第10小題不等式關(guān)系與基本不等式

國療司導(dǎo)航

??MM??MM,?MM?t0■??■MM????MM??...

第10小題不等式關(guān)系與基本不等式......................................................1

一、主干知識歸納與回顧.............................................................1

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì).......................................................1

2.2基本不等式.................................................................2

2.3二次函數(shù)與一元二次方程.不等式...........................................2

（一）命題角度剖析.................................................................3

（二）考情分析.....................................................................3

（三）高考預(yù)測.....................................................................3

二、題型分類與預(yù)測.................................................................4

命題點一：不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)..............................................4

1.1母題精析（三年高考真題）..............................................4

1.2解題模型...............................................................11

1.3對點訓(xùn)練（四年省市模考）.............................................12

命題點二：基本不等式及其應(yīng)用.................................................17

1.1母題精析（三年高考真題）..............................................17

1.2解題模型...............................................................26

1.3對點訓(xùn)練（四年省市模考）.............................................27

三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：................................................31

一、主干知識歸納與回顧

固方依方購

***,*“?*???■*■*??-4??MM*-?MM??.MM??...

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1.作差法比較大小

a>boa-b>4；a<b<^a-b<0；a=b=a-b=b.

2.不等式的基本性質(zhì)

第1頁共42頁

（1）（對稱性）a>bob>a（2）（傳遞性）a>b,b>c=a>c

（3）（口J力口性）Cl>b<=>a+Ob+c（4）（口J乘性）a>b,c>0=>ac>be;a>b,c<0=>ac<be

（5）（同向可加性）a>b,c>d=>a+c>b+cl

（6）（正數(shù)同向可乘性）a>）>O,c>d>O=ac>仇/

（7）（正數(shù)乘方法則）//*（〃《N,且〃>1）

2.2基本不等式

①重要不等式：a2^-b2>2ah（a,（當(dāng)且僅當(dāng)。二分時取'”號）.

變形公式：232+〃2）Nm+b）2（a,beR）

②基本不等式：竽之瘋（“人￡k）?（當(dāng)且僅當(dāng)”二b時取到等號）.

變形公式：a+b之2幾；.

用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要滿足條件：”一正.二定.三相等”.

2.3二次函數(shù)與一元二次方程.不等式

A>0A=0A<0

y=ax2+bx+c(a>0)的圖象AU義1義

0尸2女

2b沒有實數(shù)根

ax+bx+c=0(a>0)的根內(nèi),工2（*<與）M-x)一

2a

ax2++c>0(a>0)的解集{X五<內(nèi)，或/}R

12a]

at2+Z?x+c<0(f/>0)的解集{乂不<00

第2頁共42頁

處r顯學(xué)痛筆記

,年融角盛

（-）命題角度剖析

1.不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)★★★★☆2.基本不等式及其應(yīng)用★★★★☆

（二）考情分析

高考頻率：100%試題難度：中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題

捷裔旁我洌

（三）高考預(yù)測

常高考中多作為載體考查其他知識，例如，結(jié)合不等式的解法考查集合間的關(guān)系與運算、

函數(shù)零點的應(yīng)用等；或考查用基本不等式解決最值問題或恒成立問題。

第3頁共42頁

二、題型分類與預(yù)測

鷲校方”

??9?wa■MHB?a?■MM??am■aMBB■a■■■??aam??<*a..__.._...._...

命題點一：不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)

1.1母題精析（三年高考真題）

一.等式與不等式的性質(zhì)（共4小題）

I.（2022?上海）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>be

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：對于A，令a=2,b=I，c=—1?d=—2,滿足a>6>c>d,但a+d=/?+c,故A錯誤,

對于A,\a>b>c>d即〃>/?,c>d?

曰不等式的可加性可得，a+c>h+d,故3正確，

對于C,令a=2,b=\,c=-\,4=一2,滿足a>Z?>c>d,但ac=bd,故C錯誤，

對于￡）,令a=2,b=l,c=—1,d=—2,滿足a>Z?>c>d,但adv〃c,故。錯誤.

故選：B.

2.（2019?新課標(biāo)H）若〃〉〃,則（）

A.ln（a-b）>0B.3a<3hC./一護(hù)>。D.

