專題11銳角三角函數

目錄

01理·思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤·基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）

知識模塊一：銳角三角函數

知識模塊二：解直角三角形

知識模塊三：解直角三角形的應用

03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（9大基礎考點）

考點一：理解銳角三角函數的概念

考點二：求角的三角函數值

考點三：由三角函數求邊長

考點四：由特殊角的三角函數值求解

考點五：在平面直角坐標系中求銳角三角函數值

考點六：在網格中求銳角三角函數值

考點七：三角函數綜合

考點八：解直角三角形的相關計算

考點九：構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積

04破·重點難點：突破重難點，沖刺高分。（4大重難點）

重難點一：運用解直角三角形的知識解決視角相關問題

重難點二：運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題

重難點三：運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題

重難點四：12345模型

05辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（2大易錯點）

易錯點1：未在直角三角形中求銳角三角函數的值

易錯點2：誤認為三角函數值與三角形各邊的長短有關

1

知識模塊一：銳角三角函數

知識點一：正弦，余弦，正切

正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做

A的對邊a

∠A的正弦，記作sinA，即sinA；

斜邊c

余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做

A的鄰邊b

∠A的余弦，記作cosA，即cosA；

斜邊c

正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A

A的對邊a

的正切，記作tanA，則tanA

A的鄰邊b

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進行定義的，本質是兩條線段的比，因此沒有單位，只與

角的大小有關，而與直角三角形的邊長無關.

2

2）根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔

助線來構造直角三角形.

3）表示，可以寫成，不能寫成(正弦、余弦相同).

知識點二：銳角三角函數

銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數．（其中：0＜∠A＜90°）

取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結論：0sinA1，0cosA1，

tanA0.

增減變化：當0°＜∠A＜90°，sinA，tanA隨∠A的增大而增大，cosA隨∠A的增大而減小.

【補充】利用銳角三角函數值的增減變化規律可比較銳角的大小.

知識點三：特殊角的三角函數值

利用三角函數的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數值，如下表所示：

三角函數值特殊角

30°45°60°

sinα1

23

2

22

cosα1

322

22

tanα

33

1

3

知識點四：銳角三角函數的關系

在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關系：

1）同角三角函數的關系：

①平方關系：；

22

②商數關系：sinA+cos.A=1

sinA

2)互余兩角的三t角an函A數=關c系os：A

①互余關系：

sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.

3

sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.

②倒數關系：

tanA?tanB=1

知識模塊二：解直角三角形

知識點一：解直角三角形

定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知

元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．

在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：

1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.

2）三邊之間的關系：（勾股定理）.

222

3）兩銳角之間的關系：a∠+Ab＋=∠cB＝90°.

4）邊角之間的關系：sinA=，sinB=，cosA=，cosB=，tanA=，tanB=.

abbaab

【補充】三角函數是連接邊與c角的橋梁.cccba

11

5）面積公式Sabch（h為斜邊上的高）.

22

知識點二：解直角三角形的常見類型

已知條件解法步驟圖示

斜邊和一直角邊(如c，a)

由sinA，求，∠B=90°－∠A，bc2a2

兩a

=c∠A

邊兩直角邊(如a，b)

由tanA，求，∠B=90°－∠A，ca2b2

a

=b∠A

斜邊和一銳角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，acsinA,bccosA

一

邊aa

一直角邊和一銳角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，b,c

一tanAsinA

角

另一直角邊和一銳角（如b，∠A）b

∠B=90°－∠A，abtanA,c

cosA

【注意】已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此

其邊的大小不確定.

【總結】在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的

三個未知元素(知二求三).

【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對用正弦，有斜求鄰用余弦，無斜求對(鄰)用正切.

4

知識模塊三：解直角三角形的應用

知識點一：仰角、俯角

視角：視線與水平線的夾角叫做視角．

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．

【注意】仰角和俯角是相對于水平線而言的，在不同的位置觀測，仰角和俯角是不同的.

知識點二：坡度、坡角

坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作.

h

坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.i=l

【注意】坡度與坡角是兩個不同的概念，坡角是兩個面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的

關系是，坡角越大，坡度越大.

h

i=l

知識點三：方位角、方向角

方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，

PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線

5

OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方

向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西

45°

知識點四：解直角三角形實際應用的一般步驟

①弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；

②將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；當有些圖

形不是直角三角形時，可適當添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.

③選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；

④得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．

【常見類型】航海、建橋修路、測量樓高、塔高等.

考點一：理解銳角三角函數的概念

1．（2022·吉林長春·中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該

起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設

，下列關系式正確的是（）????⊥??

