專題2L13反比例函數的應用【六大題型】

【滬科版】

【題型1圖形問題】............................................................................1

【題型2表格問題】............................................................................4

【題型3工程問題】............................................................................9

【題型4行程問題】...........................................................................13

【題型5銷售問題】...........................................................................16

【題型6物理問題】...........................................................................22

。。次手一笈三

【知識點1反比例函數的應用】

求函數解析式的方法：

（1）待定系數法

（2）根據實際意義求函數解析式

【題型1圖形問題】

【例I】（2022秋?岳陽月考）如圖，科技小組準備用材料圍建一個面積為60〃戶的矩形科技園ABCD,其中

一邊人8靠墻，墻長為12/〃，設4。的長為A7〃，DC的長為）切.

（I）求），與x之間的函數關系式；

（2）根據實際情況，對于（1）式中的函數自變量x能否取值為4〃?，若能，求出y的值，若不能，請說

明理由；

（3）若圍成矩形科技園A8CQ的三邊材料總長不超過26/〃，材料AD和。。的長都是整米數，求出滿足

條件的所有圍建方案.

【分析】（1）根據面積為60混，可得出），與x之間的函數關系式；

（2）直接把x=4代入得出），的值進而比較即可；

（3）由（1）的關系式，結合小y都是正整數，可得出x的可能值，再由三邊材料總長不超過26〃?，DC

的長V12,可得出X、y的值，繼而得出可行的方案.

【解答】解：（1）由題意得，Sn\xiABCD=ADXDC=xy,

故尸三.（5Wx）

（2）不能.當x=4時，y=15>12,不合題意；

（3）由，且小y都是正整數，

可得k可取1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60,

??2+,W26,0<><12,

■符合條件的圍建方案為:AD=5mf。。=12〃?或其。=66，0c=10〃?或AQ=1（）機，DC=6m.

【變式1?1】（2022秋?曲陽縣期末）一菱形的面積為12c>,它的兩條對角線長分別加?〃?，hem,則〃與6

之間的函數關系為。=_g_；這個函數的圖象位于第象限.

【分析】菱形的面積=對角線乘積的一半，列出關系式，寫出a與〃的函數關系式，根據變量的取值，

確定函數所在的象限.

【解答】解：由菱形的面積公式得岫=24,貝lja=?,

D

Va>0,b>0,

???這個函數的圖象位于第一象跟.

【變式1-2］（2022?濱江區二模）用若根火柴首尾相接擺成一個矩形，設每一根火柴的長度為1,矩形兩條

鄰邊的長分別別為x,戶要求擺成的矩形的面積為8.

（1）求），關于x的函數表達式；

（2）能否擺成正方形？請說明理由.

【分析】（1）根據長方形的長=面積?寬列出函數解析式即可；

（2）正方形的邊長相等，說明X、y相等，進一步開方，是整數即可，否則不成立.

【解答】解，⑴廠2=1，2,4,8）；

（2）不能擺成正方形.

理由如下：

為為f=8,

解得：X=2VL不是整數，

所以不能擺成正方形.

【變式1-3］（2022春?江干區期末）在面積都相等的所有三角形中，當其中一個三角形的一邊長x為I時,

這條邊上的高y為6.

（1）①求），關于x的函數表達式；

②當x23時，求y的取值范圍；

（2）小李說其中有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為4,小趙說有一個三角形的一邊與這邊上的高

之和為6.你認為小李和小趙的說法對嗎？為什么？

【分析】（I）①直接利用三角形面積求法進而得出'與x之間的關系；②直接利用x23得出），的取值

范圍；

（2）直接利用，的值結合根的判別式得出答案.

【解答】解：（I）①S4：xlX6=3,

為底，），為高，

?,?如=3,

?6

??），

②當x=3時，y=2,

???當戈23時，y的取值范圍為：0V）W2；

（2）小趙的說法正確，

理由：小李：???小李說其中有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為4,

??161

?x+X-=4,

整理得，『-4.v+6=0,

VA=42-4X6<0,

???一個三角形的一邊與這邊上的高之和不可能是4；

小趙：???小趙說有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為6.

,.6八

..x+-

X=6,

整理得，x2-6.v+6=0,

VA=62-4X6=12>0,

.?.戶等=3士百，

???小趙的說法正確.

