2025年高考臨門一腳試題數學一、單選題1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，故.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對化簡后，再利用模的定義求解即可.【詳解】因為，所以.故選：C3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.無法確定，與有關【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示列方程求得，再應用向量模長的坐標運算求.【詳解】由題，則，所以.故選：C4.如圖，，是棱長為2的正方體展開圖中的兩條線段，則原正方體中幾何體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先還原幾何體，然后根據三棱錐表面積的求法求得正確答案.【詳解】還原正方體如下圖所示，，，，所以四面體的表面積為.故選：B5.某大學在校學生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關于該大學在校學生的結論中，一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生【答案】C【解析】【分析】將問題轉化為不等式問題，利用不等式性質求解.【詳解】根據已知條件設理科女生有人，理科男生有人，文科女生有人，文科男生有人；根據題意可知，，根據異向不等式可減的性質有，即有，所以理科女生多于文科男生，C正確.其他選項沒有足夠證據論證.故選：C.6.設函數，若當時，函數取得最大值，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式及誘導公式計算可得.【詳解】因為，其中，，又當時，函數取得最大值，所以，所以，則，.故選：B7.已知函數，若，則（）A. B.C. D.以上都不對【答案】B【解析】【分析】利用求導判斷單調性，再借助，然后通過數形結合，即可作出判斷.【詳解】求導得，當時，，所以在區間上單調遞增，當時，，所以在區間上單調遞減，根據，，當時，，可作出圖象：所以當時，，根據圖象可知，，所以恒有，故B正確，由于，，所以，故C錯誤，故選：B.8.若能被整除，則的最小正整數取值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】將合理變形，再利用二項式定理展開，進而得到的取值即可.【詳解】由題意得,，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，而，得到，故，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，若使最小，則滿足，解得，故C正確.故選：C二、多選題9.擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，下列統計情況中，可能有出現過點數1的有（）A.平均數為4，中位數為5 B.平均數為4，眾數為3C.平均數為4，方差為1.6 D.平均數為5，標準差為2【答案】AD【解析】【分析】根據統計數據特征的定義，舉例說明AD正確，推導出數據的矛盾說明BC錯誤.【詳解】對于A，有可能出現點數1，例如：1，4，5，5，5.故A正確；對于B，因為眾數為3，則點數3至少出現2次，如果點數1出現1次，那么剩下的2次都取最大點數6，平均數還是小于4，所以不可能出現過點數1，故B錯誤；對于C，平均數為4，如果出現點數1，則，即方差不可能為1.6，所以不可能出現過點數1，故C錯誤；對于D，有可能出現點數1，例如：1，6，6，6，6.故D正確.故選：AD.10.已知函數，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于軸對稱 B.是的一個周期C.在上為增函數 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用誘導公式證明，結合偶函數定義可判斷A；利用可判斷B；利用三角函數的性質可判斷C；利用導數判斷函數的單調性，求得最值，可判斷D.【詳解】對于A，函數的定義域為，關于原點對稱，，所以是偶函數，其圖象關于軸對稱，故A正確；對于B，，所以的一個周期是，故B正確；對于C，令，當時，在上單調遞減，且，在上單調遞增，則在上單調遞減，所以在上單調遞減函數，故C錯誤；對于D，因為，令，則，求導得，由于，所以，單調遞增.當時，取得最大值；當時，取得最小值.因為，所以，即，故D正確.故選：ABD.11.已知是首項為，公比為的遞增等比數列，其前項和為．若對任意的，總存在，使得，則稱是“可分等比數列”，則（）A.不是“可分等比數列” B.是“可分等比數列”C.若是“可分等比數列”，則 D.若是“可分等比數列”，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，取，則不存在，使得；對于B，取，則不存在，使得；對于C，D根據“可分等比數列”的定義，用反證法證明即可.【詳解】對于A，若，則，因為，所以，又因為，所以不存在正整數，使得，所以不是＂可分等比數列＂，所以選項A正確：對于B，若，則，所以，當時，，所以不存在正整數，使得，所以不是＂可分等比數列＂，所以選項B錯誤；對于C，若，則有，所以不存在正整數，使得，所以，因為是遞增等比數列，所以，所以，因為，所以，即．下證：對任意，當且僅當時，．反證法：假設存在正整數，使得當時，，取滿足條件的最小正整數，此時有，使得且，則，即，即與矛盾．所以對任意，當且僅當時，，所以選項C正確；對于D，下證：．由上可知，即恒成立，只需，即恒成立，①當時，因為恒成立，所以符合要求；②當時，因為，當時，，不符合題設要求．綜上，，所以選項D正確．故選：ACD.三、填空題12.若直線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線C的離心率的一個取值為__________．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】根據直線與雙曲線沒有公共點求出的范圍，進而求出離心率的范圍，在該范圍內取一個值即可.【詳解】的漸近線為，且焦點在軸上，由題知：，因，解得，所以離心率，故離心率的一個取值可以為3.故答案為：3(答案不唯一).13.