17.1用提公因式法分解因式第十七章

因式分解【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********17.1用提公因式法分解因式教案一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能準(zhǔn)確闡述公因式的概念，清晰掌握確定多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的方法。熟練運(yùn)用提公因式法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，包括公因式為單項(xiàng)式以及較為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式的情況。能夠利用提公因式法解決相關(guān)的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題，如代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值等。（二）過程與方法目標(biāo)通過觀察、類比、歸納等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力，提升學(xué)生的觀察能力和歸納總結(jié)能力。在探索提公因式法分解因式的過程中，體會(huì)逆向思維的方法，以及數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力。借助小組合作學(xué)習(xí)，鍛煉學(xué)生的合作交流能力，培養(yǎng)學(xué)生共同解決問題的意識(shí)和能力。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)激發(fā)學(xué)生對(duì)因式分解學(xué)習(xí)的興趣，在自主探究和合作交流中，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度，在因式分解過程中，注重每一個(gè)步驟的準(zhǔn)確性和規(guī)范性，提高學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛之情。二、教學(xué)重難點(diǎn)（一）教學(xué)重點(diǎn)準(zhǔn)確確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，包括系數(shù)、相同字母以及相同多項(xiàng)式的最低次冪等方面。熟練運(yùn)用提公因式法將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，掌握提公因式的步驟和方法。（二）教學(xué)難點(diǎn)當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)較多、形式較復(fù)雜時(shí)，準(zhǔn)確找出公因式，尤其是公因式為多項(xiàng)式的情況。在提取公因式后，對(duì)另一個(gè)因式的正確確定，避免出現(xiàn)漏項(xiàng)或符號(hào)錯(cuò)誤等問題。理解因式分解與整式乘法之間的互逆關(guān)系，并能運(yùn)用這種關(guān)系檢驗(yàn)因式分解的正確性。三、教學(xué)方法講授法：詳細(xì)講解公因式的概念、確定方法以及提公因式法分解因式的步驟和原理，使學(xué)生對(duì)知識(shí)有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。通過清晰的語言闡述，幫助學(xué)生理解重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容。探究法：創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究如何確定公因式以及如何運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解。讓學(xué)生在探究過程中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維。討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，共同探討在不同多項(xiàng)式中尋找公因式的技巧和遇到的問題。通過討論，促進(jìn)學(xué)生之間的思想交流，讓學(xué)生從不同角度理解和掌握知識(shí)，提高學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。練習(xí)法：設(shè)計(jì)有針對(duì)性的練習(xí)題，包括基礎(chǔ)題、提高題和拓展題，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固所學(xué)知識(shí)，熟練掌握提公因式法分解因式的技能。通過練習(xí)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，進(jìn)行有針對(duì)性的輔導(dǎo)和糾正。四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入（5分鐘）回顧整式乘法的相關(guān)知識(shí)，如單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則。請(qǐng)學(xué)生舉例說明，如單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式：\(3x\cdot2x^2=6x^3\)；單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：\(2x(x+3)=2x^2+6x\)；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：\((x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6\)。提出問題：\(99^2+99\)能被100整除嗎？引導(dǎo)學(xué)生思考如何簡(jiǎn)便計(jì)算。學(xué)生可能會(huì)想到先計(jì)算\(99^2=9801\)，再加上99得到9900，從而得出能被100整除。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從乘法分配律的逆運(yùn)算角度思考，\(99^2+99=99??99+99??1=99??(99+1)=99??100\)，更簡(jiǎn)便地得出能被100整除的結(jié)論。通過這個(gè)例子，引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的因式分解以及提公因式法，讓學(xué)生體會(huì)從整式乘法的逆運(yùn)算來研究因式分解的思路。（二）探索新知（15分鐘）公因式的概念多項(xiàng)式觀察：給出多項(xiàng)式\(ab+ac\)，讓學(xué)生觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)。學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)都含有字母\(a\)。再給出多項(xiàng)式\(3x^2+x\)，學(xué)生能看出都含有\(zhòng)(x\)；對(duì)于多項(xiàng)式\(mb^2+nb-b\)，各項(xiàng)都含有\(zhòng)(b\)。概念歸納：總結(jié)得出多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。例如在\(ab+ac\)中，公因式是\(a\)；\(3x^2+x\)中，公因式是\(x\)；\(mb^2+nb-b\)中，公因式是\(b\)。公因式確定方法探究：以多項(xiàng)式\(2x^2+6x^3\)為例，分析公因式的確定。