高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省重點高中2025屆年高三下學期第三次聯盟考試數學試卷一、單選題1．已知集合A=x∈R∣x2-2x-3<0，集合A．-1,2 B．-2,3C．-2,1 D．-3,2【答案】A【解析】由x2-2x-3<0可得：-1<x<3，所以由log2(x+2)<2可得：0<x+2<4，所以故B=x∈R∣-2<x<2，所以故選：A.2．“a>b”是“a2>b2A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若a=-1,b=-2，則滿足a>b，但不滿足a2>b2，故若a=-2,b=-1，則滿足a2>b2，但不滿足a>b，故故“a>b”是“a2>b故選：D3．有一組樣本數據1,3,2,a,3,5,4,b，則（

）A．這組樣本數據的極差不小于4 B．這組樣本數據的平均數不小于4C．這組樣本數據的中位數不小于3 D．這組樣本數據的眾數等于3【答案】A【解析】樣本數據1,3,2,a,3,5,4,b中，對于A，顯然這組樣本數據的極差大于等于5-1=4，故A正確；對于B，若a=b=0，則平均數為1+2+3+3+4+58=9對于C，若a=b=0，則0,0,1,2,3,3,4,5中位數為2+32=2.5＜對于D，若a=b=1，則1,1,1,2,3,3,4,5眾數為1，故D錯誤.故選：A4．已知向量a,b滿足a=3,b=2,2aA．π2 B．2π3 C．3【答案】B【解析】由2a-b故a?b=-3，結合aa,b∈故選：B5．某高中開發了三個不同的“美育”課程和兩個不同的“勞動教育”課程，甲同學從五門課程中任選了兩門，已知有一門是“美育”課程，則另一門也是“美育”課程的概率為（

）A．310 B．13 C．35【答案】B【解析】設事件A：至少有一門是“美育”課程，事件AB：兩門都是“美育”課程，從五門課程中任選兩門的選法數為C52“至少有一門是‘美育’課程”的對立事件是“兩門都是‘勞動教育’課程”.兩門都是“勞動教育”課程的選法數為C22所以至少有一門是“美育”課程的選法數為10-1=9種.則P(A)=9從三個不同的“美育”課程中選兩門的選法數為C32=由條件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)，將P(A)=9P(B|A)=3故選：B.6．設函數fx的定義域為R，且fx+1是奇函數，f2x+3A．f0=0 B．f4=0 C．【答案】C【解析】因為fx+1是奇函數，所以f-x+1=-f又f2x+3是偶函數，所以f-2x+3=f故選：C.7．已知三棱錐P-ABC中，AB=2，面PAB⊥面ABC，該三棱錐外接球半徑為3，則sin2∠APB+sinA．12 B．34 C．1 D【答案】C【解析】如圖，平面PAB與平面ABC外接圓圓心分別為O1、O外接圓半徑分別為r1、r三棱錐外接球球心為O，半徑r=3，AB中點為D由球的性質知OO1⊥平面PAB，OO2⊥平面∵D為AB中點，∴O1D⊥AB，∵面PAB⊥面ABC，∴O1即四邊形OO1DO2為矩形，∴r2=r解得，d12+由正弦定理，ABsinsin2故選：C.8．若x=0是函數fx=lnx+1+A．16 B．-∞,16 C【答案】A【解析】f===a由fx=lnx+1+故x2x+1a由x=0是函數fx故g0=-6a+1=0，解得當a=16時，則x+1>0，x2-6x-12≠0，即x>-1且f'當x∈-1,0∪24,+當x∈0,3+21∪故fx在-1,0、24,+在0,3+21、3+故x=0是函數fx的極大值點，符合要求故選：A.二、多選題9．設等差數列an的前n項和為Sn，公差為d，a1>0，a6A．d<0B．當Sn>0時，nC．數列Snn為等差數列，且和數列D．數列Snn前n項和為Tn【答案】AD【解析】對于A選項，若d>0，則an為遞增數列，所以，a7>若d=0，則an為常數列，所以，a7=若d<0，則an為遞減數列，則a1>a6>a對于B選項，由A選項可知，a6>0，a7S13所以，當Sn>0時，n的最大值為12，對于C選項，Sn=na所以，Sn+1所以，數列Snn為等差數列，且其首項為a1，公差為d對于D選項，由a6>0得a1+5d>0，由由a6+a7>0令bn=Snn且b11=a1+5d>0所以，數列Snn前n項和為Tn，T12故選：AD.10．用一個平面截正方體，所得的截面不可能是（

