7.1

基本立體圖形、直觀圖、表面積和體積第七章課標要求1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形,認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征,能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.2.知道球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖.備考指導本部分的重點是空間幾何體的體積與表面積計算、球的截面性質,重難點是與球的切、接有關的幾何體問題.復習時要注意觀察所給幾何體的結構特征,對球的外接和內切問題要建立相關模型,運用相關公式和結論求解.對直觀想象和數學運算素養考查較多.內容索引010203第一環節必備知識落實第二環節關鍵能力形成第三環節學科素養提升第一環節必備知識落實【知識篩查】

1.空間幾何體(1)定義如果只考慮物體的形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.(2)空間幾何體的分類及相關概念注意:一個多面體最少有4個面、4個頂點和6條棱.2.棱柱、棱錐、棱臺的結構特征

問題思考1(1)有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形,由這些面所圍成的幾何體一定是棱柱嗎?不一定,因為“其余各面都是平行四邊形”并不等價于“相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”,如圖①所示.②

(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐嗎?不一定,因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”,如圖②所示.①溫馨提示1.常見的幾種四棱柱之間的轉化關系

2.(1)正棱錐的各側棱長相等,各側面都是全等的等腰三角形,斜高(各側面等腰三角形底邊上的高)都相等;(2)正棱錐的高、斜高和斜高在底面上的正投影(底面正多邊形的邊心距,也是其內切圓的半徑)組成一個直角三角形,正棱錐的高、側棱和側棱在底面上的正投影(底面正多邊形的外接圓半徑)也組成一個直角三角形.3.圓柱、圓錐、圓臺和球的結構特征(1)圓柱、圓錐、圓臺問題思考2(1)直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐嗎?(2)類比圓柱、圓錐的形成過程,圓臺可以由平面圖形旋轉而成嗎?不一定.當以斜邊所在直線為旋轉軸時,其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐,它是由兩個同底面圓錐組成的幾何體.圓臺可以看作是直角梯形以垂直底邊的腰所在的直線為旋轉軸,其他三邊旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體.(2)球①球的結構特征②球的截面性質a.用一個平面去截一個球,截面是圓面,球心和截面圓心的連線垂直于截面.b.球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r有如下關系:4.立體圖形的直觀圖(1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟①建系:在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫直觀圖時,把它們畫成對應的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.②平行不變:已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.③長度規則:已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的一半.(2)空間幾何體直觀圖的畫法①與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸,直觀圖中與之對應的是z'軸.②直觀圖中平面O'x'y'表示水平平面,平面O'y'z'和O'x'z'表示豎直平面.③已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段,在其直觀圖中平行性和長度都不變.④成圖后,去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線.5.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

6.柱、錐、臺、球的表面積與體積公式【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)棱臺是用一個平面截棱錐所得的截面與底面之間的部分.(

)(2)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱.(

)(3)如果圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側面積是2πS.(

)(4)在用斜二測畫法畫水平放置的∠A時,若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸,且∠A=90°,則∠A在直觀圖中的度數為45°.(

)××××2.如圖,邊長為2cm的正方形O'ABC是某一個圖形的直觀圖,則原圖形的周長是(

)

A.14cm B.15cm C.16cm D.17cmC3.如圖,長方體ABCD-A'B'C'D'被截去一部分(虛線部分),其中EH∥A'D',截去的幾何體是三棱柱,則剩下的幾何體是

.

五棱柱

4.已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為

.

5.如圖,將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐,則該棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為

.

1第二環節關鍵能力形成能力形成點1空間幾何體的結構特征例1

(1)下列結論正確的是(

)A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸,其余兩邊繞旋轉軸旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.若棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長都相等,則該棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線DA項錯誤,如圖①,該幾何體是由兩個同底的三棱錐疊放在一起構成的組合體,它的各個面都是三角形,但它不是三棱錐;B項錯誤,如圖②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋轉軸不是直角邊所在直線,則所得的幾何體都不是圓錐;C項錯誤,若該棱錐是六棱錐,則由題設知,它是正六棱錐,易證正六棱錐的側棱長必大于底面邊長,這與題設矛盾.故本題選D.①

②(2)(2022北京,9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內部的點構成的集合.設集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區域的面積為(

)B解題心得1.要想把握幾何體的結構特征,必須通過多角度、全方面地去分析,在觀察實物中,提高空間想象能力.2.緊扣結構特征是判斷的關鍵,熟悉空間幾何體的結構特征,依據條件構建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素,依據題意判定.3.通過反例對結構特征進行辨析,即要說明一個命題是假命題,只需舉出一個反例即可.對點訓練1(1)(多選)下列命題是真命題的是(

)A.底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體B.底面是矩形的平行六面體是長方體C.四棱錐的四個側面可以都是直角三角形D.棱臺的側棱延長后必交于一點ACD命題A項中符合平行六面體的定義,故是真命題;底面是矩形的平行六面體的側棱可能與底面不垂直,故B項中命題是假命題;C項中命題是真命題,如圖,PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD為矩形,可證明∠PAB,∠PCB均為直角,這樣四個側面都是直角三角形;由棱臺的定義知D項中命題是真命題.(2)將數字1,2,3,4,5,6寫在每一個骰子的六個表面上,做成6枚一樣的骰子.分別取3枚同樣的骰子疊放成如圖所示的兩個柱體,則柱體①和②的表面(不含下底面)數字之和分別是(

