大學(xué)數(shù)學(xué)三試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的定義域是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\gt1$D.$x\lt1$2.極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.$\infty$3.函數(shù)$y=x^2$的導(dǎo)數(shù)$y^\prime=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$2$D.$x$4.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$x^2$，則$f(x)=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{3}x^3$D.$x$5.矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的行列式的值為（）A.-2B.2C.10D.-106.向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,-1)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.0B.4C.2D.-27.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對(duì)收斂8.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(0,1)$，則$P(X\lt0)=$（）A.0.5B.0C.1D.0.259.函數(shù)$z=x+y$在點(diǎn)$(1,1)$處的全微分$dz=$（）A.$dx+dy$B.$dx-dy$C.$2dx+2dy$D.010.已知事件$A$，$B$，且$P(A)=0.5$，$P(B)=0.3$，$P(AB)=0.1$，則$P(A\cupB)=$（）A.0.7B.0.8C.0.6D.0.4二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=\sinx$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}$3.以下求導(dǎo)正確的是（）A.$(e^x)^\prime=e^x$B.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$C.$(\sinx)^\prime=\cosx$D.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$4.下列積分中，計(jì)算正確的有（）A.$\intxdx=\frac{1}{2}x^2+C$B.$\int\cosxdx=\sinx+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$5.對(duì)于矩陣$A$和$B$，下列說法正確的有（）A.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$B.$(AB)^T=B^TA^T$C.$(kA)^T=kA^T$（$k$為常數(shù)）D.$A+B=B+A$6.向量$\vec{a}=(1,1,1)$，$\vec{b}=(1,-1,0)$，則下列正確的有（）A.$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$B.$|\vec{a}|=\sqrt{3}$C.$\vec{a}$與$\vec{b}$夾角余弦值為$0$D.$\vec{a}$與$\vec{b}$平行7.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$8.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從二項(xiàng)分布$B(n,p)$，則（）A.$E(X)=np$B.$D(X)=np(1-p)$C.$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$D.$X$取值為$0,1,\cdots,n$9.函數(shù)$z=x^2+y^2$的性質(zhì)正確的有（）A.有駐點(diǎn)$(0,0)$B.在$(0,0)$處取極小值C.是旋轉(zhuǎn)拋物面D.偏導(dǎo)數(shù)$z_x=2x$，$z_y=2y$10.對(duì)于事件$A$，$B$，$C$，下列概率公式正確的有（）A.$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)$B.$P(AB)=P(A)P(B|A)$（$P(A)\neq0$）C.$P(A\cupB\cupC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$D.$P(\overline{A})=1-P(A)$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)$y=x^3$的二階導(dǎo)數(shù)$y^{\prime\prime}=6x$。（）4.$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$（$f(x)$為奇函數(shù)）。（）5.若矩陣$A$可逆，則$|A|\neq0$。（）6.兩個(gè)非零向量垂直，則它們的數(shù)量積為0。（）7.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）8.隨機(jī)變量$X$的期望$E(X)$一定是$X$的一個(gè)取值。（）9.函數(shù)$z=xy$的偏導(dǎo)數(shù)$z_x=y$，$z_y=x$。（）10.若$A$，$B$為互斥事件，則$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的極值。答案：$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$，$x=2$。$f^{\prime\prime}(x)=6x-6$，$f^{\prime\prime}(0)=-6\lt0$，$f(0)=1$為極大值；$f^{\prime\prime}(2)=6\gt0$，$f(2)=-3$為極小值。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx$。答案：由積分公式$\int(x^2+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x+C$，根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}+1)-0=\frac{4}{3}$。3.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣$A^{-1}$。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$，伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，則$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。4.已知隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(1,4)$，求$P(X\lt3)$。（$\varPhi(1)=0.8413$）答案：$X\simN(1,4)$，則$Z=\frac{X-1}{2}\simN(0,1)$。$P(X\lt3)=P(\frac{X-1}{2}\lt\frac{3-1}{2})=P(Z\lt1)=\varPhi(1)=0.8413$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的單調(diào)性與漸近線。答案：對(duì)$y=\frac{1}{x-1}$求導(dǎo)，$y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0$，在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上單調(diào)遞減。$x=1$是垂直漸近線，$y=0$是水平漸近線。2.討論矩陣可逆的條件及可逆矩陣的性質(zhì)。答案：矩陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$。可逆矩陣性質(zhì)有：$(A^{-1})^{-1}=A$，$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}(k\neq0)$，$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$等。3.討論級(jí)數(shù)斂散性的判別方法。答案：有比較判別法（與已知斂散的級(jí)數(shù)比較）、比值判別法（通過相鄰項(xiàng)比值極限判斷）、根值判別法（通過通項(xiàng)的$n$次方根極限判斷）等。正項(xiàng)級(jí)數(shù)常用這些方法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)可用萊布尼茨判別法。4.討論二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的關(guān)系。答案：二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的分布函數(shù)$F(x,y)$，邊緣分布函數(shù)$F_X(x)=F(x,+\infty)$，$F_Y(y)=F(+\infty,y)$。邊緣分布函數(shù)可由分布函數(shù)確定，分布函數(shù)能全面描述二維隨機(jī)變量，邊緣分布是其在單個(gè)變量上的體現(xiàn)。答案一、單