初中初中2025年廣東省深圳市中考數學專題復習《銳角三角函數》部分重難點專項練習一、單選題1．（2025·廣東深圳·一模）在中，，那么的值是（

）A． B．1 C． D．2．（2023·廣東深圳·中考真題）爬坡時坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數據：，）（

）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J3．（2025·廣東深圳·一模）如圖，一枚運載火箭從地面L處發射，雷達站R與發射點L水平距離為，當火箭到達A點時，雷達站測得仰角為，則這枚火箭此時的高度為（

）．A． B． C． D．4．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（

）（參考數據：，，）A． B． C． D．5．（2025·廣東深圳·一模）如圖所示的電視塔是某城市的標志性建筑物，在水平地面上的點A，C處分別測得電視塔塔頂B的仰角均為α度，且點A，C，D在同一直線上，，若測得，則塔高是（

）A． B． C． D．6．（2025·廣東深圳·一模）圖1是某款自動旋轉遮陽傘，傘面完全張開時張角呈，圖2是其側面示意圖．為實現遮陽效果最佳，傘面裝有接收器可以根據太陽光線的角度變化，自動調整手柄沿著移動，以保證太陽光線與始終垂直，已知支架長為米，且垂直于地面，某一時刻測得米，懸托架，點固定在傘面上，當傘面完全張開時，太陽光線與地面的夾角設為，當時，此時懸托架的長度為（）米．A． B． C． D．7．（2025·廣東深圳·模擬預測）某數學興趣小組用無人機測量園博園“福塔”的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面的P點，測得“福塔”頂端A的俯角為，再將無人機面向“福塔”沿水平方向飛行到達Q點，測得“福塔”頂端A的俯角為，則“福塔”的高度約為（）（參考數據：，，）A． B． C． D．8．（2025·廣東深圳·一模）為出行方便，越來越多的市民使用起了共享單車，圖1為單車實物圖，圖2為單車示意圖，與地面平行，坐墊可沿射線方向調節．已知，車輪半徑為，當時，小明體驗后覺得騎著比較舒適，此時坐墊離地面高度約為（

）（結果精確到，參考數據：，，）

A． B． C． D．9．（2024·廣東深圳·三模）人體工學椅提出正確的座墊高度須將座墊高度調整到人的雙腳能平放于地面，且大腿之彎曲角度呈現．如圖是一男士座椅情況和示意圖，若，該椅子座墊高度還要升高多少，才符合體工學椅的要求（）A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D．10．（2024·廣東深圳·三模）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是米的旗桿，從辦公樓頂端測得旗桿頂端的俯角是，旗桿底端到大樓前梯坎底邊的距離是米，梯坎坡長是米，梯坎坡度，則大樓的高度約為（

）（精確到米，參考數據：，，）A． B． C． D．11．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，為測量觀光塔AB的高度，冬冬在坡度的斜坡的D點測得塔頂A的仰角為，斜坡長為26米，C到塔底B的水平距離為9米．圖中點A，B，C，D在同一平面內，則觀光塔AB的高度約為（

）米．（結果精確到米，參考數據：，，）A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米12．（2024·廣東深圳·模擬預測）位于深圳市羅湖區的梧桐山公園自西南向東北漸次崛起，分布著小梧桐、豆腐頭、大梧桐三大主峰．從遠處觀看，山中最為矚目的當屬小梧桐電視塔．登臨小梧桐山頂，可上九天邀月攬星，可鳥瞰深圳關內外壯麗美景．我校某數學興趣小組的同學準備利用所學的三角函數知識估測該塔的高度，已知電視塔位于坡度的斜坡上，測量員從斜坡底端處往前沿水平方向走了達到地面處，此時測得電視塔頂端的仰角為，電視塔底端的仰角為，已知、、、在同一平面內，則該塔的高度為（），（結果保留整數，參考數據；，）