系數(shù)方面，2和6的最大公約數(shù)是2；字母方面，都含有\(zhòng)(x\)，且\(x\)的最低次冪是\(x^2\)，所以公因式是\(2x^2\)。再看多項(xiàng)式\(2x^2y+6x^3y^2\)，系數(shù)2和6的最大公約數(shù)是2，都含有的字母是\(x\)和\(y\)，\(x\)的最低次冪是\(x^2\)，\(y\)的最低次冪是\(y\)，則公因式為\(2x^2y\)。由此歸納出確定公因式的方法：各項(xiàng)系數(shù)是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。字母取各項(xiàng)都含有的相同字母，且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。若有相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。提公因式法的概念及步驟概念引入：將\(ab+ac\)寫成\(a(b+c)\)的形式，把多項(xiàng)式中的公因式提取出來，將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。步驟講解：以\(3x+6\)為例，首先找公因式，系數(shù)3和6的最大公約數(shù)是3，都含有字母\(x\)，\(x\)的最低次冪是\(x^0\)（可看作1），所以公因式是3；然后提公因式，\(3x+6=3(x+2)\)。再如\(7x^2-21x\)，公因式為7x，提公因式后得到\(7x(x-3)\)?？偨Y(jié)提公因式法的步驟為：找公因式：按照確定公因式的方法，從系數(shù)、字母、多項(xiàng)式等方面準(zhǔn)確找出公因式。提公因式：將公因式提取出來，用原多項(xiàng)式除以公因式得到另一個(gè)因式。（三）例題講解（15分鐘）例1：將下列各式分解因式(1)\(8a^3b^2-12ab^3c+abc\)分析：先確定公因式，系數(shù)8、-12、1的最大公約數(shù)是1，都含有的字母是\(a\)、\(b\)，\(a\)的最低次冪是\(a\)，\(b\)的最低次冪是\(b\)，所以公因式是\(ab\)。解：\(8a^3b^2-12ab^3c+abc=ab(8a^2b-12b^2c+c)\)(2)\(-24x^3-12x^2+28x\)分析：系數(shù)-24、-12、28的最大公約數(shù)是4，都含有的字母是\(x\)，\(x\)的最低次冪是\(x\)，又因?yàn)槭醉?xiàng)系數(shù)為負(fù)，所以公因式是\(-4x\)。解：\(-24x^3-12x^2+28x=-4x(6x^2+3x-7)\)例2：分解因式\(3x(x-2)-(2-x)\)分析：先將式子變形為\(3x(x-2)+(x-2)\)，此時(shí)公因式為\((x-2)\)。解：\(3x(x-2)-(2-x)=3x(x-2)+(x-2)=(x-2)(3x+1)\)例3：利用分解因式計(jì)算\(3^{2004}-3^{2003}\)分析：公因式為\(3^{2003}\)。解：\(3^{2004}-3^{2003}=3^{2003}??(3-1)=2??3^{2003}\)（四）課堂練習(xí)（10分鐘）找出下列各多項(xiàng)式的公因式(1)\(4x+8y\)(2)\(am+an\)(3)\(48mn-24m^2n^3\)(4)\(a^2b-2ab^2+ab\)把下列各式因式分解(1)\(x^2+4x\)(2)\(mb^2+nb-b\)(3)\(6xy-9x^2y\)(4)\((a-3)^2-(2-a)(3-a)\)教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并給予指導(dǎo)，選取部分學(xué)生的答案進(jìn)行展示和點(diǎn)評(píng)，糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，強(qiáng)調(diào)確定公因式的方法和提公因式時(shí)的注意事項(xiàng)，如符號(hào)問題、不要漏項(xiàng)等。（五）課堂小結(jié)（3分鐘）與學(xué)生一起回顧公因式的概念，確定公因式的方法（系數(shù)的最大公約數(shù)、相同字母的最低次冪、相同多項(xiàng)式的最低次冪）?？偨Y(jié)提公因式法分解因式的步驟（找公因式、提公因式），以及在提公因式過程中需要注意的符號(hào)問題、避免漏項(xiàng)等易錯(cuò)點(diǎn)。強(qiáng)調(diào)因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，可利用整式乘法來檢驗(yàn)因式分解的正確性。（六）作業(yè)布置（2分鐘）基礎(chǔ)作業(yè)：教材課后練習(xí)題中關(guān)于提公因式法分解因式的相關(guān)題目，鞏固本節(jié)課所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。拓展作業(yè)：已知\(a+b=5\)，\(ab=3\)，求\(a^2b+ab^2\)的值。分解因式\((x+y)^2-3(x+y)\)。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，密切關(guān)注學(xué)生對(duì)提公因式法的理解和掌握程度。通過學(xué)生在課堂練習(xí)和回答問題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)困難點(diǎn)，如公因式確定不準(zhǔn)確、提公因式后另一個(gè)因式計(jì)算錯(cuò)誤等。針對(duì)這些問題，在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)確定公因式方法的專項(xiàng)訓(xùn)練，增加更多復(fù)雜形式多項(xiàng)式的練習(xí)，注重對(duì)學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)的反復(fù)強(qiáng)調(diào)和糾正。同時(shí)，關(guān)注不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生給予更多的輔導(dǎo)和幫助，確保每個(gè)學(xué)生都能在本節(jié)課中有所收獲。此外，思考在教學(xué)方法上是否可以進(jìn)一步優(yōu)化，讓學(xué)生更加主動(dòng)地參與到知識(shí)的探索和應(yīng)用中，提高課堂教學(xué)的效率和質(zhì)量。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.了解因式分解的意義,以及它與整式乘法的關(guān)系,掌握因式分解的概念，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在含義與價(jià)值.2.能確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式,會(huì)用提公因式法把多項(xiàng)式分解因式，培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考和運(yùn)算能力.3.會(huì)利用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，體會(huì)因式分解的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)。4.經(jīng)歷從分解因數(shù)到分解因式的類比過程,感受因式分解在解決問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).學(xué)習(xí)重點(diǎn)：運(yùn)用提公因式法分解因式.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：正確理解因式分解的概念，準(zhǔn)確找出公因式.