根據表格中的數據,當x=24E寸,7=26,

A26-2=24w,

解得：〃=1,

???r?2=x,

，T=x+2,

綜上所述T與x的函數關系式為：

仲℃工8);

U+2(8<x<24),

(2)當12<xW24時，設K與x的函數關系式為8=3+〃，

將x=12,K=32；x=24,K=20代入得：

112k+b=32

124+b=20'

解得：

3=44

???當12WxW24時,K與x的函數關系式為K=?x+44,

故答案為：K=-x+44；

(3)①存在，不變的值為240,

由函數圖像得：當0VxW12時，設K與工的函數關系式為長=紅H"，

將工=0,K=g：x=12,K=32代入得：

他1=8

[12心+瓦=32'

解得:窿量，

，當0VxW12時，K與x的函數關系式為K=2x+8,

???當0VxW8時，y=KT=(2i+8)—=240；

當8<工&12時，y=KT=(2x+8)(x+2)=Zf+l2x+16;

當I2VXW24時，y=KT=(x+2)(-x+44)=-f+42x+88,

綜上所述，在這24周的銷售時間內，存在所獲周利潤總額不變的情況，這個不變值為240.

②當8VxW12時，>'=2^+12^16=2(x+3)2-2,拋物線的對稱軸為x=-3,

???(【)當8VxW12時，在對稱軸右側y隨x的增大而增大，

當2(x+3)2?2=286時，

解得：Xi=9,X2=-15（舍去）；

當x=12時，y取最大值，最大值為448,滿足286WyW504：

當x=9時，周銷售量7的最小值為11：當x=12時，T取最大值14；

（II）當12Vx<24時,y=?/+42x+88=?（x-21）2+529,拋物線的對稱軸為x=21,

當x=12時，y取最小值，最小值為448,滿足286W,W504；

當-（x-21）2+529=504時，

解得：xi=16,及=26（舍去）；

當x=12時，周銷售量丁取最小值為14；當工=16時，7取最大值18：

綜上所述，當周利潤總額的范闈是286W），W504時，對應周捎售量T的最小值是11千套，最大值是18

千套.

【變式2-1]（2022春?鄭州期末）小涂在課余時間找到了幾副度數不同的老花鏡，讓鏡片正對著太陽光，

并上下移動鏡片，宜到地上的光斑最小（可以認為是焦點），此時他測了鏡片與光斑的距離（可以當做

焦距），得到如下數據：

老花鏡的度數100120200250300

。/度

焦距flm10.80.50.40.3

（1）老花鏡鏡片是凸的（凸的、凹的、平的），度數越高鏡片的中心越厚（越薄、越厚、沒

有變化）：

（2）觀察表中的數據，可以找出老花鏡的度數。與鏡片焦距/的關系，用關系式表示為：」=詈_;

（3）如果按上述方法測得一副老花鏡的焦距為0.7加，可求出這幅老花鏡的度數為143度.

【分析】（I）根據題意及常識可求解；

（2）利用表格中的數據可求解。與/的關系式；

（3）將/值代入計算可求解.

【解答】解：（1）老花鏡鏡片是凸的，度數越高鏡片的中心越厚，

故答案為：凸的；越厚；

（2）根據表中數據可得:100X1=100,120X0.8=96,200X0.5=100,250X0.4=100,300X0.3=90,

則老花鏡的度數。與鏡片焦距/的關系可近似的看作f=*，

故答案為：/=嚶；

（3）當片0.7小時，0.7=詈，

解得。比143,

即這幅老花鏡的度數是143度.

故答案為：143度.

【變式2-2］（2022春?社旗縣期中）如圖，李老師設計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一個自制問題

似天平的儀器的左邊固定托盤A中放置一個重物，住右邊活幼托盤〃（可左右移動）中放置一定質量的

祛碼,使得儀器左右平衡.改變活動托盤B與點O的距離x（c，〃），觀察活動托盤8中祛碼的質量），（g）

的變化情況.實驗數據記錄如下表：

x(cm)1015202530

)，⑷3020151210

（1）猜測），與x之間的函數關系，求出函數關系式并加以驗證；

（2）當祛碼的質量為24g時，活動托盤8與點。的距離是多少？

（3）將活動托盤B往左移動時，應往活動托盤B中添加還是減少祛碼？

\尸11/Q2占/

^4IB

【分析】（1）觀察可得：-y的乘積為定值300,故），與工之間的函數關系為反比例函數，將數據代入

用待定系數法可得反比例函數的關系式；

（2）把x=24代入解析式求解，可得答案；

（3）利用函數增減性即可得出，隨著活動托盤8與O點的距離不斷增大，祛碼的示數應該不斷減小.

【解答】解：（1）由圖象猜測），與x之間的函數關系為反比例函數，

???設），=：awo）,

把x=l（）,），=30代入得：々=300,

.300

??y—,

/X

將其余各點代入驗證均適合，

與x的函數關系式為：y=—；

JJx

（2）把），=24代入產咨得：x=12.5,

???當法碼的質量為24g時，活動托盤B與點。的距離是12.5,〃?.

