第1章集合1.1集合1.2集合間的關系1.3集合的運算1.4充要條件1.1集合1.1.1元素與集合

1.集合與元素

我們把具有某種確定屬性的對象所組成的總體叫做集合，通常用大寫的英文字母A、B、C…來表示；把組成某一集合的各個對象叫做這個集合的元素，通常用小寫英文字母a、b、c…來表示.2.元素與集合之間的關系（1）如果對象a具有集合A的確定屬性，那么a是集合A的元素，記為a∈A,讀作“a屬于A”；（2）反之，如果對象a沒有集合A的確定屬性，那么a不是集合A的元素，記為a

A，讀作“a不屬于A”.3.數集由數組成的集合叫數集，常用的數集用特定的字母來表示，例如：（1）全體非負整數所組成的集合叫自然數集，用N表示；（2）全體正整數所組成的集合叫正整數集，用N*表示；

（3）全體整數所組成的集合叫整數集，用Z表示；（4）全體有理數所組成的集合叫有理數集，用Q表示；（5）全體實數所組成的集合叫實數集，用R表示.4.有限集與無限集含有有限個元素的集合叫有限集，含有無限個元素的集合叫無限集.

我們規定：不含任何元素的集合叫空集，記為.

※空集不含有任何元素，所以對任何元素a，都有a.

1.1.2集合的表示法

1.列舉法把屬于集合的元素一一列舉出來，寫在括號{}內，每個元素只寫一次，且不考慮元素的排列順序，這樣的集合表示方法叫做列舉法.

2.描述法把集合中元素所具有的確定屬性描述出來，寫在括號{}內，這樣的集合表示方法叫描述法.

描述法的另一種形式是：在括號{}內，先寫上該集合內所含元素的一般形式，再畫上一條豎線，在豎線的右邊寫上該集合元素所具有的確定屬性.1.2

集合間的關系1.2.1集合的包含關系

1.子集

定義

對于兩個集合A和B，如果集合A的任何一個元素都屬于集合B，則稱集合A為集合B的子集，記作AB,讀作“A包含于B”，或BA,讀作“B包含A”.※空集是任何集合的子集，即對任何一個集合A，有A.2.真子集

定義

對于兩個集合A和B，如果A是B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A，則集合A為集合B的真子集，記作AB,讀作“A真包含于B”，或BA,讀作“B真包含A”.※真子集間的包含關系也具有傳遞性，即若AB且BC，則AC.文氏（Venn）圖：AAB1.2.2集合的相等定義對于兩個集合A和B，如果AB且B

A，則稱集合A和B相等，記作A=B,讀作“集合A等于B”.※判定集合A=B，既要判定集合A中的任一元素都屬于B，又要判定B中的任一元素都屬于A.1.3集合的運算1.3.1交集定義設A與B是兩個集合，由所有既屬于A又屬于B的元素所組成的集合叫做集合A和集合B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”，即

A∩B={x|x∈A且x∈B}.集合A與集合B的交集共有四種情況：ABA∩BAB（1）（2）（3）（4）AAB

對任何集合A與B，都有A∩B既是A的子集也是B的子集，即A∩B

A且A∩B

B.

對于任何集合A有：A∩A=A，A∩

=

.

求集合交集的運算叫做集合的交運算，集合的交運算滿足交換律，即A∩B=B∩A.1.3.2并集定義設A與B是兩個集合，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合叫做集合A和集合B的并集，記為A∪B，讀作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.集合A與集合B的并集共有四種情況：ABAB（1）（2）（3）（4）BAAB

對于任何集合A與B都有：集合A是A∪B的子集；同時，集合B也是A∪B的子集，即A

A∪B且B

A∪B.

對于任何集合A有A∪A=A，A∪

=A.

求集合并集的運算叫做集合的并運算，集合的并運算也具有交換律，即A∪B=B∪A.1.3.3全集與補集

1.全集

定義在研究某些集合時，這些集合常常都是一個給定集合的子集，這個給定集合叫做全集，記為I.

因為所研究的集合A

I,所以A∩I=I∩A=A，A∪I=I∪A=I.

對任何全集I，有

I,所以I∩

=

∩I=

,I∪

=

∪I=I.2.補集

定義設全集為I，集合A是I的子集，則由I中所有不屬于A的元素組成的集合叫做集合A在全集I中的補集（簡稱A補），記為，讀作“A在I中的補集”，即

={x|x∈I且x

A}.IAA∪=I，A∩=

.1.4充要條件1.4.1命題與推出能夠唯一地判斷真假的陳述句叫做命題，其中正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題.

一個命題要么是真命題，要么是假命題，不能既真又假.在今后的討論中，我們把一些含有字母，如：“x>3”、“a2=b2”這樣的陳述句作為命題來看待.

命題通常用小寫英文字母p、q、r…來表示.1.4.2充分條件、必要條件

1.充分條件、必要條件對于兩個命題p、q，如果命題p為真時，命題q也為真，即p

q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.

2.充要條件對于兩個命題p、q，若p

q成立，則稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.集合與元素的關系集合中元素的三個特征：確定性、無序性、互異性集合的表示法：列舉法、描述法屬于不屬于集合的概念子集真子集集合的相等交集A∩B={x|x∈A且x∈B}