A．24 B．31 C．60 D．136二、填空題13．（2024·廣東深圳·模擬預測）某校化學實驗小組利用白醋和小蘇打自制火箭發射小實驗．如圖，一枚自制小火箭從發射點A處發射，身高1.8米的小明在離發射點A距離的B處，當小火箭到達點時，小明測得此刻的仰角為，則這枚小火箭此時的高度是．14．（2023·廣東深圳·三模）在觀察地球儀時，某數學小組發現臺灣省的緯度約為北緯，小組成員查閱相關資料，得到如下信息：①如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；②如圖2，赤道半徑約為6400千米，弦，以為直徑的圓的周長就是北緯緯線的長度．根據以上信息，北緯緯線的長度約為．（參考數據：，，，）15．（2024·廣東深圳·模擬預測）在中，，點E為邊上的中點，連接，已知點F為的中點，連接并延長，交于點D．若，則的值為．16．（2024·廣東深圳·三模）如圖，將平行四邊形沿折疊，點的對應點恰好為邊上的三等分點（），若，，，則．17．（2024·廣東深圳·一模）如圖，在中，，，垂足為D，，，過點E作交于點F，連接，且滿足，則的值為．18．（2024·廣東深圳·模擬預測）一款閉門器按如圖1所示安裝，支點A，C分別固定在門框和門板上，門寬為，搖臂，連桿，閉門器工作時，搖臂、連桿和長度均固定不變，如圖2，當門閉合時，，則的長為．19．（2024·廣東深圳·模擬預測）周末淘氣一家開車外出旅游，車子突然向路邊側滑，幸虧淘氣爸爸反應及時，車子才慢慢停了下來．淘氣一家人趕緊下車查看，原來是前輪爆胎了．爸爸說，只要把備胎換上就行了．于是爸爸從后備廂取出備胎和工具，開始忙活，其中千斤頂引起了小光的注意．圖（1）是一種利用了四邊形不穩定性設計的千斤頂．如圖（2）所示，該千斤頂的基本形狀是一個菱形，中間通過螺桿連接，轉動手柄可改變的大小（菱形的邊長不變），從而改變千斤頂的高度（即，之間的距離）．已知，當千斤頂升高時，四邊形為正方形．（參考數據：，，結果保留整數）三、解答題20．（2024·廣東深圳·中考真題）計算：．21．（2024·廣東深圳·模擬預測）2024年，中國國產游戲3A大作《黑神話：悟空》一經上線，即火爆全球，反映了中國文化的對全世界的吸引力．作為重要取景地的濟南四門塔是中國現存唯一的隋代石塔，也是中國現存最早、保存最完整的單層亭閣式佛塔．某興趣小組利用所學知識開展以“測量四門塔的高度”為主題的活動，并寫出如下報告：課題測量四門塔的高度測量工具測角儀、無人機等測量示意圖測量過程如圖②，測量小組使無人機在點A處以的速度豎直上升后，飛行至點B處，在點B處測得塔頂D的俯角為，然后沿水平方向向左飛行至點C處，在點C處測得塔頂D和點A的俯角均為．說明點A，B，C，D，E均在同一豎直平面內，且點A，E在同一水平線上，．結果精確到．（參考數據：）(1)求無人機從點B到點C處的飛行距離；(2)求四門塔的高度．22．（2024·廣東深圳·模擬預測）“彼此讓一讓，路寬心更寬”，斑馬線前禮讓行人是城市文明的一種具體體現，也是司機理應履行的一項法定義務，我市設立了“禮讓行人”交通標識．某數學小組在老師的指導下對某路口的交通情況進行了如下探究．【問題情景】如圖，某無紅綠燈的路口有一行人從點A處出發，通過斑馬線時，正好有一輛位于車道中間的小汽車從點B（小汽車前沿中點）沿該車道中間直線勻速朝斑馬線駛去，此時．已知行人的速度是，每個車道寬，雙向車道中間有寬的隔離帶．【問題解決】(1)；(2)若在B點時小汽車司機發現行人后，立即減速慢行，結果在行人到達點C時，小汽車前沿離行人還有，此時司機停車“禮讓行人”，求小汽車從點B開始減速到停下這一段的行駛的距離．（參考數據：）23．（2024·廣東深圳·模擬預測）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長的比叫做頂角的正對．在中，，頂角的正對記作．由此可知一個角的大小與這個角的正對也是相互唯一確定的，所以我們可按上述方式定義的正對，例如，，請根據材料，完成以下問題：如圖1，是線段上的一動點（不與點重合），點分別是線段的中點，以，為邊分別在的同側作等邊三角形，連接和．(1)【閱讀應用】①若等邊三角形的邊長分別為，則三者之間的關系為______；②______；(2)【猜想證明】如圖2，連接，猜想的值是多少，并說明理由；(3)【拓展應用】如圖3，連接，若，則的周長是多少？此時的長為多少？（直接寫出上述兩個結果）24．（2023·廣東深圳·模擬預測）脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上點測得屋頂的仰角為，此時地面上點、屋檐上點、屋頂上點三點恰好共線，繼續向房屋方向走到達點時，又測得屋檐點的仰角為，房屋的頂層橫梁，，交于點（點，，在同一水平線上）．（參考數據：，，，）