（3）根據反比例函數的增減性，即可得出，隨著活動托盤8與0點的距離不斷減小，跌碼的示數會不

斷增大；

，應添加祛碼.

【變式2-3］（2022春?常州期末）某公司從2014年開始投入技術改進資金，經技術改進后，其產品的成本

不斷降低，具體數據如下表：

年度投入技改資金/萬元產品成本W（萬元/件）

20142.514.4

2015312

201649

20174.58

（1）分析下表中數據，請從一次函數和反比例函數中確定一個函數表示其變化規律，直接寫出），與x的

函數關系式：

（2）按照這種變化規律，若2018年已投入資金6萬元.

①預計2018年每件產品比2017年降低多少萬元？

②若計劃在2018年把每件產品成本降低到5萬元，則還需要投入技改資金多少萬元？

【分析】（1）利用已知數據可得橫縱坐標的枳為定值，進而得出答案；

（2）①利用所求函數解析式進而利用x=6時求出），的值即可得出答案：

②利用y=5代入進而得出答案.

【解答】解：（1）根據已知數據可得：能用反比例函數表示其變化規律，

p與X的函數關系式是：y=-；

X

（2）①當x=6時，），=6,

則8-6=2（萬元），

答：預計2018年每件產品成本比2017年降低2萬元；

②當）,=5時，x=7.2,

7.2-6=1.2（萬元），

答：還需投入技改資金1.2萬元.

【題型3工程問題】

[例3]（2022?市南區校級二模）新冠肺炎疫情發生后，社會各界枳極行動，以各種方式傾恃支援湖北疫

區，某車隊需要將?批生活物資運送至湖北疫區.已知該車隊計劃每天運送的貨物噸數y（噸）與運輸

時間x（天）之間滿足如圖所示的反比例函數關系.

（1）求該車隊計劃每天運送的貨物噸數），（噸）與運輸時間x（天）之間的函數關系式；（不需要寫出

自變量1的取值范圍）

（2）根據計劃，要想在5天之內完成該運送任務，則該車隊每天至少要運送多少噸物資？

（3）為保證該批生活物資的盡快到位，該車隊實際每天運送的貨物噸數比原計劃多了25%,最終提前了

I天完成任務，求實際完成運送任務的天數.

【分析】（1）設反比函數的解析式，代入（2,100）即可求解；

（2）設該車隊每天至少要運送，〃噸物資，根據題意列不等式，解不等式即可;

（3）設原計劃每天運送貨物〃噸，根據題意列分式方程，即可求出.

【解答】解：（1）???y與6滿足反比例函數關系，

???設將點（2,100）代入，

解得女=200,

?200

..V=----?

X

（2）設該車隊每天至少要運送，〃噸物資，

則5m2200,

則加240,

???該車隊每天至少要運送40噸物資.

（3）設該車隊原計劃每天運送的貨物〃噸，

則實際每天運送的貨物為（1+25%）〃噸，

根據題意列方程得，

200,y200

-i：l-+-2-5-%--）-n+1=--n-，

解得〃=40,

經檢驗，〃=40是原方程的根，

???原計劃每天運送貨物40噸，實際每天運送貨物50噸，

???實際完成運送任務的天數是*=4（天）.

【變式3-1]（2022?市南區模擬）某校綠色行動小組組織一批人參加植樹活動，完成任務的時間y（//）是

參加植樹人數x（人）的反比例函數，且當戈=20人時，y=3h.

（1）若平均每人每小時植樹4棵，則這次共計要植樹棵：

（2）當x=80時，求y的值；

（3）為了能在1.5〃內完成任務，至少需要多少人參加植樹？

【分析】（1）直接利用當x=20人時，y=3h,平均每人每小時植樹4棵，即可得出這次共計要植樹的

總棵數；

（2）首先求出反比例函數解析式，進而利用當x=80時，得出），的值，進而得出答案；

（3）利用），=1.5時，求出x的值進而得出答案.

【解答】解：（1）由題意可得：20X4X3=240；

故答案為：24（）；

（2）設），與x的函數表達式為：（AH0）,

??,當x=20時，y=3.

A3=-

20

???k=60,

?60

.,廠工，

當尸80時,產案=*

（3）把），=1.5代入產?，得

解得：x=40,

根據反比例函數的性質，y隨x的增大而減小，所以為了能在1.5%內完成任務，至少需要40人參加植樹.

【變式3-2］（2022?仙居縣一模）縣政府計劃建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為6X105（單

位：〃?3）,某運輸公司承擔了運送土石方的任務.

