高級中學名校試卷PAGEPAGE1內蒙古自治區包頭市2024屆高三下學期二模數學試題（理）一、選擇題1.已知全集，集合A滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，，可得或則，，，，故B項正確，A,C,D項均是錯誤的.故選：B.2.已知復數（為虛數單位），則的虛部為（）A B. C. D.【答案】A【解析】因為復數，所以的虛部為.故選：A.3.設m，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由不能推出，如滿足，但無意義，故“”不是“”的充分條件；再由可得，即得，故“”是“”的必要條件.即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.將個和個隨機排成一行，則個不相鄰的概率為（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【答案】C【解析】法，最后利用古典概型的概率計算公式計算即可.【詳析】個和3個隨機排成一行，即五個確定的位置中選擇3個放字母，其他放字母，故不同排法有種，若再要求個不相鄰，則需3個放好，有4個空，個插空擺放即可，即，所以個不相鄰的概率為.故選：C.5.若實數x，y滿足約束條件則的（）A.最小值為5 B.最大值為5C.最小值為6 D.最大值為6【答案】A【解析】由不等式組作出可行域如圖：由，可得,由圖可知，平移直線，當與重合時，取最小值5，故選：A.6.已知數列為等比數列，且，，設等差數列的前n項和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】數列為等比數列，設公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.7.中國南北朝時期的著作《孫子算經》中,對同余除法有較深的研究.設,,（）為整數，若和被除得的余數相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】B【解析】因為，所以，所以，即被除得的余數為，結合選項可知只有被除得的余數為.故選：B.8.聲音是由物體振動產生的聲波，其中包含著正弦函數.純音的數學模型是函數，但我們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結合，稱為復合音.若一個復合音的數學模型是函數，則下列說法正確的是（）A.的一個周期為 B.的最大值為C.的圖象關于點對稱 D.在區間上有2個零點【答案】D【解析】對于A,因為的周期為，的周期為，所以的周期為，故A錯誤；對于B,因為函數的最大值為1,的最大值為，故兩個函數同時取最大值時，的最大值為，此時需滿足且，不能同時成立，故最大值不能同時取到，故的最大值不為，則B錯誤；對于C，，則，故的圖象不關于點對稱，C錯誤；對于D,因為時，，又，所以或者；或者，此時，又，所以，綜上可知，區間上有2個零點，故D正確，故選：D.9.在平面直角坐標系中，設，，動點P滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，則，，則，即，化為，則點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點共線，顯然當直線與此圓相切時，的值最大.又,則,則.故選：C.10.在正方體中，E為BD的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】以點為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，則直線與所成角的余弦值為，故選：D11.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在雙曲線上的點P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，則，而，所以，所以點到的距離為，又，所以，解得，即，從而，又因為，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.12.已知且，且，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】構造函數，，則，當時，；當時，，則在上單調遞增；在上單調遞減，又，則，則，，同理，，則，即，，所以，故選：D.二、填空題13.拋物線的準線方程為，則實數a的值為______.【答案】【解析】依題可知，則，故答案為：.14.在中，A，B，C的對邊分別為a，b,c,已知，，，則邊______.【答案】【解析】因，由余弦定理，，化簡得，因，，故.故答案為：.15.已知圓柱的兩個底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側面積的最大值為______.【答案】【解析】設球半徑為，圓柱的底面半徑為，母線為，由題意可知，解得，又圓柱的兩個底面的圓周在表面積為的球O的球面上，所以圓柱的兩個底面的的圓心關于球心對稱，且，圓柱的側面積，，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，.故答案為：.16.已知不等式對任意的實數x恒成立，則的最大值為______.【答案】【解析】令，則，不等式可化為：對任意的實數x恒成立，即對任意的實數x恒成立.設，則，當時，，在R上單調遞增，，不合題意；當時，由可得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則當時，.因對任意的實數x恒成立，故恒成立，即，則.令，則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減.故，即,故的最大值為.故答案為：.三、解答題（一）必考題17.滎陽境內廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉”.有甲，乙，丙三位同學進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負，本局比賽結束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽.設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數，求X的分布列和數學期望.解：（1）因各局比賽的結果相互獨立，前3局比賽甲都獲勝，則前3局甲都取勝的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，則；所以X的分布列為X0123P故X的數學期望為.18.如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形,,.（1）求證：；（2）若二面角為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.（1）證明：取BC中點O，連接AO，EO.∵是等邊三角形，O為BC中點，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.（2）解：連接DO，則，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如圖，以O為坐標原點，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，設平面ACD的法向量為，則即取，則.∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，則，∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為.19.已知函數.（1）若是函數的極值點，求a的值；（2）求函數的單調區間.解：（1）函數定義域為，，因為是函數的極值點，所以，解得或，因為，所以.此時，令得，令得，∴在單調遞減，在單調遞增，所以是函數的極小值點.所以.（2）.因為，所以，令得；令得；∴所以時，函數增區間為,時函數的單調減區間為，單調增區間為.20.已知橢圓E：過點，且焦距為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）過點作兩條互相垂直的弦AB，CD，設弦AB，CD的中點分別為M，N.①證明：直線MN必過定點；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.（1）解：依題意有，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①證明：設：，，，則：，聯立，故，，，故，由代替m，得，當，即時，：，過點.當，即時，，：，令，，直線MN恒過點.當，經驗證直線MN過點.綜上，直線MN恒過點.②解：，令，，∵在上單調遞減，∴，當且僅當，時取等號.故面積的最大值為.21.已知數列為有窮數列，且，若數列滿足如下兩個性質，則稱數列為m的k增數列：①；②對于，使得的正整數對有k個.（1）寫出所有4的1增數列；（2）當時，若存在m的6增數列，求m的最小值；（3）若存在100的k增數列，求k的最大值.解：（1）由題意得，且對于，使得的正整數對有1個，由于或，故所有4的1增數列有數列1，2，1和數列1，3.（2）當時，存在m的6增數列，即，且對于，使得的正整數對有6個，所以數列的各項中必有不同的項，所以且.若，滿足要求的數列中有四項為1，一項為2，所以，不符合題意，所以.若，滿足要求的數列中有三項為1，兩項為2，此時數列為，滿足要求的正整數對分別為，符合m的6增數列，所以當時，若存在m的6增數列，m的最小值為7.（3）若數列中的每一項都相等，則，若，所以數列中存在大于1的項，若首項，將拆分成個1后k變大，所以此時k不是最大值，所以.當時，若，交換，的順序后k變為，所以此時k不是最大值，所以.若，所以，所以將改為，并在數列首位前添加一項1，所以k的值變大，所以此時k不是最大值，所以.若數列中存在相鄰的兩項，，設此時中有x項為2，將改為2，并在數列首位前添加個1后，k的值至少變為，所以此時k不是最大值，所以數列的各項只能為1或2，所以數列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式.設其中有x項為1，有y項為2，因為存在100的k增數列，所以，所以，所以，當且僅當，時，k取最大值為1250.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）已知點，若直線與曲線交于A，兩點，求的值．解：（1）曲線C的參數方程為（為參數，），所以，所以即曲線C的普通方程為．直線l的極坐標方程為，則，轉換為直角坐標方程為．（2）直線l過點，直線l的參數方程為（