“楊輝三角”是數學史上的一個偉大成就．在如圖所示的“楊輝三角”中，去掉所有的數字1，余下的數逐行從左到右排列，得到數列為2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據“楊輝三角”確定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，從而得到的最大值.【詳解】依據“楊輝三角”的分布規律及可知最后一個出現在第行的第個數，去掉所有之后是第行第個數，所以的最大值為，故答案為：.14.一個四面體有五條棱的棱長為，且外接球的表面積為，則不同于這五條棱的棱的棱長為________．【答案】【解析】【分析】設，取的中點，連接、，取（靠近點）的三等分點，過點作的垂線交于點，取的中點，連接交于點，連接，則為三棱錐的外接球半徑，求出的值，可求出的長，即可得出的長，即為所求.【詳解】設，則和都是正三角形．取的中點，連接、，取（靠近點）的三等分點，則點為的外心，過點作的垂線交于點，因為和都是正三角形，為的中點，則，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，，、平面，所以，平面，如圖，則，取的中點，連接交于點，連接，則，如圖，則點即為三棱錐外接球的圓心，是外接球的半徑．設外接球的半徑為，則，可得，所以，，，，所以，，故，又因為，所以，故，即不同于五條棱的棱的棱長為．故答案為：.【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.四、解答題15.的內角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為中點，，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用正弦定理將邊化角后，再利用兩角和的正弦公式及，得到，再得出的值；方法二：利用余弦定理將角化邊，得出，消去，得出結果.（2）方法一：利用已知條件和余弦定理，得出，題干已知條件有轉化成，利用余弦定理得出，解方程得出再計算得出周長；方法二：利用，得出，由，得出，解方程得出，再計算得出周長；方法三：在和分別利用余弦定理，得出，由，得出，解方程得出，再計算得出周長.【小問1詳解】方法一：因為，由正弦定理可得，則，所以，因為在中，，所以.方法二：因為，由余弦定理可得，所以，因此，因為，所以.【小問2詳解】方法一：由已知條件得.在利用余弦定理得.所以，由余弦定理得，所以，因此，所以的周長為.方法二：因為，所以，因此，所以，又由余弦定理得，所以，所以，又，所以，所以的周長為.方法三：在和分別利用余弦定理可得，所以，又由余弦定理得，所以，所以，又，所以，所以的周長為.16已知某校有甲，乙兩支志愿服務隊，甲隊由3名男生和3名女生組成，乙隊由4名男生和1名女生組成．（1）先從兩隊中選取一隊，選取甲隊的概率為，選取乙隊的概率為，再從該隊中隨機選取一名志愿者，求該志愿者是男生的概率；（2）在某次活動中，從甲隊中隨機選取2名志愿者支援乙隊，記為乙隊中男生與女生人數之差，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為3【解析】【分析】（1）根據全概率公式即可計算結果.（2）由題意可知的取值為1，3，5，然后求出對應的概率，即可得到分布列，從而求出期望．【小問1詳解】設事件A為“選甲隊”，事件B為“選乙隊”，事件C為“選中男生”則【小問2詳解】，從甲隊中隨機選取2名志愿者支援乙隊,X的可能取值為1、3、5，則,,故的分布列為：X135P數學期望為17.如圖，在三棱錐中，，，平面平面，．（1）證明：；（2）若為的垂心，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，連接，易得，再由線面垂直的判定和性質即可證明結論；（2）構建合適的空間直角坐標系，標注相關點的坐標，求出平面的法向量及，再應用向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】取中點，連接，由，所以，都在平面內，則平面，由平面，故；【小問2詳解】由（1），易知兩兩垂直，如下圖，構建空間直角坐標系，而，則，且，設平面的一個法向量為，取的中點，又，所以，為的垂心，則在上，設，則，故，而，所以，可得，故，所以與平面所成角的正弦值.18.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，為的導函數.（i）求實數的取值范圍；（ii）記較小的一個零點為，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數分和求解；（2）（i）由（1）知，且最小值為小于0即可得的取值范圍；（ii）結合（i）知，要證，即，分和進行證明.【小問1詳解】函數的定義域為，，①當時，，函數在單調遞減；②當時，令，解得，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.綜上所述，當時，函數在單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在單調遞增.【小問2詳解】（i）若，由（1）知，至多有一個零點；若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.因為當時，；當時，，所以函數有兩個零點當且僅當.設，函數在單調遞增.因為，的解集為.綜上所述，的取值范圍是.（ii）因為，由，結合（i）知，要證，即證，即，當時，因，，不等式恒成立；當時，由得.即證.即證.即證.設，，由，所以在單調遞增.所以，故原不等式成立.所以.19.如圖，在直角坐標系中，已知是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于，兩點，且滿足.（1）求的值；（2）已知點，直線，與拋物線的另一個交點分別為，，直線交軸于點，交直線于點.拋物線在，處的切線交于點，過點作平行于軸的直線，分別交直線KD，于點，.（i）求證：點為定點；（ii）記，的面積分別為，，求的最小值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）144【解析】【分析】（1）設，，，聯立方程組，由求解即可；（2）（i）由題知直線斜率必存在，設，，，直線斜率必存在，設，分別聯立方程組，由得解；（i