（1）運輸公司平均運送速度v（單位：，〃3/天）與完成運送任務所需時間，（單位：天）之間具有怎樣的

函數關系？

（2）這個運輸公司共有8（）輛F車，每天可運送土石方IO,（單位：加），公司完成全部運輸任務需要

多長時間？

（3）當公司以問題（2）中的速度工作了3（）天后，由于工程進度的需要，剩下的運輸任務必須在20天

內完

成，則運輸公司至少要增加多少輛卡車？

【分析】（1）由總量=打，求出v即可；

（2）把，的值代入計算即可求出，的值；

（3）設需要增加。輛卡車，每輛卡車每天運輸土石方為暮=125〃再求出前30天與后20天的土石方確

ou

定出解析式，即可求出。的最小值.

5

【解答】解（I）Vv/=6XI0,

（2）當v=IO4時，=誓二60（天），

答：公司完成全部運輸任務需要60天；

（3）設需要增加〃輛卡車，每輛卡車每天運輸土石方為暮=125〃3

80

???前30天運輸土石方：30X104=3X10W,

???后20天運輸土石方:6X105-3X1O5=3X105,

設30天后的每天運輸速度為小所需時間小

?3X105

.?VI=---------,

由I，尸嚶的性質可知，當人>0時，也隨著。的增大而減少，

r.20X125（a+80）>3X105,

???。240,

??a得最小值是40,

答：運輸公司至少要增加40輛卡車.

【變式3-3］（2022秋?商州區校級期末）碼頭工人每天往?艘輪船上裝載貨物，平均每天裝栽速度y（噸/

天）與裝完貨物所需時間x（天）之間是反比例函數關系，其圖象如圖所示.

（1）求這個反比例函數的表達式；

（2）由于緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸貨完畢，那么平均每天至少要卸貨多少噸？

（3）若碼頭原有工人10名，且每名工人每天的裝卸量相同，裝載完畢恰好用了8天時間，在（2）的條

件下，至少需要增加多少名工人才能完成任務？

【分析】（1）根據題意即可知裝載速度y（噸/天）與裝完貨物所需時間x（天）之間是反比例函數關系,

則可求得答案；

（2）由x=5,代入函數解析式即可求得1y的值，即求得平均每天至少要卸的貨物；

（3）由1（）名工人，每天一共可卸貨50噸，即可得出平均每人卸貨的噸數，即可求得答案.

【解答】解:（1）設y與x之間的函數表達式為

根據題意得：50=3

O

解得—400,

???,，與之間的函數表達式為尸—；

xX

（2）Vx=5,???y=400+5=80,

解得：y=80；

答：平均每天至少要卸80噸貨物；

（3）???每人一天可卸貨:504-10=5（噸），

.*.804-5=16（人），16?10=6（人）.

答：碼頭至少需要再增加6名工人才能按時完成任務.

【題型4行程問題】

[ft4]（2022春?宜興市校級期末）一司機駕駛汽車從甲地去乙地，以80千米/小時的平均速度用6小時

到達目的地.

（1）當他按原路勻速返回時，求汽車速度I，（千米/小時）與時間■（小時）之間的函數關系式；

（2）如果該司機勻速返回時，用了4.8小時，求返回時的速度：

（3）若返回時，司機全程走高速公路，且勻速行駛，根據規定：最高車速不得超過每小時120公里，最

低車速不得低于每小時60公里，試問返程時間的范圍是多少？

【分析】（1）首先根據題意，求解可得：5=V*/=480,汽車速度v（千米/小時）與時間/（小時）之間

為反比例函數關系式，將數據代入用待定系數法可得反比例函數的關系式；

（2）由（1）中的解析式和/=4.8可進一步求解可得u的值；

（3）根據題意或結合圖象可知，分別計算v=120時和v=60時/的值即可求得范用.

【解答】解：（1）V5=80X6=480

，汽車速度v（千米/小時）與時間1（小時）之間的函數關系式：“=等

(2)當f=4.8時，丫=翳=100,

答：返回時的速度為100T?米/小時.

（3）如圖,2=480>0,f隨y的減小而增大,

當i，=120時，/=4,

當n=60時，1=8,

???4W/W8.

答：根據限速規定，返程時間不少于4小時且不多于8小時.

【變式4-1]（2022春?相城區期末）一列貨車從北京開往烏魯木齊,以58kmlh的平均速度行駛需要65//.為

了實施西部大開發，京烏線次定全線提速.

