/湖北省武漢市武漢經濟技術開發區2024_2025學年高二下冊3月月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若復數滿足，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．i2．已知事件A，B相互獨立，且，，則（

）A． B． C． D．3．若，，則等于（

）A．5 B．－5 C．7 D．－14．數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知的頂點，，，則的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．5．已知為等比數列的前n項和，，，則（

）．A．30 B． C． D．30或6．若存在，使得不等式成立，則實數m的最大值為（

）A． B． C．4 D．7．數列滿足，，則的值為（

）A．3 B． C．2 D．18．已知函數，若對于任意的使得不等式成立，則實數的取值范圍（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知數列的前項和，則（

）A． B．C．有最小值 D．數列不是等差數列10．已知定義在上的函數的導函數為，且，，則下列判斷中正確的是（

）A． B．C． D．11．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．若在上單調遞減，則的最大值為1B．當時，C．當時，D．存在直線，使得與的圖象有4個交點三、填空題（本大題共3小題）12．設函數的導數為，若，則.13．設動點在棱長為1的正方體的對角線上，記，當為銳角時，的取值范圍是．14．已知函數若對于任意的都有成立，則實數a的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數.（1）求函數的導函數；（2）求過點且與曲線相切的直線方程.16．記數列{an}的前n項積為Tn，且．(1)證明：數列是等比數列；(2)求數列的前n項和Sn．17．如圖1所示，在等腰梯形，，，垂足為，，，將沿折起到的位置，如圖2所示，點為棱上一個動點．(1)求證：；(2)若平面平面；（i）求直線與平面所成角的正弦值；（ii）在棱上是否存在點，使平面，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．18．已知橢圓，點，分別是橢圓短軸的端點，橢圓的焦點也是拋物線的焦點，且.過點且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點.(1)求橢圓的方程；(2)軸上是否存在定點，使得?若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；(3)若點是定直線上任意一點，求證：三條直線，，的斜率成等差數列.19．已知函數，其中e為自然對數的底數.（1）當時，求函數的單調區間及極值；（2）若，求實數的取值范圍.

答案1．【正確答案】A.【詳解】由，可得，所以，所以，所以的虛部為.故選A.2．【正確答案】C【詳解】因為事件是相互獨立事件，所以與相互獨立，所以，則.故選C.3．【正確答案】B【詳解】因為，，兩式相加得，解得；兩式相減得，解得，所以，故選B.4．【正確答案】A【詳解】因為的頂點，，所以線段的中點坐標為，線段所在直線的斜率，所以線段的垂直平分線的斜率，則線段的垂直平分線的方程為，即，因為，所以的外心、重心、垂心都在線段的垂直平分線上，所以的歐拉線方程為.故選A.5．【正確答案】A【詳解】由得，則等比數列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則．故選A．6．【正確答案】A【詳解】由存在，使得不等式成立得：在有解，令，則，故時，，此時函數是單調遞減，時，，此時函數單調遞增，故時，，時，，又，故函數的最大值是，，故選A．7．【正確答案】C【詳解】由已知得：，，，，…，即有，，故選C.8．【正確答案】A【詳解】因為，由可得，即函數的定義域為，可得，即，構造函數，其中，則，故函數在上單調遞增，所以，可得，則，即，其中，令，其中，則，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，，解得.綜上，故選A.9．【正確答案】AC【詳解】因為，所以，故A正確；當時，，當時，也滿足上式，所以數列的通項公式為，所以，所以數列是公差為2的等差數列，所以，故B錯誤；因為，所以當時，；當時，，所以有最小值或，故C正確；因為，所以，所以，所以數列是等差數列，故D錯誤.故選AC.10．【正確答案】ACD【詳解】設，則，所以在上單調遞減，對于A，由，即，即，故A正確；對于B，由，即，又，則，故B錯誤；對于C，由，即，即，故C正確；對于D，由，即，即，故D正確.故選ACD.11．【正確答案】BCD【詳解】解：，由，解得，的最大值為，故A不正確；當時，，即.設，則，在處取得最小值，故B正確；當時，，即.由B選項的過程知，在時，，在上單調遞減，，故C正確；畫出的圖象如圖，可知存在直線，使得與的圖象有4個交點，故D正確，故選BCD.12．【正確答案】/【詳解】.13．【正確答案】【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，由得，則，因為為銳角，所以，解得或，又因為動點在棱長為1的正方體的對角線上，所以的取值范圍為.14．【正確答案】【詳解】對于任意的都有恒成立，等價于在上恒成立.令，則，，當時，，即在上遞增，故，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，所以實數的取值范圍是.15．【正確答案】（1）.（2）和.【詳解】分析：（1）根據多項式的求導法則求導即可；（2）設切點的坐標為，切線方程為：，將點的坐標代入上述方程可得求得或，進而得到切線方程.詳解：（1）.（2）由，設切點的坐標為，由所求切線方程為：，將點的坐標代入上述方程可得：，整理為：，解得：或，將或代入切線方程，可求得切線方程為：和.點睛：這個題目考查了函數的導函數的求法，以及過某一點的切線方程的求法，其中應用到導數的幾何意義，一般過某一點求切線方程的步驟為：一：設切點，求導并且表示在切點處的斜率；二：根據點斜式寫切點處的切線方程；三：將所過的點代入切線方程，求出切點坐標；四：將切點代入切線方程，得到具體的表達式.16．【正確答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）證明：因為為數列的前項積，所以可得，因為，所以，即，所以，又，所以，故是以4為首項，2為公比的等比數列；（2）解：由（1）得：，所以，則設①②則①-②得：則所以的前n項和17．【正確答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）存在，且【詳解】（1）翻折前，在梯形中，，翻折后，則有，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，故.（2）因為平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，且，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，（i），，，設為平面的一個法向量，可得，令，可得，設直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；（ii）設，其中，則，易知平面的一個法向量為，若平面，則，解得，因此，棱上存在點，使平面，且.18．【正確答案】(1)；(2)存在，；(3)證明見解析.【詳解】（1）∵橢圓的焦點也是拋物線的焦點∴，又，∴是等腰直角三角形∴，∴所以橢圓的方程為.（2）假設軸上存在定點，使得，設，，直線的方程為，將直線與橢圓方程聯立，消去整理得到：，∴，，由題意，，則直線，的傾斜角互補，所以，設，則，，∴，將，代入上式，整理得：，∴將，，代入上式整理得：，由于上式對任意實數都成立，所以，即存在點使得.（3）證明：設，要證直線，，的斜率成等差數列，只需證，只需證，只需證只需證只需證只需證，只需證，只需證由（2）可知，，，代入上式顯然成立，故原命題得證.19．【正確答案】（1）函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，極小值為，無極大值；（2）.【詳解】（1）當時，，的定義域為，，易知在上為增函數，令，可得