【分析［取4=0，。=-1，利用特殊值法可得正確選項.

【解答】解：取4=0,b=—T,則

bi（a-b）=ln\=0,排除A：

3“=3°=1>3〃=3-|=1，排除8；

3

^23=03>（-1）3=-1=/?\故C對；

|?|=0<|-1|=1=/2,排除。.

故選：C.

3.（2018?全國）已知〃+〃>0,貝1」（）

第4頁共42頁

A.2ygyB.2">夕C.2“<2〃D.2“>2”

【分析】由題意及選項，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性，得到選項.

【解答】解：構(gòu)造函數(shù)，（乃=2，,/（x）是增函數(shù)，

。+。>0

/.a>-b

即f(a)>f(-b)

則2">2”

故選：B.

4.（2017?新課標(biāo)I）設(shè)4、八z為正數(shù)，且2'=3、=5、則（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2.xD.3y<2x<5z

［分析］x、y>z為正數(shù)，令2'=3'=5：=%>1./g%>0.可得x=則，),=處，2=處.可得3y=耳,

妒lg3fe5/g次

21=卑，5z=-^.法一根據(jù)h=強>酶=&,&=阪>病=痣.即可得出大小關(guān)系.

/g&lg^/5

法二：x、y、z為正數(shù)，令2，=3'=5：=A>1.桃>0.可得x=竺，y=處，2=處.—=-x-^=^>l,

Ig2lg3也53），3/?2k8

可得2x>3y,同理可得5z>2x.

法三：令2,=3，=5』>1,則2x=翌，3j=—,5z=—（lnk>0）,令/。）=也，利用導(dǎo)數(shù)可得/*）

ln2M3ln5x

在（e,+oo）上單調(diào)性，由此能推導(dǎo)出3y<2x<5z.

【解答】解法一：X、），、z為正數(shù),

令2'=3丫=52=4>1./以>0.

則工=跳，丫=處，”處.

fe2-fe3k5

,3)，=華，麋=與，5z=4.

/g抬fe>/2lg非

?.,班=%>我=0,>/2=*</32>,</25=^5.

/.7gV3>fex/2>7^</5>0.

/.3y<2x<5z.

解法二：x、y、z為正數(shù),

第5頁共42頁

令2'=3'=5,=&>1.lgk>().

則“嗡Z噴

新HI嚼”可得2x>3y，

1H嘴=翁>1可得5z>2x.

綜上可得：5z>2x>3y.

解法三：令2'=3、=5：=%>1,

i、link63/欣u5bik八，八、

貝mii」2x=——，3)，=——，5z=——(Ink>0),

/〃2'/〃3ln5

令f(x)=—,則r(x)=R^，

XX

/(<)在?+00)上單調(diào)遞減，

/./(3)>/(4)>/(5),

歷3/〃2/〃5八

—>——>——>0,

325

O<A<A<2

E3ln2ln5

31nklinkSink

<{Ink>0),

/〃3ln2ln5

/.3y<2x<5z.

故選：D.

不等關(guān)系與不等式（共1小題）

5.（2021?天津）已知aeR,貝卜'a>6”是“片>36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】/>36=a>6或av-6,根據(jù)充分必要的定義判斷即可得出答案.

【解答】解：①由。>6,得/>36,所以“。>6”是“/>36”的充分條件,

②由/>36,得a>6或av-6,所以“a>6”是“">36”的不必要性條件,

故06是/>36的充分不必要條件，

故選；A.

第6頁共42頁

三.不等式比較大小（共2小題）

6.（2023?天津）若〃=1.0105,分=1.0即，c=O.6°5,則（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【解答】解：y=l.or,在R上單調(diào)遞增，

0.6>0.5，

故0］。5,

所以。>4，

產(chǎn)產(chǎn)，在［0,+00）上單調(diào)遞增,

1.01>0.6?

故1.01°$>0.6°t即

所以〃>a>c.

故選：D.

7.（2017?山東）若a>b>0,且用=1,則下列不等式成立的是（）

A.〃+/<log2(〃+。)B.=<log2(a+b)<a+-

2b

C.a+:<log2(a+8)〈卷D.Iog2(a+/?)<a+i<—

〃年.代入計算即可得出大小關(guān)系.