）A．銳角三角形 B．直角梯形C．有一個內角為75°的菱形 D【答案】BCD【解析】用一個平面截正方體，只截正方體三個面，得銳角三角形，截四個面得四邊形，四邊形可以是矩形，正方形，可以是菱形，如圖中ABCD，但內角不是75°，圖中菱形銳角內角的余弦值為15可以是梯形，如圖中AEFG，但不可能是直角梯形，截六個面得六邊形，如果過一個頂點截面可為五邊形（也可不過頂點），但不會是正五邊形．故選：BCD．11．曲線C是平面內與兩個定點F10,1,F20,-1的距離的積等于A．曲線C關于坐標軸對稱 B．點P到原點距離的最大值為10C．△F1PF2周長的最大值為2+6 D【答案】AB【解析】由題意，曲線C是平面內與兩個定點F10,1,F20,-1的距離的積等于可得x2+(y+1)以-x替換x,-y替換y方程不變，所以曲線C關于坐標軸對稱，故A正確；由PF1?所以PF1?所以32cosθ=當PF1,PF2設a=x2+則a+b≥2ab=2?3所以△F1PF2過點P作PE⊥F則cos∠當且僅當a=b=6顯然當∠F1PF2=π又由S△F1PF2=12F1故答案為：AB.三、填空題12．雙曲線y=2x的離心率為【答案】2【解析】若雙曲線y=2x上任意點x0則點y0,x0，故雙曲線y=2x的圖象關于y=x和則將y=2x圖象順時針旋轉π4即旋轉過后的方程為x2a2因雙曲線y=2x的兩條漸近線方程為x=0、且旋轉前后漸近線的垂直關系保持不變，則y=bax和y=-ba則雙曲線的離心率為e=c故答案為：2.13．設函數fx=sinωx+π3在區間【答案】(【解析】由題意，當ω<0時，不能滿足在(0,π當ω>0時，因為x∈0,π，所以要使函數fx=sin由y=sin

則5π2<ωπ+故答案為：(1314．已知數列am通項公式am=-m2+3+2λ【答案】0,【解析】構造函數f(x)=-x則f'(x)=-2x+(3+2λ)x-3λ由f'(x)<0，得(x-λ)(x-3當λ≤32時，只需即2λ+2>2+4λ-3λln2，得λ>0，即當λ>32時，只需a2>a綜上，實數λ的取值范圍為0,2故答案為：0,2四、解答題15．已知數列an滿足（1）求數列an（2）求和：a2解：（1）當n=1時，a1當n≥2時，a1所以2n-1an經檢驗，當n=1時不滿足上式，所以數列an的通項公式為a（2）令Sn=aSn14兩式相減得34即34化簡得Sn16．已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若26b（1）求cosB（2）求△ABC的面積.解：（1）對26b2-27ab-20由于邊長為非負數，則13b-20a=0，即b=20a由正弦定理得到sinB=又12<sinA=35<32，且當B可以銳角，則cosB=當B可以鈍角，則cosB=-綜上說得，cosB=±（2）由（1）知道A為銳角，則cosA=當cosB=513，則sinB=1213當cosB=-513，則sinB=1213，則△ABC的面積為27或617．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0左右焦點分別為F（1）求橢圓C的離心率；（2）已知直線y=12x-2與橢圓C交于M,N兩點，點Q坐標為2,0，若MQ=3解：（1）由橢圓定義可得PF1又∠F1PF①和②可得PF1?PF2=2b2所以橢圓C的離心率為22（2）橢圓方程可化為x2+2y6y2+8y+4-a2設Mx1,y又直線y=12(x-2)過點Q，且MQ=3NQ（i）當MQ=3NQ時，即y1=3y則y1y2所以橢圓C的方程為x2（ii）當MQ=-3NQ，即y1=-3y可得y1y2所以橢圓C的方程為x218．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1（1）求三棱柱ABC-A1（2）點E在棱BB1上，且A1E與平面BCC1B解：（1）如圖，在平面ACC1A1內過A1作A因為平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1所以A1O⊥平面ABC，所以∠A1AC為由公式cos∠BAA1=所以∠A1AC=45°又ΔABC的面積為12×2×2×2（2）由（1）得在△ABC中，O為AC中點，連接OB由余弦定理得BC2=A所以AB=BC，BO⊥AC，（或者利用余弦定理求以O為坐標原點，以OB，OC，OA1分別為x軸，則A0,-所以AA1設BE=λBB1=0,λ,λ,則n?BB1=0n?BC=0A1E又因為A1E與平面BCC所以|cosA1解得λ=13或λ=又因為BE>B1E19．已知函數fx（1）討論函數f(x)的單調性；（2）若曲線y=f(x)上存在唯一的點M，使得曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點M，求實數a的取值范圍．解：（1）f'(x)=1x①當0<a<18時，g(x)在(0,1-1-8a4a)∪(1+1-8a4a,+∞)②當a≥18時，g(x)≥0(當且僅當a=18,x=2時g(x)=0)，所以③當a=0時，g(x)在(0,1)上大于零，在(1，+∞)上小于零，所以f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1④當a<0時，g(x)在(0,1-1-8a4a)上大于零，在(1-1-8a4a,+∞)（2）曲線y=f(x)在點(t,f(t))處的切線方程為y=(1t+2at-1)(x-t)+lnt+a設h(x)=lnx+axh'(x)=1x+2ax-(1t①當a≤0時，p'(x)<0，所以h'(x)在(0,+∞)上單調遞減，又h'(t)=0，所以h'(x)在(0,t)上大于零，在(t,+∞)上小于零，所以h(x)在(0,t)上單調遞增，在(t,+∞)上單調遞減，又h(t)=0，所以h(x)只有唯一的零點t，由t的任意性，所以不符合題意；②當a>0時，p'(x)在(0,2a2a)上小于零，在(2a2a,+∞)上大于零，所以當t<2a2a時，h'(x)在(0,t)上大于零，在(t,2a2a)上小于零，所以h(x)在(0,t)上單調遞增，在(t,2a2a函數y=ax則對任意x0>1，有h(x0)>0；若其判別式大于零，設其右側的零點為m，則對任意的x0>當t=2a2a