∠???=?

A．B．C．D．

????????

sin?=??sin?=??sin?=??sin?=??

2．（2024·天津紅橋·一模）如圖，在中，，為邊上一點，過點作，垂足

為，則下列結論中正確的是（）RtΔ???∠???=90°??????⊥??

?

6

A．B．C．D．

????????

sin?=??cos?=??tan?=??tan?=??

3．（2024廣州市模擬預測）在中，，各邊都擴大2倍，則銳角A的三角函數值（）

A．擴大2倍B．不變Rt△???C∠．?縮=小90°D．擴大

11

22

考點二：求角的三角函數值

1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在四邊形中，，平分．若，

，則．????∠?=∠???=90°??∠?????=1

??=3sin∠???=

2．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點C落在點E處，與

交于點F，若，，則的值是????．??????

??=6??=8cos∠???

3．（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．

12??????tan∠???=

考點三：由三角函數求邊長

1．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿折疊，點D恰好落在邊

??????△?????

7

上的點F處，若．，則．

4

????=10sin∠???=5??=

2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，中，，以為直徑的半圓O分別交，于點D，

E，過點E作半圓O的切線，交于點△M?，?交?的?延?長=線??于點N?．?若，??，?則?半徑

3

的長為．??????=10cos∠???=5??

3．（2023·山東·中考真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點，在邊上，若，

，則．△???????∠???=30°

1

tan∠???=3??=

考點四：由特殊角的三角函數值求解

1．（2024·山東青島·中考真題）計算：．

1?1

2．（2023·山東·中考真題）計算：18+3?2sin45°=．

0

3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義|一3種?運2|算+；2sin60°?2023=，

．例如：當，時，sin(?+?)=sin?cos?+cos?sin?，則sin(???的)=值s為in?cos??．

23216+2

cos?sin??=45°?=30°sin45°+30°=2×2+2×2=4sin15°

8

考點五：在平面直角坐標系中求銳角三角函數值

1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，

3

?=4?

直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在

x軸上移動時，線段的最小值為．??

??

2．（2024·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線（是常數）

2

經過點．點、是該拋物線上不重合的兩點，橫?坐標分別為、，?點=的?橫+坐2?標+為??，點

的縱坐標?與2,點?2的縱坐?標相?同，連結、．?????5??

?????

(1)求該拋物線對應的函數表達式；

(2)求證：當取不為零的任意實數時，的值始終為2；

(3)作的垂?直平分線交直線于點，ta以n∠??為?邊、為對角線作菱形，連結．

當??與此拋物線的對稱軸?重?合時，?求菱?形?的?面?積；??????

①當此??拋物線在菱形內部的點的縱坐標??隨??的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．

3②．（2024·西藏·中考真?題?）??在平面直角坐標系中?，拋?物線?與x軸交于，

2

兩點，與y軸交于C點，設拋物線的對稱軸為直線l．?=??+??+3?≠0??1,0?3,0

9

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖（甲），設點C關于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使有最大值？若

存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由；?????

?????

(3)如圖（乙），設點M為拋物線上一點，連接，過點M作交直線l于點N．若，

2

????⊥??tan∠???=3

求點M的坐標．

考點六：在網格中求銳角三角函數值

1．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，在邊長為的正方形網格中，點、、、、都在小正方形格

點的位置上，連接，相交于點，根據圖中提示1所添加的輔助線，可以?求?得???的值是（）

?????tan∠???

A．B．C．D．

15

2．（2024·湖北武漢·模擬預測5）如圖，是由小正方形2組成的網格，每個小5正方形的頂點叫做格點，

的三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成7畫×圖6，畫圖過程用虛線表示.△???

(1)在圖1中，將線段繞點A逆時針旋轉得到線段；在上畫點N，使；

°3

??90????tan∠???=4

(2)在圖2中，D是上任意一點，先畫的中點E，再在上找到一點F，使得

3．（2024·湖北武漢??·模擬預測）如圖是由??邊長為1的小正方?形?構成的網格，點A、∠D?、??E、=F∠?在?格?.點上，點

B、C是直線與網格線的交點．請用無刻度的直尺在給定網格中完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫

圖結果用實線?表?示．

10

(1)如圖1，將線段繞著點E逆時針旋轉得到線段，在線段上取點P，使得，并畫

3

??90°????tan∠???=4

出點E關于的對稱點Q；

(2)如圖2，在??線段上畫一個點N，使得

??△???∽△???.