［分析］a>〃>(),且=1,可取a=2,

【解答】解：1.a>b>0,且a〃=l,

:.可取.=2,b=—

2

1

a+：=4,土：,log2(<z+/?)=/^2(24-^)=7^2|e(l,2),

DZZoLL

：.^<\og2(a+b)<a+j-.

故選：B.

第7頁共42頁

四,其他不等式的解法(共5小題)

8.(2023?全國)不等式［>」_的解集為()

xx-\

A.(0,-K?)B.(1,-HC)C.(0J)D.(0,-)

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的解法，即可求解.

【解答】解：1>-L,

xx-\

則上I-一1—=—_1—>0,解得―

XX-1,v(x-1)

故原不等式的解集為(0.1).

故選：C.

9.(2022?全國)不等式2一3<0的解集是()

A.(-1,0)50，1)B.(一3,0)50，1)

C.(-co,?+oo)D.(-X,-3)U(1,+oo)

3

【分析】將分式不等式化簡，求解即可.

【解答】解：不等式二-2一3<0,

XX

BPI-2X-3X2<0,XWO，

BP3X2+2X-1>0,XWO,

解得,+CO).

3

故選：c.

10.(2020?北京)已知函數(shù)/(幻=2'-4-1,則不等式/‘(外>0的解集是()

A.(-1,1)B.(-00,-1)51，+<?)

C.(0,1)D.(-00,0)51，+00)

【分析】不等式即2、>x+l.由于函數(shù)y=2,和直線y=x+l的圖象都經(jīng)過點(0,1)、(1,2),數(shù)形結(jié)合可得

結(jié)論.

第8頁共42頁

【解答】解:不等式/*)>0,即2*>x+l.

由干函數(shù))，=r和直線)，=x+i的圖象都經(jīng)過點(0,I)、

(1,2),如圖所示:

不等式/(x)>0的解集是(-00,0)0(1,+8),

故選：D.

II.(2022?上海)不等式土」<0的解集為

x

【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解.

【解答】解：由題意得x(x-l)vO,

解得0vx<1,

故不等式的解集(0,1).

故答案為:(0,1).

12.(2020?全國)不等式組卜12工一3>0,的解集為

-X--3x+4..0

【分析】由一元二次不等式的解法和集合的交集運算可得所求?

【解答】解：由f-24一3>0可得x>3或“<-1;

由-3x+4..O可得-4瓢I.

所以不等式組匕匕11。x>3i&x<-\

即為4

-4領(lǐng)卜1

解得4,,x<1.

第9頁共42頁

故答案為：

五.指、對數(shù)不等式的解法（共1小題）

13.（2019?全國）若】og|（4x-l）＞-2,則x的取值范圍是_（q1）

4r—1＞（）

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，IJ解不等式組即可.

【解答】解：k）gi（4.r—l）＞—2=k）g14,

4.V-1>015

，二?一VX<一

4x-1<444

.”的取值范圍為?

故答案為:.

44

六.簡單線性規(guī)劃（共1小題）

14.（2022?上海）%-%0,A+y-1..0,求z=x+2y的最小值

【分析】根據(jù)已知條件作出可行域，再求目標(biāo)函數(shù)的最小值即可.

【解答】解：如圖所示：

由工-%0,x+y-L.O,可知行減為直線x-y=0的左上方和工+），-1=0的右上方的公共部分,

第10頁共42頁

聯(lián)立可得.'即圖中點嗎,9

[y=2

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+2y沿著與正方向向最。=（1,2）的相反向最平移時，離開區(qū)間時取最小值,

即目標(biāo)函數(shù)z=x+2y過點4,，1）時，取最小值：-+2x1=^.

22222

故答案為，

2

初泉碇支幀

1.2解題模型

1.比較大小的常用方法

⑴作差法：一般步驟為①作差；②變形；③定號；④下結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、

因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個式子都為正數(shù)時，有時也可

以先平方再作差.

⑵作商法：一般步驟為①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④下結(jié)論.

⑶中間值法：對于兩個數(shù)值，如果無法直接比較大小，那么可以考慮利用中間值來比較大小

一股常用的中間值有0,1,'等.