（1）如果提速后平均速度為vkmJh,全程運營時間為/小時，試寫出/與v之間的函數表達式；

（2）如果提速后平均速度為78妨防，求提速后全程運營時間；

（3）如果全程運營的時間控制在404內，那么提速后，平均速度至少應為多少？

【分析】（1）直接利用路程=時間X速度得出總路程進而得出函數關系式；

（2）利用總路程除以速度即可得出時間；

（3）利用總路程除以時間即可得出平均速度.

【解答】解：（1）由題意可得，總路程為58X65=3770（km）,

則提速后平均速度為vkm/h,全程運營時間為1小時，

故/與v之間的函數表達式為：Q%;

V

（2）當u=78"〃〃i時，t=—=48-（小時），

783

答：提速后全程運營時間為48”時；

（3）???全程運營的時間控制在40/?內，

；?平均速度應為：色耳=94.25,

40

答：提速后，平均速度至少應為94.254/〃.

【變式4-2]（2022?麗水）麗水某公司將“麗水山耕”農副產品運往杭州市場進行銷售，記汽車行駛時間

為■小時，平均速度為u千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）.根據經驗，也,的一組對應

值如下表：

v（千米/小時）7580859095

t（小時）4.003.753.533.333.16

（1）根據表中的數據，求出平均速度u（千米/小時）關于行駛時間小時）的函數表達式；

（2）汽車上午7：30從麗水出發，能否在上午1（）：00之前到達杭州市場？請說明理由；

（3）若汽車到達杭州市場的行駛時間，滿足3.5W/W4,求平均速度口的取值范圍.

【分析】（1）根據表格中數據，可知y是，的反比例函數，設mg,利用待定系數法求出％即可；

（2）根據時間f=2.5,求出速度,即可判斷;

（3）根據自變量的取值范圍，求出函數值的取值范圍即可;

【解答】解：（1）根據表格中數據，可知〃=力

■=75時，r=4,

???k=75X4=300,

.?.1，=拳心3).

(2)???10-7.5=2.5,

?7=2.5時，v=^=120>I00,

???汽車上午7：30從麗水出發，不能在上午10：00之前到達杭州市場.

（3）???3.5WEW4,

???75W出羅

答：平均速度v的取值范圍是75W區第.

【變式4-3］（2022?河北）如圖是輪滑場地的截面示意圖，平臺/小距x軸（水平）18米，與），軸交于點B,

與滑道（121）交于點A,且4B=1米.運動員（看成點）在84方向獲得速度u米/秒后，從4處

向右下飛向滑道，點W是下落路線的某位置.忽略空氣阻力，實驗表明：M,A的豎直距離人（米）與

飛出時間，（秒）的平方成正比，且1=1時〃=5,M,A的水平距離是w米.

（1）求鼠并用t表木h\

（2）設u=5.用，表示點M的橫坐標x和縱坐標y,并求），與x的關系式（不寫x的取值范圍），及），

=13時運動員與正下方滑道的豎直距離；

（3）若運動員甲、乙同時從4處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒.當甲距x軸1.8米，且乙位于甲

右側超過4.5米的位置時，直接寫出/的值及y乙的范圍.

【分析】（1）用待定系數法解題即可；

（2）根據題意，分別用/表示黑），，再用代入消元法得出），與x之間的關系式；

（3）求出甲距x軸1.8米時的橫坐標，根據題意求出乙位于甲右側超過4.5米的V乙.

【解答】解：（1）把點A（1,18）代入產一，得，18=J

,X1

?M=18,

設/?=。尸，把7=1,〃=5代入，得，4=5,

??./?=5戶.

(2)Vv=5,AB=\米，

，x=5f+l,

V/?=5/2,08=18米，

，尸-5尸+18,

由.v=5/+l,

則/=沁-1),

.*.)'=-1(X-I)2+18=-1%2+

當)，=13時，13=-i(x-1)2+18,

解得x=6或-4,

??321,

?\x=6,

把x=6代入，得，尸爭

y=3,

，運動員與正下方滑道的豎直距離是13?3=10(米).

(3)把)，=1.8代入y=-5P+18,得，3=M

解得/=1.8或-1.8(負值舍去)，

.*.x=10,

???甲的坐標為(10,1.8),

此時，乙的坐標為(1+1.8VZ.,1.8),

由題意：l+1.8vz,-(1+5X1.8)>4.5,

?“乙》7.5.

/?/=1.8,u乙>7.5.