(1)求屋頂到橫梁的距離；(2)求房屋的高（結果精確到）．25．（2024·廣東深圳·模擬預測）在學習《解直角三角形》一章時，小明同學對互為倍數的兩個銳角正切三角比產生了濃厚的興趣，進行了一些研究．(1)初步嘗試：我們知道：，，發現結論：；（選填“”或“”）(2)實踐探究：如圖，在中，，，，求的值；小明想構造包含的直角三角形：延長至點，使得，連接，所以得到，即轉化為求的正切值．請按小明的思路求解；(3)拓展延伸：如圖，在中，，，，求．26．（2024·廣東深圳·模擬預測）【項目式學習】探究古代建筑，屋檐之上的數學密碼——探究屋面結構與建筑高度的關系背景介紹在世界的歷史長河中，中國的古建筑最具有視覺美感，歷史源遠流長、綿延不絕．大詩人李白的詩句：“危樓高百尺，手可摘星辰”，表述了他對建筑、數學以及宇宙星辰的認知．而中國古建筑屋頂是我國傳統建筑造型藝術中非常重要的構成因素，不僅樣式多，而且組成部分也很繁雜．中國屋頂多為坡屋面，從頂上屋脊或寶頂到下邊的屋檐是一個向下彎曲的凹弧面，表達出順應自然的謙卑，似與天空恰當而友善的對話．而彎曲屋面的出現，經歷了漫長的過程．其中最具代表的就是兩宋的建筑成就．建筑高度是建筑設計中的一個重要參數．學習小組的同學想要更全面具體地了解宋代建筑與數學的關系，來到了宋代建筑代表作——山西太原的晉祠圣母殿．想通過建模的方式探究屋面結構與建筑高度的關系．實踐任務以晉祠圣母殿為例，通過建模的方式，探究屋面結構與建筑高度的關系．資料查閱1、晉祠圣母殿是常見的坡屋面式結構之一，在《建筑設計防火規范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1條中，建筑高度應為建筑室外設計地面至其檐口與屋脊的平均高度，即：建筑高度室外設計地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度（h2）．如圖1，建筑高度．2、如圖2，根據晉祠圣母殿和《營造法式》中的幾個典型的屋面剖面圖的資料總結得出，從檐口到屋脊，坡屋面豎直高度/半坡寬度．數據表達了古人的審美情趣，現代仿古建筑，如廡殿頂、歇山頂、硬山頂、懸山頂等建筑，均宜參照這個建筑密碼營造．模型初建將晉祠圣母殿的屋面近似成平面結構，其剖面圖可以簡化成數學幾何圖形（簡化為一層房檐)．如圖3，為等腰三角形，，假定米，米．

圖3模型優化屋面除了審美需求，也要便于房屋采光和排水．晉祠圣母殿的屋面正是中國古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物產生獨特而強烈的視覺效果和藝術感染力．學習小組通過查閱資料可知，屋面可以近似看作圓心角為30o的圓弧．如圖所示，弧和弧是半徑為、圓心角為30o的圓弧，檐口B到地面的距離為．補充模型從對屋頂曲線進行數學模擬時，卻發現圓弧的擬合度并非最佳．學習小組的同學經過探索，發現運用到了最速降線的理論．最速降線可以使得物體下滑所需時間最短，達到排水的目的．古人如何造出“最速降線”的呢？查閱資料得知，宋朝古人利用“舉折法”測定屋頂坡度及屋蓋曲面線．如圖5所示，折線為宋代常見的一種屋頂建筑．是中邊上的四等分點，過作交于，將降低米得到，連接；重復上述步驟，過作交于，將降低米得到，連接AM2；過作交于，將降低米得到，連接；“舉之峻慢，折之圓和”，求此曲面線，謂之定側樣．這就是古代的“舉折法”．