2

（4）函數(shù)法：根據(jù)兩數(shù)或兩式的結(jié)構(gòu)特征找出共性與差異，利用差異設(shè)置變量，根據(jù)共性構(gòu)造

函數(shù)，將兩數(shù)（式）的大小比較問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題進(jìn)行求解.

2.不等式在某區(qū)間上恒成立問題的求解方法

⑴不等式解集法

不等式在集合A中恒成立等價于集合A是不等式解集B的子集，通過求不等式的解集，并

研究集合間的關(guān)系可以求出參數(shù)的取值范圍，即f（x）＞0在區(qū)間[a,B]上恒成立=[a,P]aA,A

是f（x）＞0的解集.

⑵分離參數(shù)法

利用分離參數(shù)法來確定不等式f（x,2）N0（x￡D,X為實參數(shù)）恒成立中參數(shù)X取值范I韋I

的基本步驟:①將參數(shù)與變量分離，即化為。（入）2f2（x）（或后（入）＜f2（x））的形式:②求f2（x）

第11頁共42頁

在x￡D時的最大（或最小）值；③解不等式￡（人），［f2（x）］max（或fi（入）W［fz（x）.min）得人

的取值范圍.

⑶函數(shù)最值法

已知函數(shù)￡6）的值域為［0,司，則￡6）》@恒成立=［￡&）］田方》2,即m2a;f（x）/a恒成

立=［f（x）］maxWa,即nWa.

⑷主參換位法

含參數(shù)的不等式恒成立問題，若在分離參數(shù)時需要分類討論，或者即使能容易分離出參數(shù)

與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度，即把變量與參數(shù)交換位置.，構(gòu)造

以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.

⑸數(shù)形結(jié)合法

結(jié)合函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對稱軸、區(qū)間端點的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置（相

對于x軸）關(guān)系求解.

1.3對點訓(xùn)練（四年省市模考）

等式與不等式的性質(zhì)（共3小題）

I.（2022?福州模擬）若Tva<匕<0,則（）

22

A.->-B.a+b>2abC.a+〃>2而D.a+->b+-

abab

【分析】對于9，結(jié)合作差法，即可求解，對于C,結(jié)合特殊值法，即可求解.

【解答】解：對于A,l-l=^Z￡>0,即故A正確，

ababab

對丁5,a'+b2-2ab=(a-b)2>0,即/+//>24〃，故8正確,

對于C,令4=一,，/?=--?滿足一1<々<〃<0，但a+b<,故C錯誤，

24

對于。，?.-l<a<b<0,:.a-h<0,ab-\<0,

1.1.b-a(a-b)(ab-i)

a+——h——=a-b+------=------------------>0,

ababab

：.a+—>b+~,故O1E確.

ab

故選：ABD.

【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，考杳作差法，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2021?廈門模擬)已知正數(shù)”，〃滿足a+Z?=3,則()

A.-+-..9B.-(/?+-)..2C.lnalnb<-D.2e“+e”>21

abab4

第12頁共42頁

【分析】直接利用基本不等式和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用求出函數(shù)的極值，進(jìn)一步判定A、4、C、

。的結(jié)論.

【解答】解：對于A：由于正數(shù)滿足〃+力=3,所以'+4=4*[3+〃).(！+±)]=!乂(5+2+色k.!工9=3,

ab3ab3ab3

當(dāng)且僅當(dāng)〃=加時，等號成立，故A錯誤；

對于4：由于正數(shù)a+〃=3,所以〃=3—〃，所以，(〃+3)=—!—.('+?)=力+3,

ab3-bbb(3-b)

v27G+6丫一9

設(shè)f(x)=-__—，所以廣(x)=j—當(dāng)1VXV3時，r(x)>0,Ovxvl時，/(幻<0,故函數(shù)

x(3-x)x(3-x)

Iq

f(x)=f(1)=2,即一3+f)..2,故8正確；

minab

對干C:Ina-/成仆+叫=(/小小了(/〃土心y<1,故。正確；

224

3b2b

對于。：令g(b)=2e~+et所以g'(b)=2*-2/-〃，

令((b)=0.解得〃=1,

當(dāng)Ov〃vl時，g'(b)vO,函數(shù)g(b)單調(diào)遞減，當(dāng)1<〃<3時，g'(b)>0,函數(shù)g(b)單調(diào)遞增，

所以g(b)..g(1)=3/>21,故。正確;

故選：BCD.