我們知道，利用整式的乘法運(yùn)算，可以將幾個(gè)整式的積化為一個(gè)多項(xiàng)式的形式，反過來，能不能將一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式呢？若能，這種變形叫做什么呢？如圖，一塊菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示這塊草坪的面積嗎？知識(shí)點(diǎn)1因式分解的概念abcm學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法?1.運(yùn)用整式乘法法則或公式填空：(1)m(a+b+c)=

；

(2)(x+1)(x–1)=

；(3)(a+b)2=

.ma+mb+mcx2–1a2+2ab+b22.根據(jù)等式的性質(zhì)填空：(1)ma+mb+mc=()()(2)x2–1=()()

(3)a2+2ab+b2=()2ma+b+cx+1x–1a+b都是多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式比一比，這些式子有什么共同點(diǎn)？把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.x2–1(x+1)(x–1)因式分解整式乘法x2–1=(x+1)(x–1)等式的特征：左邊是多項(xiàng)式，右邊是幾個(gè)整式的乘積整式乘法與因式分解有什么關(guān)系？是互為相反的變形，即想一想例

下列從左到右的變形中是因式分解的有(

)①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)B素養(yǎng)考點(diǎn)因式分解變形的識(shí)別方法總結(jié)：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解的右邊是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的形式，整式乘法的右邊是多項(xiàng)式的形式．

在下列等式中，從左到右的變形是因式分解的有

.不是因式分解的，請(qǐng)說明原因.

①

②

③④

⑤

⑥

③⑥am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x

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