【題型5銷售問題】

[例5]（2022秋?新都區期末）2020年9月，中國在聯合國大會上向世界宣布了2030年前實現碳達峰、

2060年前實現碳中和的目標.為推進實現這一目標，某工廠投入資金進行了為期6個月的升級改造和節

能減排改造，導致月利潤明顯下降，改造期間的月利潤與時間成反比例函數關系；到6月底開始恢復全

面生產后，工廠每月的利潤都比前一個月增加3（）萬元.設2021年1月為第1個月，第x個月的利潤為

y萬元，其圖象如圖所示，試解決下列問題：

（1）分別寫出該工廠對生產線進行升級改造前后y與A-的函數表達式；

（2）當月利潤少于90萬元時，為該工廠的資金緊張期，則該工廠資金緊張期共有幾個月.

【分析】（1）根據待定系數法可得到反比例函數解析式；由工廠每月的利潤都比前?個月增加30萬元,

可求出改造后y與x的函數表達式：

（2）對于尸產，），=90時，x=2,得至Ux>2時，），V90,對于y=30x?150,當），=90時，x=8,于是

可得到結論.

【解答】解：（1）設改造前y與x的函數關系式為尸與把工=1,）,=]80代入得，2=180,

???改造前y與x之間的函數關系式為）=警，

把x=6代入得），=等=30,

6

由題意設6月份以后），與A-的函數關系式為y=30x+b,

把x=6,）=30代入得，30=30X6+4

:?b=-150,

工），與x之間的函數關系式為j=30.i-150；

（2）對于），=鱉，y=90時，《=2,

XJ

V^=180>0,y隨工的增大而減小,

.;。2時，yV90,

對于y=30x-150,當y=90時，x=8,

??Z=10>0,y隨x的增大而增大，

???xV8時，,Y90,

.\2<x<8時，月利潤少于90萬元,

???該工廠資金緊張期共有5個月.

【變式5-1］（2022?定海區模擬）某公司為了宣傳一種新產品，在某地先后舉行40場產品促銷會，已知該

產品每臺成本為10萬元，設第x場產品的銷售量為），（臺），第一場銷售產品49臺，然后每增加一場，

產品就少賣出1臺.

（1）第5場銷售多少臺產品？并求出），與％之間的函數關系式.

（2）產品的每場銷售單價P（萬元）由基本價和浮動價兩部分組成，其中基本價為10萬元，第I場?

第20場浮動價與銷售場次x成正比，第21場?第40場浮動價與銷售場次x成反比，經過統計，得到如

表數據：

x（場）31036

P（萬元）10.61213

①求P與1之間滿足的函數關系式.

②當產品銷售單價為13.6萬元時，求銷售場次是第幾場？

③在這40場產品促銷會中，哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

【分析】（I）設第x場產品的銷售量為y（臺），根據已知第一場銷售產品49臺，然后每增加一場，產

品就少賣出1臺，即第5場銷售的臺數和），與文之間滿足的函數關系式；

（2）①根據題意可知每場銷售單價〃（萬元）=基本價+浮動價.設基本價為4分兩種情況：第1場一

第20場，設〃與x的函數關系式為〃=如+兒把（3,106）,（10,12）代入，利用待定系數法求出p

與工的函數關系式；第21場--第4。場，設〃與x的函數關系式為p=1+A,把（36,13）代入，利

用待定系數法求出〃與x的函數關系式；然后將〃=13分別代入兩個函數解析式，求出x即可；

②把13.6代入①中解析式，求解即可；

②設每場獲得的利潤為w（萬元）.根據利潤=（銷售單價-每臺成本）X銷售量，分①IWXW20；②

21W*W4O兩種情況，分別列出卬與人的解析式，再根據函數的性質結合自變量的取值范圍求出w的最

大值，最后比較即可.

【解答】（1）由題意，當x=5時，y=45,

y與x的函數關系式為），=50?x.

???第5場銷售45臺產品，y與x的函數關系式為y=50-x；

（2）設基本價為江

①第1場?第20場，1WXW20且x為正整數,

設尸與x的函數關系式為P=ax+b,

依題意得:｛流，U等

解制｛二需

/.P=0.2v+10.

第21場?第40場，即21WZ40且戈為正整數時,

設〃與4的函數關系式為P=號+b,

即P=^+1O

X

依題意得：13=三+10,

36

解得加=108,

&+10,

X

???當1W?W2O且x為正整數時，P與x之間滿足的函數關系式為〃=0.2x+0；當21WxW40且x為正整數

時，P與x之間滿足的函數關系式為尸=3+10;

X

②當尸=13.6時，。冬+10=13.6,

解得x=18,

或坨+10=13.6,

X

解得x=30.

故當產品銷售單價為13.6萬元時，銷售場次是第18場和第30場；

③設每場獲得的利潤為卬(萬元).