考點七：三角函數綜合

1．（2022·浙江寧波·中考真題）如圖1，為銳角三角形的外接圓，點D在上，交于點E，

點F在上，滿足⊙?交于點??G?，，連結??，?．?設??．

??∠????∠???=∠???,??∥??????=??????∠???=?

(1)用含的代數式表示．

(2)求證：?∠??．?

(3)如圖2，△??為?≌△的??直?徑．

當的長?為?2⊙時?，求的長．

①當??時，?求?的值．

2②．（?2?0:2?2·?甘=肅4武:1威1·中考真c題os）?已知正方形，為對角線上一點．

???????

11

(1)【建立模型】如圖1，連接，．求證：；

(2)【模型應用】如圖2，是??延長?線?上一點，??=??，交于點．

判斷的形狀并說?明理?由?；??⊥???????

①若為△??的?中點，且，求的長．

(②3)【模?型?遷?移】如圖3，?是?=4延長線??上一點，，交于點，．求證：．

3．（2024·四川成都·中?考真?題?）數學活動課上?，?同⊥?學?們?將?兩個??全等的?三?角?形=紙?片?完全重合??放=置，2固?定1一?個?

頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片和中，

，，．????????=

?【?初=步3感知??】=??=4∠???=∠???=90°

（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉過程中，試探究的值．

??

【深入探究】??????????

（2）如圖2，在紙片繞點旋轉過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交

于點，求的長．?????△?????????

【拓展?延伸?】?

（3）在紙片繞點旋轉過程中，試探究，，三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角

三角形的?面??積；若?不能，請說明理由．???

???

考點八：解直角三角形的相關計算

1．（2024·山西·中考真題）如圖，在中，為對角線，于點E，點F是延長線上一點，

且，線段的延長線交于?點?G?．??若??，?，?⊥??＝，則的?長?為．

∠???=∠?????=5??=4tan∠???2??

12

2．（2024·寧夏·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，點是的內心，連接并延

長交于點，過點作的切線⊙交?△的?延?長?線于點．???△?????

⊙???⊙????

(1)求證：；

??∥??

(2)連接，若的半徑為2，，求陰影部分的面積（結果用含的式子表示）．

1

??⊙?sin∠???=2π

3．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在中，點A，B，C，D為圓周的四等分點，為切線，連接，

并延長交于點F，連接交于點G⊙．?????

⊙?????

(1)求證：平分；

(2)求證：??∠???；

(3)若△?，??≌△???，求的值．

4．（?2?02=3·浙3江?紹?興=·3中?考?真題c）os∠?一??副直角三角尺如圖1所示，中間各有一個直徑為的圓洞，現將三

角尺的角的那一頭插入三角尺1圓洞內，如圖所示．則三角尺通過三角尺圓洞4的cm那一部分的最大

面積為?30°．（不計三角尺的厚?度）2??

2

如圖，矩cm形中，點是邊中點，點是邊上一動點，沿直線將翻折，點落在點

處2．已知3????，連結???．?????△?????

當??=時，6,??=4??,?；?

①當??=4為直角?三?=角形時，．

②△?????=

13

考點九：構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積

1．（2024·廣東廣州·一模）已知在四邊形中，，，．

????∠???=75°∠???=∠???=90°??=??=42

（1）的長是；

（2）若??E是邊上一個動點，連接，過點D作，垂足為點F，在上截取，當

的面積最小時?，?點P到的距離是??．??⊥??????=??△PBC

2．（2023·安徽·二模）如??圖，已知：是的直徑，點C在圓上，，，點C、E分別在

兩側，且E為半圓的中點．??⊙???=10??=6??

??

(1)求的面積；

(2)求△?的?長?．

3．（?2?022·浙江寧波·模擬預測）如圖，在中，是斜邊上的高，將得到的兩個和

按圖、圖、圖三種方式放置，設三R個t△圖?中??陰影部?分?的面積?分?別為，，，若△??，?則△與???

之間的①關系是②（）③?1?2?3?1=?2?1?3

14

A．B．C．D．

4．（?120=21·.江5?蘇3連云港·中考?真1=題2）?3我市的前三島是?眾1=多3海?3釣人的夢想之地?1．=小3明.5的?3爸爸周末去前三島釣魚，

將魚竿擺成如圖1所示．已知，魚竿尾端A離岸邊，即．海面與地面平行

且相距??，即．??=4.8m0.4m??=0.4m??

（1）如1圖.2m1，在無??魚=上1鉤.2時m，海面上方的魚線與海面的夾角，海面下方的魚線與海面

垂直，魚竿與地面的夾角?．?求點O?到?岸邊∠的?距??離=；37°??

