錐底面O1MH）的距離為定值，所以當△O1MH的面積取得最小值時，三棱錐的體積最小，將平面BB1D1D單獨畫圖可得，當點M在點B處時，△O1MH的面積有最小值，求出三棱錐的體積即可．【詳解】因為直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60°，邊長為1，∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距離為O1C1=，∵OH=3HB1，點M是線段BD上的動點，∴當△O1MH的面積取得最小值時，三棱錐的體積有最小值．將平面BB1D1D單獨畫圖可得，當B點到O1H的距離最小時，△O1MH的面積有最小值．過點B做BF//O1H，可得直線BF上方的點到O1H的距離比直線BF上的點到O1H的距離小，而線段BD上除B點外的所有點都在直線BF下方，到O1H的距離比B點到O1H的距離大．即當M點在B點時，△O1MH的面積取得最小值，且三棱錐的體積有最小值．連接O1B,則O1B=OB1==，∴B1到O1B的距離d===，∵OH=3HB1，∴H到直線O1B的距離為d=．∴===，∴===．故答案為．本題考查了四棱柱的結構特征和三棱錐的體積計算，動態動點的最值問題需要先確定點的位置，屬于較難題．四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內角所對的邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若的面積為3，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理，結合，求出，進而，由余弦定理求出；（2）根據三角形面積求出，故.【小問1詳解】，由余弦定理可得：，，又，，即，又，，可得，，即，.【小問2詳解】由（1）知，，又，故，，，解得..16.如圖，三棱錐中，平面，是空間中一點，且平面.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先根據線面垂直的性質證得，再有線面垂直的判定定理得平面，從而得，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】過點作，垂足為，因為平面平面，所以，因為平面，，所以平面，因為平面，所以，因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】設，且，以為坐標原點，BD為y軸，BA為z軸，過B垂直BD（與CD平行）的線為x軸，如圖建立空間直角坐標系，則，又，由（1）設，設平面的一個法向量，則，令，則，所以，設平面的一個法向量，則，令，則，所以，設平面與平面的夾角為，則，所平面與平面夾角的余弦值為.17.年廣告費（單位：百萬元）和年銷售量（單位：百萬輛）關系如圖所示：令，數據經過初步處理得：444.81040.3160819.58.04現有①和②兩種方案作為年銷售量y關于年廣告費x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數.（1）請從相關系數的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？（精確到小數點后兩位）（2）根據（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數據，求出y關于x的回歸方程，并預測年廣告費為6（百萬元）時，產品的年銷售量是多少？（3）該公司生產的電動車毛利潤為每輛200元（不含廣告費?研發經費）.該公司在加大廣告投入的同時也加大研發經費的投入，年研發經費為年廣告費的199倍.電動車的年凈利潤受年廣告費和年研發經費影響外還受隨機變量影響，設隨機變量服從正態分布，且滿足.在（2）的條件下，求該公司年凈利潤的最大值大于1000（百萬元）的概率.（年凈利潤毛利潤×年銷售量年廣告費年研發經費隨機變量）.附：①相關系數，回歸直線中；②參考數據：【正確答案】（1），由相關系數的相關性質可得，模型②的擬合程度更好.（2），13（百萬輛）（3）0.3【分析】（1）分別計算相關系數和，結合相關系數的性質即可得結果；（2）利用最小二乘法求解即可；（3）由凈利潤為，由導數求最大值求解即可.【小問1詳解】設模型①和②的相關系數分別為.由題意可得：，.所以，由相關系數的相關性質可得，模型②的擬合程度更好.【小問2詳解】因為，又由，得，所以，即回歸方程為.當時，，因此當年廣告費為6（百萬元）時，產品的銷售量大概是13（百萬輛）.【小問3詳解】凈利潤為，令，所以.可得在上為增函數，在上為減函數.所以，由題意得：，即，即該公司年凈利潤大于1000（百萬元）的概率為0.3.18.已知拋物線.過點的動直線與交于兩點（在第一象限），且（為坐標原點）.（1）求的值；（2）設拋物線在處的切線交于點，求面積的最小值；（3）面積最小時，過作直線交拋物線于兩點.軸且的中點在直線上，證明：直線過定點.【正確答案】（1）（2）32.（3）證明見解析【分析】（1）設，與拋物線方程聯立，利用根與系數的關系結合，可求；（2）求導可求得兩點處的切線方程，聯立方程可求得點的坐標，利用弦長公式與點到直線的距離公式可求得，可求最小值；（3）由（2）得，設，與拋物線方程聯立方程組，利用根與系數的關系可得，從而可得結論.【小問1詳解】設，聯立方程①，②，.【小問2詳解】由（1）知，故處切線方程為：，即.同理，點處切線方程為.聯立解得.由②及可得.方程①中，.點到直線的距離.故，當且僅當時等號成立，故面積的最小值為32.【小問3詳解】由（2）知，此時，設，聯立方程，，，令，得，，又，即，所以三點共線，故直線過定點.19.已知函數.（1）當時，若恒成立，求的取值范圍；（2）當時，設為的從小到大的第個極值點.證明：數列是等比數列；（3）設函數在區間內的零點依次為，.求證.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）將轉化為，構造函數，求導判斷其單調性，得單調遞減，則，故.(2)對進行求導，分析符號變化，確定極值點，求，根據等比數列的定義求證即可.(3)當時，取得極