高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省新余市2024屆高三第二次模擬考試數學試題一、選擇題1.一個容量為10的樣本，其數據依次為：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，則該組數據的第60百分位數為（）A.9 B.10 C.13 D.16【答案】C【解析】將該組數據從小到大排列：2，3，5，7，9，10，16，18，20，21，由，有，故該組數據的第60百分位數為.故選：C.2.已知點在拋物線C：上，F為拋物線的焦點，則（O為坐標原點）的面積是（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】點在拋物線上，為拋物線的焦點，，解得，故拋物線的方程為，,，則的面積．故選：A．3.已知，，若與的夾角為，則（）A.-1 B.1 C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，，，因為，又，所以，解得或，因為，所以，解得，所以.故選：.4.兩個大人和4個小孩站成一排合影，若兩個大人之間至少有1個小孩，則不同的站法有（）種.A.240 B.360 C.420 D.480【答案】D【解析】若兩個大人之間至少有1個小孩，即兩個大人不相鄰，故共有種.故選：D.5.已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則（）①若，，且∥，則∥；②若，∥，且∥，則；③若∥，，且，則∥；④若，，且，則.其中真命題的個數是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由且，可得，而垂直同一個平面的兩條直線相互平行，故①正確；由于，，所以，則，故②正確；若與平面的交線平行，則，故不一定有，故③錯誤；設，在平面內作直線，，則，又，所以，，所以，從而有，故④正確.因此，真命題的個數是.故選：B6.已知直線交圓C：于M，N兩點，則“為正三角形”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由C：可得其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，若為正三角形，則有，即，即，解得或，故“為正三角形”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.已知x，y為正實數，且，則的最小值為（）A.12 B. C. D.【答案】C【解析】由，則，當且僅當，即，時，等號成立.故選：C.8.如圖，已知為雙曲線上一動點，過作雙曲線的切線交軸于點，過點作于點，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，則，令，則，故，過點作軸于點，則，由，軸，故與相似，故，及，即.又，所以，所以，即，則．其中雙曲線上一點的切線方程證明如下：不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得）．由，得，所以，則在的切線斜率，所以在點處的切線方程為：，又有，化簡即可得切線方程為：．故選：B.二、選擇題9.已知是兩個虛數，則下列結論中正確的是（）A.若，則與均為實數 B.若與均為實數，則C.若均為純虛數，則為實數 D.若為實數，則均為純虛數【答案】ABC【解析】設，．，．若，則，，所以，，所以A正確；若與均為實數，則，且，又，，所以，所以B正確；若，均為純虛數，則，所以，所以C正確；取，，則為實數，但，不是純虛數，所以D錯誤．故選：ABC．10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.的值域為B.的對稱中心為，C.在上的單減區間為D.在上的極值點個數為1【答案】AD【解析】，對A：由，則，故A正確；對B：令，，解得，，故的對稱中心為，，故B錯誤；對C：令，，解得，，則在上的單減區間為，故C錯誤；對D：令，，即，，則在上的極值點有一個，故D正確.

故選：AD.11.已知定義在實數集R上的函數，其導函數為，且滿足，，則（

）A.的圖像關于點成中心對稱B.C.D.【答案】BCD【解析】對A：令，則有，即，令，則有，又，故，不關于對稱，故A錯誤；對于B，令，則有，兩邊同時求導，得，令，則有，故B正確；對C：令，則有，即，則，故C正確；對D：令，則有，即，則，即，又，故，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知隨機變量X服從正態分布，則的值為__________.【答案】【解析】由題意可得，則.故答案為：.13.在公差為正數的等差數列中，若，，，成等比數列，則數列的前10項和為____________.【答案】165【解析】設等差數列的公差為，由題意得，即，因公差大于零，解得，（舍），所以，故答案為：165.14.如圖1，在直角梯形中，，，，，，點E，F分別為邊，上的點，且，.將四邊形沿折起，如圖2，使得平面平面，點M是四邊形內（含邊界）的動點，且直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，則當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為__________.【答案】60π【解析】翻折前，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，同理可得，即為直線與平面所成的角，因為直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，所以，而，，所以，即，設，則，過點作于點，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，即點到平面的距離為，因為三棱錐的體積，且為定值，所以要使三棱錐的體積取得最大值，則需取得最大值，設，，則，由勾股定理知，，，所以，，消去整理得，，，，當時，取得最大值12，即取得最大值，此時點在線段上，且，所以，，兩兩垂直，所以三棱錐的外接球就是以，，為鄰邊構成的長方體的外接球，所以，所以外接球的半徑，所以當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．四、解答題15.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的面積.（1）求角B；（2）若的平分線交于點D，，，求的長.解：（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）在中，由等面積法得，即，即所以.16.已知函數，.（1）當時，求函數最小值；（2）若在上單調遞減，求a的取值范圍.解：（1）因為，所以，定義域為，可得，令，顯然在上單調遞增且，因此當時，則有，當時，則，于是有當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，所以.（2）化簡得，即，因為在上單調遞減，所以在上恒成立，由，設，則有，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，要想在上恒成立，只需，經檢驗，當符合題意，因此a的取值范圍為.17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.（1）若為的中點，證明：平面平面；（2）若，，線段上的點滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實數的值.（1）證明：取中點為，由條件可得為梯形的中位線，則，又，則，且，平面，平面，根據線面垂直的判定定理，得平面，平面，.由，則，又，為梯形的兩腰，則與相交，平面，又平面，所以平面平面.（2）解：取的中點為Q，由，，則，，因此△為等邊三角形，.由（1）知平面，，，兩兩垂直，如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，由，，則，，，，，由，所以，，，，設平面的一個法向量為，由取，得，，得.設平面的一個法向量為，由取，得，，即平面的一個法向量為.記平面與平面夾角的大小為，所以，化簡得，即，所以實數的值為.18.近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了A，B兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當的體育鍛煉.（1）該校學生甲、乙、丙三人某周均從A，B兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲、乙、丙該周選擇A健身中心健身的概率分別為，，，求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率；（2）該校學生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心其中一個，其中周六選擇A健身中心的概率為.若丁周六選擇A健身中心，則周日仍選擇A健身中心的概率為；若周六選擇B健身中心，則周日選擇A健身中心的概率為.求丁周日選擇B健身中心健身的概率；（3）現用健身指數來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規定k值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統計發現從全校學生中隨機抽取一人，其k值低于1分的概率為，現從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數不超過（足夠大），求抽取次數X的分布列和數學期望.解：（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率為：；（2）記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件D：丁周日選擇B健身中心，則，，，，由全概率公式得，故丁周日選擇B健身中心健身的概率為；（3）已知從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為，則的可能取值為，，，，，，，則X的分布列為：123……故，又，兩式相減得，所以.19.通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉角得到點P，（1）已知平面內點，點，把點B繞點A逆時針旋轉得到點P，求點P的坐標：（2）已知二次方程的圖像是由平面直角坐標系下某標準橢圓繞原點O逆時針旋轉所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點作與兩坐標軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M、N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.解：（1）由已知可得，則，設，