?（?2）如圖2，在??有魚上鉤??時，魚竿∠與?地??面=的2夾2°角，?此?時魚線被拉直，魚線，點O

∠???=53°??=5.46m

恰好位于海面．求點O到岸邊的距離．（參考數據：，，，

343

??sin37°=cos53°≈5cos37°=sin53°≈5tan37°≈4

，，）

3152

sin22°≈8cos22°≈16tan22°≈5

、

重難點一：運用解直角三角形的知識解決視角相關問題

1．（2024·山西·中考真題）研學實踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學校組織研學活動．同學們來

到毛主席東渡黃河紀念碑所在地，在了解相關歷史背景后，利用航模搭載的掃描儀采集紀念碑的相關數

據．3?

數據采集：如圖，點是紀念碑頂部一點，的長表示點到水平地面的距離．航模從紀念碑前水平地面的

????

15

點處豎直上升，飛行至距離地面20米的點處時，測得點的仰角；然后沿方向繼續飛

行，?飛行方向與水平線的夾角，?當到達點正上?方的點∠處?時??，=測1得8.4°米；??

數據應用：已知圖中各點均在同∠?一?豎?直=平37面°內，，，?三點在同一?直線上．請根??據=上9述數據…，計算紀念碑

頂部點到地面的距離的長（結果精確到1米．?參?考數?據：，，，

?，??，．sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75

sin18.4°≈0.32cos18.4°≈0.95tan18.4°≈0.33)

2．（2024·西藏·中考真題）在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”

的探究作業．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為．已知兩

人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直30高°度米，B處距地面的垂直高45度°

米，點M，F，N在同一?條?直=線21上0，求小山的高度．（結果?保?留=根3號0）??=20

??

3．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發電系統運行時，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會對太陽輻

射的接收產生直接影響．某地區工作人員對日平均太陽輻射量（單位：）和太陽能

?1?2?1

板與水平地面的夾角進行統計，繪制了如圖2所?示的散點k圖W，?h已?知10該散?點m圖可?d用二次函數刻

畫．?°0≤?≤90

(1)求關于的函數表達式；

??

16

(2)該地區太陽能板與水平地面的夾角為多少度時，日平均太陽輻射量最大？

(3)圖3是該地區太陽能板安裝后的示意圖（此時，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），

為太陽能板與水平地面的夾角，為支撐桿．已知，是的中點，．在

∠延?長??線上選取一點??，在兩點??間選取一點??，測得?，?在=2m兩點?處?分?別用測角?儀?測⊥得?太?陽能?板?

頂端的仰角為?，，?該,?測角儀支架的高為?1m．求支??撐桿=4m的長．（?,精?確到m，參考數據：，

?）30°45°??0.12≈1.414

3≈1.732

重難點二：運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題

1．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南

島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，

如圖所示．??

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．

記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方60向°上的B處．

記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天45文°大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，

會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．

請你根據以上信息解決下列問題：15°

(1)填空：________，________，________海里；

(2)若該漁船∠?不??改=變航線與速°度∠，?是??否=會進入“海況°異?常?=”區，請計算說明．

（參考數據：，，）

2．（2024·四川2資≈陽1·.中41考真3題≈）1如.7圖3，某6海≈域2.4有5兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且

30°

A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

163

330°

17

(1)求B，C兩處的距離；

(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時間后，突發故障滯留于D處，并發出求救信號．此時，在燈

塔B處的漁政船測得D處在65北°偏東方向，便立即以18海里/小時的速度沿方向航行至D處救援，求

漁政船的航行時間．27°??

（注：點A，B，C，D在同一水平面內；參考數據：，）

3．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數學家楊ta輝n在65《°≈詳解2.1九章ta算n2法7°》≈中0對.5“邑的計算”的相關研究．數

學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設

2

12345678

立在邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路，???在???上?（?門寬及門與道2路km間距離忽?略

不計）?6，?7東側有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑?．?在?處6?測7得?雕?塑在北偏東方向上，在處

測得雕塑在北偏東方向上．???145°?2

59°

(1)__________，__________；

(2)∠求?點?1?2到=道路的距離°；∠??2?1=°

(3)若該小?1組成員小??李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會

受到游樂城的影響？（結果精確到?，參?考數據：?，，，，

）0.1km2≈1.41sin76°≈0.97tan76°≈4.00sin59°≈0.86

tan59°≈1.66

18

重難點三：運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題

1．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面

的山之間有一深溝，山頂D處立有高的?鐵?塔