【點評】本題考查的知識要點：基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，主要考查學(xué)生的

運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

3.(2021?三明模擬)已知〃，/九c,d均為實數(shù)，則下列命題錯誤的是()

A.若〃>/?,c>d>則ac>仇/B.若ab>0,be—ad>。,則￡一色>0

ab

C.若a>b,c>d,則a+4>〃+cD.若a>b,c>d>()?則

dc

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，逐一分析即可.

【解答】解：若4>Z?>0,c>d>0,則ac>拉/,所以4不正確；

若〃〃>0,be—ad>0,可得」-(bc-ad)>0,即￡>4>0,所以8正確；

abab

反例〃=一3，Z?=-2,c=2>d=1,滿足c>d,但a+dv/?+c,所以C不正確;

反例。二-3,Z?=-5,c=5,d=\滿足c></>o,但結(jié)@<2所以。不正確,

dd

故選：ACD.

【點評】本題考查命題的真假的判斷，不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

第13頁共42頁

二.不等式比較大小（共3小題）

4.（2020?度門模擬）已知。=log§2,b=203,c=cosl?則a,b>。的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

【分析】利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出大小關(guān)系.

【解答】解：a—log2=—?b-2°3>1?1>c=cos1>cos—=?

4232

則a,b,c的大小關(guān)系是avcvb.

故選：D.

【點評】本題考查了不等式的解法、指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

5.（2019?廈門一模）已知a>Z?>0,x=a+beh>y=b+ae",z=b+aeb>則（）

A.x<z<yB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

【分析】解法一：用特殊值代入法，判斷X、），與Z的大小順序；

解法二：根據(jù)不等式的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷X、與Z的大小順序.

【解答】解：解法一：由題意，令a=2,b=\,則x=2+e,y=\+2e2,z=l+2e；

顯然有I+2e?>l+〃>2+e,即xvzvy.

解法二：時，ea>eb,

aea>aeb>beh?

/.h+aea>h+ae”>a+heb,

這里a>。>0,z-x=（b-a）+ia-b）eb={a-b）（eh-1）>0,

即xvzvy.

故選：A.

【點評】本題考查了函數(shù)值大小比較問題，是基礎(chǔ)題.

6.（2019?福建模擬）已知a=&,b=汴,曲，則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【分析】根據(jù)基函數(shù)的單調(diào)性即可求出.

【解答］解：a=>{2,b=非,c=\/7,

第14頁共42頁

則a70=235=(25)7=327=(27)5=1285,

，°=52=(52)7=257,

C70=710=(72)5=495,

:.a>b>c,

故選：A.

【點評】本題考杳了不等式的大小比較，掌握累函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題

三.其他不等式的解法(共2小題)

7.(2023?福州模擬)不等式x<sinR+」的解集為

463

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-sinm,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合

46

/A=Z_1_1=O,解不等式即可.

3326

【解答】解：由x<sin0+,，得x-sin巴一，<0,

4646

令^(jr)=x-sin-,

46

貝！Jf'(x)=1--cos—，

"44

rpiTVX..f匚廣冗7TX

因為cos——r?所以一cos-e

444

所以/Xx)=l--cos—>0.

44

所以函數(shù)/*)=x-sin整為增函數(shù),

46

又《2)二」一_1=0,

'3326

則不等式x-sin—」v0即為f(x)</(—),

463

所以x<2,

3

即不等式A<sin—+1的解集為(-8,2).

463

故答案為：(』［).

【點評】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)與不等式相關(guān)知識，屬于中檔題.

8.(2019?福州三模)已知函數(shù)=4/〃(2-x),則不等式/(期)>0的解集為_(1,10)

第15頁共42頁

【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的定義域，進(jìn)而可得/*）＞0的解集，據(jù)此分析/（依1）＞0的解集即可得答

案.