當IWXW20且x為正整數時，卬=(O.Zv+IO-10)(50-A)=-0^2+10^=-0.2(x-25)2+125,

???在對稱軸的左側，卬隨X的增大而增大，

?,.當x=20時,w最大,最大利潤為-0.2(20-25)2+125=120(萬元).

當2KW40且x為正整數時，w=(詈+10-10)(50一x)二警一108,

???w隨x的增大而減小,

???當工=21時，卬最大，最大利潤為喋-108=149,(萬元)，

.?.149產20,

在這40場產品促銷會中，第21場獲得的利潤最大，最大利潤為14、萬元.

【變式5-2]（2022?河北模擬）小米利用暑期參加社會實踐，在媽媽的幫助下，利用社區提供的免費攤點

賣玩具，已知小米所有玩具的進價均2元/個，在銷售過程中發現：每天玩具銷售量y件與銷售價格x元

/件的關系如圖所示，其中4B段為反比例函數圖象的一部分，段為一次函數圖象的一部分，設小米銷

售這種玩具的日利潤為w元.

（1）根據圖象，求出），與x之間的函數關系式；

（2）求出每天銷售這種玩具的利潤卬（元）與工（元/件）之間的函數關系式，并求每天利潤的最大值；

（3）若小米某天將價格定為超過4元（x>4）,那么要使得小米在該天的銷售利潤不低于54元，求該

【分析】（1）直接利用待定系數法得出反比例函數以及一次函數的解析式即可;

（2）利用當2W,W4時，當44W14時，分別得出函數最值進而得出答案；

（3）利用w=54,得出x的值,進而得出答案.

【解答】解（1）TAB段為反比例函數圖象的一部分，A（2,40）,

/.當2&W4時，y=?，

??VC'段為一次函數圖象的一部分，且B（4,20）、C（14,0）,

???設BC段為一次函數函數關系式為y=kx+b,有｛::煞

解得鵬：28

.?.當4WX<14時，y=-2計28,

???y與.1之間的函數關系式為：）=卜，一一）;

（-2x4-28（4<14）

(2)當2WxW4時，卬=(x-2)y=(x-2)--=80"—,

,XX

???隨著X的增大，一坨增大，卬=80+上也增大，

XX

???當x=4時，w取得最大值為40,

當4cxW14時，vv=(x-2)v=(x-2)(-Zv+28)=-2r+32x-56,

,?2=-2F+32I_56=-2(x-8)2+72,-2<0,4<8<14,

???當x=8時，卬取得最大值為72,

綜上所述，每天利潤的最大值為72元；

（3）由題意可知：w=?23+32?56=?2（x?8）2+72,

令卬=54,BPvv=-2-d+32x?56=54,

解得：=5,X2=U，

由函數表達式及函數圖象可知，要使卬254,54W1I,

???當5WxW11時，小米的銷售利潤不低于54元.

【變式5-3］（2022?青羊區模擬）某學校小組利用暑假中前40天參加社會實踐活動，參與了一家網上書店

的經營，了解到一種成本為2（）元/本的書在x天銷售量〃=50-工，在第X天的售價為），（元/本），），與x

的關系如圖所示.己知當社會實踐活動時間超過一半后.），一20十手

（1）請求出當1WXW20時，），與工的函數關系式，請問第幾天此書的銷售單價為35元/本？

（2）這40天中該網點銷售此書第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？

y八

40

30.5

~7）n53i1>x

【分析】（1）當1WXW20時，設），=匕+〃，將（1,30.5）,（20,40）代入，利用待定系數法求出y

與x的函數關系式；然后在每個x的取值范闈內，令y=35,分別解出x的值即可；

（2）利用利潤=售價?成本,分別求出在14W20和2KW40時，獲得的利潤w與x的函數關系式;

再利用二次函數及反比例函數口勺性質求出最大值，然后比較即可.

【解答】解：（1）當時，設y=H+〃,

將（1,30.5）,（20,40）代入得

（k+b=30.5

l20/c+b=40，

解得[上=；.

Vb=30

則y與x的函數關系式為y=1+30；

當1WXW20時，令1+30=35,解得％=10,

當40H寸，令20+”=35,解得：x=21,

X

經檢驗得工=21是原方程的解且符合題意，

即第10天或者第21天該商品的銷售單價為35元/件:

(2)設該網店笫x天獲得的利潤為M，元.

當1WXW20時，vv=(-x+30-20)(50-x)=--,r+15A-i-500=--(x-15)24-l^

2222

,當x=15時，w有最大值陰，且曲=詈,

當21WxW40時，卬一(2022)(50-x)=1^2-315,

X

V15750>0,

二竺出隨工的增大而減小,

???x=21時，史衛最大.