)A.47,48 B.47,49C.49,50 D.50,49A由題意可知每個骰子相互平行的兩個面上的數字間的關系為1與6相對,3與4相對,2與5相對.所以柱體①的表面數字之和為(5+1+6+3+4)+(2+5+6+1)+(1+6+3+4)=47;柱體②的表面數字之和為(6+2+5+3+4)+(2+5+6+1)+(2+5+3+4)=48.故選A.能力形成點2空間幾何體的直觀圖例2

(1)水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示,D'是△A'B'C'中B'C'邊的中點,且A'D'∥y'軸,A'B',A'D',A'C'三條線段對應原圖形中的線段AB,AD,AC,則(

)A.AB>AD>AC B.AC>AD>ABC.AB=AC>AD D.AD>AB>ACC因為A'D'∥y'軸,所以在原圖形中有AD⊥BC.又D'為B'C'的中點,所以AD為BC邊上的中線,所以△ABC為等腰三角形.又AD為BC邊上的高,所以AB=AC>AD.(2)如圖,已知△ABC的直觀圖△A'B'C'是邊長為a的正三角形,則△ABC的面積為

.

解題心得1.在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x'軸或y'軸平行,原圖形中不與坐標軸平行的直線段可以先畫出線段的端點再連線,原圖形中的曲線段可以通過取一些關鍵點,作出在直觀圖中的相應點后,用平滑的曲線連接而畫出.2.把水平放置的直觀圖還原成原來的圖形,基本過程就是逆用斜二測畫法,使平行于x'軸的線段長度不變,平行于y'軸的線段長度變成原來的2倍.3.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積有以下關系:對點訓練2已知水平放置的正三角形ABC的邊長為a,則它的直觀圖的面積為

.①

②能力形成點3空間幾何體的表面積和體積命題角度1空間幾何體的表面積例3

(1)魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯方)起源于古代中國建筑的榫卯結構.這種三維的拼插器具內部的凹凸部分(即榫卯結構)嚙合,十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多,形狀和內部的構造各不相同,一般都是易拆難裝.某魯班鎖玩具的直觀圖如圖所示,每條棱的長均為2,則該魯班鎖的表面積為(

)A(2)如圖所示,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AD∥BC,BC=2CD=2AD=2,若將該直角梯形繞BC邊所在直線旋轉一周,則所得的幾何體的表面積為

.

根據題意可知,所得幾何體的上半部分為圓錐(底面半徑為1,高為1),下半部分為圓柱(底面半徑為1,高為1),如圖所示.則所得幾何體的表面積為圓錐的側面積、圓柱的側面積以及圓柱的下底面面積之和,即表面積為命題角度2空間幾何體的體積C如圖,甲、乙兩個圓錐的側面展開圖剛好拼成一個圓.設圓的半徑(即圓錐的母線長)為3,則圓的周長為6π,甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,(2)(2022全國Ⅰ,理9)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上,則當該四棱錐的體積最大時,其高為(

)C(3)如圖,六角螺帽毛坯的制作原理是將一個正六棱柱挖去一個圓柱而成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是

cm3.

(4)如圖,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,則此幾何體的體積為

.

96(方法一:分割法)如圖,取CM=AN=BD,連接DM,MN,DN,用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐.(方法二:補形法)將原幾何體補成一個直三棱柱,使AA'=BB'=CC'=8.解題心得1.求解幾何體表面積的類型及方法

求多面體的表面積將它們沿著棱“剪開”并展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積從旋轉體的形成過程及其結構特征入手,將其展開后求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規則幾何體的表面積通常先將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體,再求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積,最后通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積2.求空間幾何體的體積的常用方法公式法對于規則幾何體的體積問題,可以直接利用公式進行求解等體積法一個幾何體無論怎樣轉化,其體積總是不變的.如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時,我們可以采用等體積法進行求解.等體積法也稱等積轉化或等積變形,它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法,多用來解決有關錐體的體積,特別是三棱錐的體積割補法把不規則的幾何體分割成規則的幾何體或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體,便于計算其體積對點訓練3(1)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中提到了一種名為“芻甍”的五面體(如圖),四邊形ABCD為矩形,棱EF∥AB.若此幾何體中,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形,則此幾何體的表面積為(

)B(2)為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環境,某學校修建了若干“朗讀亭”,如圖所示.該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體,正六棱柱的高為底面邊長的2倍,若正六棱錐與正六棱柱的側面積之比為

,則正六棱錐與正六棱柱的高的比值為(

)D(3)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為

.能力形成點4與球有關的切接問題例5

(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為(

)C(2)(多選)(2023新高考Ⅰ,12)下列物體中,能被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內的有(

)A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體ABD圖(1)圖(2)圖(3)①

圖(3)②(3)已知正三棱錐的高為1,底面邊長為,內有一個球與四個面都相切,則棱錐的內切球的半徑為

.

如圖,過點P作PD⊥平面ABC于點D,連接AD并延長交BC于點E,連接PE,由題意可知,D為正三角形ABC的中心.解題心得解決球與其他幾何體的切、接問題,關鍵在于仔細觀察、分析,弄清相關元素的關系和數量關系,選準最佳角度作出截面,使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素之間的關系,達到空間問題平面化的目的.對點訓練4(1)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為(

)A.64π

B.48π

C.3