YA

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)八折Gem有2'＞0,解可得QX2,即函數(shù)的定義域為［。'2）,

x>0

又巾&..0,則&/〃(2—x)>0=

2-x>]

解可得：Ovxvl,

f（igx）＞0,則有Ov/gxvl,

解可得：IvxvlO,

即不等式的解集為（1,10）;

故答案為：（1,10）.

【點評】本題考杳超越不等式的解法，注意利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析.

四.指、對數(shù)不等式的解法（共1小題）

9.（2021?上杭縣校級模擬）使“l(fā)og2（2x-3）＜2”成立的一個充分不必要條件是（）

337

A.x＞—B.xv—或x＞3C.2＜x＜3D.3＜x＜-

222

【分析】根據(jù)log2（2x-3）＜2等價于要找出它的一個充分不必要條件，只要找出由條件可以推出

反之不成立的條件，即要找出?個是不等式之＜人＜2,表示的集合的真了集即可.

2222

【解答】解：ydlog,（2x-3）＜2=log,4,

解得。＜2,

22

37737

v{x|2<x<3}c{x|-<x<-},{x|3<^<-}c{x|-<x<-}.

故選：CD.

【點評】本題主要考杳了充分條件與必要條件與充要條件的判斷，本題解題的關(guān)鍵是把命題之間的關(guān)系轉(zhuǎn)

化為集合之間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

第16頁共42頁

命題點二：基本不等式及其應(yīng)用

1.1母題精析（三年高考真題）

一.基本不等式及其應(yīng)用（共17小題）

1.（2022?上海）若實數(shù)“、人滿足下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\[abB.a+b<2\fabC.—+2b>2\[abD.—+2b<2\[ab

22

【分析】利用已知條件以及基本不等式化簡即可判斷求解.

【解答】解：因為所以。+〃..2疝，當(dāng)且僅當(dāng)4時取等號，

又〃>/A（）,所以〃+人>2\/^,故人正確，8錯誤，

且+2〃..2、區(qū)方=2而，當(dāng)且僅當(dāng)且=%,即〃=4/?時取等號，故CD錯誤，

2V22

故選：A.

2.（2021?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

、4r4

A.y=x~+2x+4B.y=|sinx|+--------C.>-=2l+D.y=lnx+—

Isinx\hvc

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可判斷選項A,根據(jù)基本不等式以及取最值的條件，即可判斷

選項8,利用基本不等式求出最值，即可判斷選項C,利用特殊值驗證，即可判斷選項0.

【解答】解：對于A，y=/十2》十4=（大十1-十3..3,

所以函數(shù)的最小值為3,故選項力錯誤；

對于8，因為（）<|sinx|,,1,所以y二|sinx|+—--..2J|sinx|?—--=4,

Isinx|\|sinx|

4

當(dāng)且僅當(dāng)Isinx|=――,即|sin/1=2時取等號，

|sin.r|

因為|sinx|,,l,所以等號取不到，

4

所以y=\sinx|+------->4,故選項B錯誤：

Isinx|

對于C，因為2'>0,所以y=2'+22r=2，+/..2小2*?郎=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2、=2,即上=1時取等號,

所以函數(shù)的最小值為4,故選項C正確；

第17頁共42頁

1|4

對于。，因為當(dāng)x=-時，y=ln-+—-=-1-4=-5<4,

ee

e

所以函數(shù)的最小值不是4,故選項。錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了函數(shù)最值的求解，涉及了二次函數(shù)最值的求解，利用基本不等式求解最值的應(yīng)用，在

使用基本不等式求解最值時要滿足三個條件：一正、二定、三相等，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

3.（2020?全國）若〃+力+。=4,初+處一0=0,則必的最大值為（）

A1口由V3

A.—B.——C.-Dn.——

6633

【分析】方法?：lt|a+b+c=4.3a+2Z?-c=0,可消去c得到4?+%=4,根據(jù)基本不等式“和定，枳

有最大值"，4a+3b..244a?3b=4瓜質(zhì)a>b,b>6,當(dāng)且僅當(dāng)4a=初時，等號成立即可得出答案；

方法二：由a+/?+c=4,3a+2b-c=0,可消去。得至ll4〃+%=4,則〃=1—b?令v=a〃，代入即可得

4

到二次函數(shù)，即可得出答案.