于是，x=21時，w有最大值卬2，且卬2=^^-315=435,

Vin>K'2,

???這40天中該網點銷售此書第10天獲得的利潤最大，最大的利潤是612.5元.

【題型6物理問題】

[ft6]（2022?青秀區校級一模）學校的自動飲水機,開機加熱時每分鐘上升10C,加熱到100℃,停止

加熱，水溫開始下降.此時水溫y（’C）與通電時間x（〃?沅）成反比例關系.當水溫降至20℃時，飲水

機再自動加熱，若水溫在20c時接通電源，水溫），與通電時間工之間的關系如圖所示，則下列說法中正

確的是（）

乂七）.

20----------

J/min

A.水溫從20℃加熱到100C,需要7加〃

B.水溫下降過程中，），與x的函數關系式是J，二手

C.上午8點接通電源，可以俁證當天9：3（）能喝到不超過40℃的水

D.水溫不低于30C的時間為日〃"力

【分析】因為開機加熱時,飲水機每分鐘上升10C,所以開機加熱到100C,所用時間為檔券=8加%

故A不合題意，利用點（8,100）,可以求出反比例函數解析式，故B不符合題意，令y=20,則x=40,

求出每40分鐘，飲水機重新加熱，故時間為9點30時。，可以得到飲水機是第三次加熱，并且第三次加

熱了10分鐘，令x=10,代入到反比例函數中，求出戶即可得到C不符合題意，先求出加熱時間段時,

水溫達到30C所用的時間，再由反比例函數，可以得到冷卻時間時，水溫為30c時所對應的時間，兩個

時間相減，即為水溫不低于30℃時的時間.

【解答】解：???開機加熱時每分鐘上升10C,

???水溫從20℃加熱到100C,所需時間為：噬至=8〃?加，

故A選項不合題意；

由題可得，（8,100）在反比例函數圖象上，

設反比例函數解析式為y=￡,

代入點（8,100）可得，2=800,

???水溫下降過程中，y與x的函數關系式是y=第，

故3選項不合題意；

令y=20,則等=2（）,

Ax=40,

即飲水機每經過40分鐘，要重新從20c開始加熱一次，

從8點9點30分鐘，所用時間為90分鐘，

而水溫加熱到100C,僅需要8分鐘，

故當時間是9點30時，飲水機第三次加熱，從20℃加熱了10分鐘，

令x=10,則y=臂=80℃>40C,

故C選項不符合題意；

水溫從20c加熱到30℃所需要時間為：嗒=1加〃，

令y=30,則產二30,

.80

??X-

；?水溫不低于30℃的時間為三一1=!加〃，

故選：D.

【變式6-1]（2022?棗莊）為加強生態文明建設，某市環保局對一企業排污情況進行檢測，結果顯示：所

排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L.環保局要求該企業立即整改，在

15天內（含15天）排污達標.整改過程中，所排污水中硫化物的濃度'（/咫比）與時間x（天）的變化

規律如圖所示，其中線段人C表示前3天的變化規律，第3天忖硫化物的濃度降為4.5〃陪/心從第3天起,

所排污水中硫化物的濃度y與E寸間x滿足卜.面表格中的關系：

時間X（天）3569……

硫化物的濃度4.52.72.251.5……

y（mg/L）

（1）在整改過程中，當0Wx<3時，硫化物的濃度），與時間x的函數表達式；

（2）在整改過程中，當x23時，硫化物的濃度y與時間式的函數表達式；

（3）該企業所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內不超過最高允許的1.（）〃吆〃？為什么?

【分析】（1）設AC的函數關系式為：y=kx+b,將人和C代入，從而求得匕b,進而求得的結果；

（2）可推出x?y=13.5為定值，所以當工》3時，），是工的反比例函數，進而求得結果；

（3）將x=15代入反比例函數關系式，從而求得y的值，進而根據反比例函數圖象性質，從而得出結論.

【解答】解：（1）設線段AC的函數表達式為：尸心+〃，

.3=12

**l3fc+b=4.5,

.@=12

一口=-2.5，

???線段4c的函數表達式為：y=-2.5x+12（0Wx<3）；

（2）該企業所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內不超過最高允許的I.O〃?g/L,理由如下：

V3X4.5=5X2.7=...=13.5,

???），是x的反比例函數，

（后；

Ay=—X3）

（3）當x=15時，尸詈=0.9,

V13.5>0,

隨.1的增大而減小，

???該企業所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內不超過最高允許的L0mg/L.

【變式6-2]（2022秋?溫州期末）項目化成果展示了一款簡易電子秤：可變電阻上裝有托盤（質量忽略不