圖5問題解決任務1模型初建（1）根據“資料查閱”第一條，求出簡易圖中的建筑高度；任務2模型優化（2）根據“資料查閱”兩條內容，直接寫出屋脊A與檐口B的豎直高度h2和建筑高度h（結果保留整數部分，）；任務3補充模型（3）若，求出屋脊與檐口豎直高度．參考答案題號12345678910答案ABDACADACB題號1112答案DB1．A【分析】本題考查了特殊三角函數的值，三角形內角和定理，根據三角形內角和定義求出，再由特殊三角函數的值即可解答．【詳解】解：∵在中，，∴，∴，故選：A．2．B【分析】根據特殊角三角函數值計算求解．【詳解】故選：B．【點睛】本題考查特殊角三角函數值，掌握特殊角三角函數值是解題的關鍵．3．D【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據題意可得：，然后在中，利用銳角三角函數的定義進行計算，即可解答．熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得：，在中，，，，這枚火箭此時的高度為，故選：D．4．A【分析】本題考查了與仰角有關的解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，先證明四邊形、、是矩形，再設，表示，然后在以及運用線段和差關系，即，再求出，即可作答．【詳解】解：如圖：延長交于一點，∵∴四邊形是矩形∵∴四邊形是矩形同理得四邊形是矩形依題意，得，∴，∴∴設，則在∴即在∴即∴∴∴∴故選：A5．C【分析】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據等腰三角形的性質得D為的中點，利用銳角三角函數即可解決問題．【詳解】解：由題意可知：，∴點D為的中點，∵米，∴米，∴（米）．故選：C．6．A【分析】過點E作于點I，利用三角函數得出，根據勾股定理得出，根據等腰三角形的性質可得，最后勾股定理求得，即可．【詳解】解：過點E作于點I，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵長為米，米，，∴（米），∴（米），∴（米），故選：A．【點睛】本題考查了正切函數的應用，平行線的性質，等腰三角形的三線合一性質，余角的性質，熟練掌握正切函數，等腰三角形的性質是解題的關鍵．7．D【分析】題目主要考查解直角三角形的應用，理解題意，作出輔助線是解題關鍵．過點A作于點C，證明為等腰直角三角形，得出，設，則，在中，根據，求出，得出，即可得出答案．【詳解】解：過點A作于點C，如圖所示：則，由題意得，，，∵在中，，∴為等腰直角三角形，∴，設，則，在中，，解得：，∴，∴．故選：D．8．A【分析】本題考查了解直角三角形的應用，作于，地面于，依題意可得，，，求出的長即可得解．【詳解】解：如圖，作于，地面于，

依題意可得：，，，∴，∴坐墊離地面高度約為，故選：A．9．C【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．如圖：過點B作，垂足為E，根據題意可得然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而利用線段的和差關系即可解答．【詳解】解：如圖：過點B作，垂足為E，由題意得：，在中，，∴，∴該椅子座墊高度還要升高的高度，故選：C．10．B【分析】本題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，仰角俯角問題，過點作于，則，，米，，由梯坎坡度可得，解直角三角形可得米，米，進而得米，米，即得米，據此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：過點作于，則，，米，∴，在中，∵梯坎坡度，∴，∴，∴米，米，∴米，米，∴米，∴米，故選：．11．D【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用?仰角俯角、坡度坡角等知識點，根據題意作出輔助線、構造出直角三角形是解題的關鍵．如圖：延長交過點D的水平面于F，作于E，先解直角三角形，求出，再根據銳角三角函數求出即可．【詳解】解：如圖：延長交過點D的水平面于F，作于E，由題意得：米，米，，在中，，米，∴米，米，在中，米，，∴（米），∴（米），即建筑物的高度為米；故選：D．12．B【分析】本題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題、坡度坡角問題等知識，關鍵是根據已知條件在合適的直角三角形中通過解直角三角形求解．設于，設，則，根據可先列出方程求出的值，從而得出，的長，在中可求出的長，從而由可得到結論．【詳解】解：如圖，設于，設，則，

在中，∵，∴，∴，∴，∴，，在中，（），∴，故選：．13．【分析】此題考查了解直角三角形的應用，過點D作于點E，則，證明四邊形是矩形，則，，由得到，即可得到答案．【詳解】解：過點D作于點E，則，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴∴故答案為：．14．【分析】本題考查解直角三角形，平行線的性質，解題的關鍵是熟練三角函數的含義與解直角三角形的方法．根據平行線的性質可知，在中，利用銳角三角函數求出，即為以為直徑的圓的半徑，求出周長即可．【詳解】解：如圖，過點O作，垂足為D，