【解答】解：方法一：由a+/?+c=4,3〃+2Z?-c=O,消去c得至lj4a+3Z>=4,

令〃>0.b>0.則4。+3b..2>/4/3/）,即，石,，立，；.ab,,L當(dāng)且僅當(dāng)4a=3b時，等號成立，故他的最

33

大值為!.

3

故選：C.

3

方法二：由a+￡>+c=4,3a+2b-c=O可消去c得至lj4?+初=4,則a=l—b?令丁=a〃，

4

4a2?9I1

/.y=—b2+b=—（b——-.,.當(dāng)〃=—時，y=—,故的最大值為一.

■44333"皿33

故選：C.

【，評】本題匚=

4.（2022?新高考II）若x,y滿足產(chǎn)+產(chǎn)一孫=],則（）

A.4+為1B.x+y..2C.x~+2D.x~+y2..1

V

X--=cos0

2

【分析】方法一：原等式可化為,y）2=l,進(jìn)行三角代換，令，則

。卻十6.Z)

—y=sinc/

第18頁共42頁

百?C?n

x=——sin+cos

3L，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別求出x+y與V+y2的取值范圍即可.

2V3.0

y=---sin。

[3

22

方法二：由d+,2一肛=]可得，(x+?=1+3盯,,1+3(匕))2,x2+y2-1=xy?X+V,分別求出x+y與

2

丁+丁的取值范圍即可.

【解答】解：方法一：由f+y2f=]可得，+歿?=[,

x--=cosO\/3.,zj

x=——sin夕+cos夕

2，貝〉3

令r

^-y=sinO2G.a

y=---sine/

，3

/.AI+y=73sin^+cos^=2sin(^+—)e[-2>2],故A錯，8對,

6

,/V+y2=(^^sin/7+cos^)2+(八'sin=^5.sin2/?——cos2^+—=—sin(2/7——)+—F[―.2].

333333633

故C對，。錯,

方法二：對于4,B,由x2一孫二[可得，（工+＞）2=]+3初,1+3（土|2）2,即:（x+yy,,],

.?.a+.y)2,,4,.■「2領(lǐng)k+y2,故A錯，2對,

對于C,。，由犬+V一工）,=]得，/+）,2_]=町,x+y

~2~

/.A2+/?2,故。對;

X1+V2,222，f+y23，+9）

；一用,,,一,J.1=『+V,g；,f+)廣+_

2

/.x2+y2..-,故。錯誤.

,3

故選：BC.

5.(2020?山東)已知a>0,b>0,且〃+A=l,則（)

221

A.a+b..^-B.24一〃

22

C.log,a+log,2D.W+巫,,貝

【分析】直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

第19頁共42頁

【解答】解：①已知4>0,〃>0,且〃+。=1,所以（4+〃尸,,2/+2從，則/+從」，故4正確.

2

②利用分析法:要證,只需證明a—去>—1即可,H|Ja>b—\?由于a>0,b>0,且。+。=1,所以：

2

a>0,-1</?-1<0,故A正確.

③log?a+log2b=log,她，log?（色猿>=一2,故C錯誤.

④由于a>0,b>0,且a+Z?=L

利用分析法：要證G+C”&成立，只需對關(guān)系式進(jìn)行平方，整理得。+〃+2瘋,2,即2瘋,1,故

=—,當(dāng)且僅當(dāng)。=。=,時，等號成立.故。正確.

222

故選：ABD.

6.（2023?上海）已知正實數(shù)。、〃滿足。+皿=1,則"的最大值為—.

一16一

【分析】直接利用基本不等式求出結(jié)果.

【解答】解：正實數(shù)〃、〃滿足a+4〃=l,則而=」乂⑷4幾］><（"竺）2=',當(dāng)且僅當(dāng)白=!，/）=1時

4421628

等號成立.

故答案為：

16

7.（2021?上海）已知函數(shù)/（x）=3'+—^-3>0）的最小值為5,則a=9.

3A+1

【分析】利用基本不等式求最值需要滿足“一正、二定、三相等”，該題只需將函數(shù)解析式變形成

/（工）=3，+1+一一-1,然后利用基本不等式求解即可，注意等號成立的條件.

3+1

【解答】解