根據題意，∵，∴，∵在中，，∴，∵，∴由垂徑定理可知：，∴以為直徑的圓的周長為，故答案為：．15．/【分析】本題主要考查本題考查了相似三角形的性質、直角三角形相關定理、銳角三角函數、中點的解題策略等知識點．掌握相似三角形的判定與性質成為解題的關鍵．如圖：過點C作交的延長線于點G，先證明可得，再根據中點的定義可得，進而得到；設可得，再證可得，過點E作于點H，易得，運用勾股定理可得，最后代入求出比值即可．【詳解】解：如圖：過點C作交的延長線于點G，∵點E是中點，∴,∵，，∴，∴,∵∴，∴∵點F為的中點，∴，∴,∵∴設，∴∵,∴,∴,即，過點E作于點H，∴，∴，∴．故答案為：．16．【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，三角函數的定義，正確地作出輔助線是解題的關鍵．過作于，根據三角函數的定義得到，設，，根據勾股定理得到，求得，，根據平行四邊形的性質得到，，求得，得到，得到，推出四邊形是矩形，根據矩形的性質得到，根據折疊的性質得到，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：過作于，，，，設，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，點是邊上的三等分點，，，，，四邊形是矩形，，將平行四邊形沿折疊，點的對應點恰好為邊上的三等分點，，，，，故答案為：．17．【分析】由題意得，，證明，則，即，可得，設，則，，，則，設，則，由勾股定理得，，可求，，由勾股定理得，，如圖，作于，則，，，，可得，則，可求，，由勾股定理得，，計算求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，即，∴，設，則，，∴，∴，設，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴，，由勾股定理得，，如圖，作于，∴，，∴，，∴，∴，解得，，∴，由勾股定理得，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，三角形內角和定理，等腰三角形的判定與性質，正切，勾股定理等知識．熟練掌握相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，三角形內角和定理，等腰三角形的判定與性質，正切，勾股定理是解題的關鍵．18．18【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，根據題目已知特點選用適當銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形是解題的關鍵．根據題意，過點作于點，可求得，則，因此，得出結論垂直平分，因此．【詳解】解：過點作于點，如圖：則，在中，，，，即垂直平分，，故答案為：18．19．17【分析】本題考查了解直角三角形的應用，菱形的性質，正方形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．連接，交于點，根據菱形的性質可得，平分，，，然后分別求出當時，當時，的長度，即可解答．【詳解】解：連接，交于點，四邊形是菱形，，平分，，，當，，是等邊三角形，；當時，菱形是正方形，平分，，在中，，，千斤頂升高的高度，千斤頂升高了．故答案為：1720．【分析】本題考查特殊銳角三角函數值，零指數冪，絕對值以及負整數指數冪．先將各項化簡，再算乘法，最后從左往右計算即可得【詳解】解：．21．(1)；(2)．【分析】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．（1）根據題意求出，再根據等腰直角三角形的性質求出；（2）延長交的延長線于點，設，用表示出、，根據正切的定義列出方程，解方程得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知：，在中，，則，答：無人機從點B到點C處的飛行距離問；（2）解：如圖，延長交的延長線于點，則四邊形為矩形，，設，則，在中，，則，，在中，，，，即，解得：，答：四門塔的高度約為．22．(1)8(2)31米【分析】本題考查了解直角三角形的應用，理解題意、數形結合解直角三角形是解題的關鍵．（1）根據題意計算AC長度即可；（2）根據，求出的長度，即可得出行駛距離．【詳解】（1）解：根據題意得：（米），故答案為：8；（2）由題意可知，，∴，∴（米），∴（米），答：小汽車從點B開始減速到停下這一段的行駛的距離為31米．23．(1)①；②(2)猜想的值是，理由見解析(3)的周長是，或8【分析】（1）①利用中點的定義，證明，可得結論；②證明，作等腰三角形可得結論；（2）如圖中，連接，通過全等證明，可得結論；（3）證明，可得，如圖中，過點作交的延長線于點，求出的值，再利用對稱性解決問題即可．【詳解】（1）解：①點，分別是線段，的中點，，，，，，即，②由題意得，，，，同理，，，如圖，，則：，∴，．故答案為：，；（2）解：猜想：．理由：如圖中，連接．點是的中點，，都是等邊三角形，，，，，，同理可得，，，；（3）解：，，同理可證：，，，，，點，分別是線段，的中點，等邊三角形，，的邊長分別為，，，，，，，，，．如圖中，過點作交的延長線于點．，，，，在中，，，，由對稱性可知，的長還可以為，綜上所述，的值為或．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，解直角三角形，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．24．(1)屋頂到橫梁的距離為(2)房屋的高約為【分