高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省贛州市2024-2025學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，又，則.故選：D.2.為深入學習宣傳黨的二十大精神，某校開展了“奮進新征程，強國伴我行”二十大主題知識競賽.其中高一年級選派了10名同學參賽，且該10名同學的成績依次是71，73，80，85，90，92，94，95，98，100，則分位數為（）A.92 B.93 C.94 D.【答案】B【解析】數據從小到大排序71，73，80，85，90，92，94，95，98，100，因為，故分位數為.故選：B.3.已知事件A，B相互獨立，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，則.故選：A.4.若函數為奇函數，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數定義域為R，由為奇函數，得，解得，函數，，是奇函數，所以.故選：A5.命題“”為真命題的充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】要求命題“”為真命題的充分不必要條件，只需要求是的非空真子集即可，由選項可知，只有B滿足題意.故選：B.6.某科研小組培育一種水稻新品種，由第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子，則第10代得到的種子數為（）參考數據：，A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，第10代得到的種子數為故第10代得到的種子數約為故選：C.7.函數，且，則和的不等關系正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，又，當時，，，則，即；當時，，，則，即；當時，，，則，即；綜上，.故選：C.8.給定函數，若實數使得，則稱為函數的不動點;若實數使得，則稱為函數的次不動點.若函數在區間上有且僅有一個不動點和一個次不動點，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于函數在區間上有且僅有一個不動點和一個次不動點，所以以及，都有且僅有1個零點，（1）由，即，即在有且僅有1個零點，函數是上的增函數，所以有，即，（2）由，即，即在有且僅有1個零點，函數在上單調遞增，則，即，綜合（1）、（2）可知，.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.命題“，都有”的否定為“，使得”B.函數單調遞增區間是C.“”是“函數在區間單調遞增”的充分不必要條件D.不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是【答案】AC【解析】對于A選項，命題“，都有”的否定為“，使得”，故A正確；對于B選項，函數是由函數和復合而成，由于函數單調遞增，解得，所以函數的單調遞增區間為，故函數單調遞增區間是，故B錯誤；對于C選項，因為，所以，函數的增區間為，若函數在區間單調遞增，則，可得，因為，所以“”是“函數在區間單調遞增”充分不必要條件，故C正確；對于D選項，不等式對任意恒成立，當時恒成立，合乎題意，當時，則有，解得，因此，不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是，故D錯誤.故選：AC.10.設函數，則下列結論正確的是（）A.為偶函數 B.C.在單調遞增 D.的值域為【答案】ABC【解析】對于A選項，對于函數，有，解得，所以，函數的定義域為，，故為偶函數，故A選項正確；對于B選項，當時，，故B選項正確；對于C選項，因為，設，因為在上單調遞減，內層函數在上為減函數，所以在單調遞增，故C選項正確；對于D選項，令，可得，解得或，函數的值域為，故D選項錯誤.故選：ABC.11.若、均為正實數，滿足，則以下結論中正確的有（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AD【解析】因為正實數、滿足，又因為，即，當且僅當時等號成立，，故的最大值為，故A正確；因為，當且僅當且，即時等號成立，故B錯誤；因為，所以，，當且僅當且，即，時，等號成立，又實數，，可知等號不成立，故C錯誤；因為，當，時，的最小值為，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數，則__________.【答案】【解析】因為，所以，則.13.若函數的定義域為，則函數的定義域為__________.【答案】【解析】函數的定義域為，，則，，函數定義域為.14.函數，若函數有四個不同的零點，，，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為，當時，可知其對稱軸為，令，解得或令，解得或當時，令，解得或，作出函數的圖象，如圖所示，若方程有四個不同的實根，，，，即與有四個不同的交點，交點橫坐標依次為，，，，則，對于，，則，可得，所以；對于，，則，，，可得所以，由對勾函數可知在上單調遞增，得，所以的取值范圍是四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設全集為，已知集合，（1）當時，求（2）若“”是“”的充分條件，求實數m的取值范圍.解：（1）當時，，或，又因為，則或（2）因為“”是“”成立的充分條件，則，集合，，當，即，即，符合題意；當時，，解得：綜上所述，實數m的取值范圍是16.已知函數為冪函數.（1）判斷函數的單調性，并加以證明；（2）若不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）函數為冪函數，則，即，因，所以，得，則函數在上單調遞增，下面證明：任取、且，則，因為，所以，而，得，即，故函數在上單調遞增.（2）由不等式得，，令，由，得，不等式變為：，得，當時，上式恒成立，當時，則，而，當且僅當時，即當時，等號成立，則，故實數的取值范圍為.17.近年來，中國新能源汽車持續領跑全球，引領著全球汽車產業的轉型發展浪潮，年中國新能源汽車產銷突破萬輛.現有某種型號的新能源汽車經多次實驗得到每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數據如下表所示.為了描述該汽車每小時耗電量與速度的關系，現有以下三種函數模型供選擇，，.（1）當時，選出你認為最符合表格所列數據實際的函數模型，請說明理由；并求出相應的函數解析式；（2）當時，該型號新能源汽車應以多少速度行駛時百公里耗電量（單位：）最小?并計算出該最小值.解：（1）對于，當時，它無意義，所以不符合題意；對于，它顯然是個減函數，所以不符合題意，故選．根據提供的數據，則有，解得，當時，．（2）設車速為，行駛時百公里所用時間為，所耗電量，要使耗電量達到最小，即．該電動汽車的電池所需的最小容量為.18.贛州市是我國當今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之譽，是客家先民中原南遷的第一站，世稱“客家搖籃”，被命名為“國家歷史文化名城”、“中國優秀旅游城市”.目前，贛州市形成了“紅色故都、客家搖籃、江南宋城、生態家園、世界橙鄉、堪輿圣地”六大旅游品牌年國慶假期，贛州旅游再次火爆“出圈”.據統計，10月1日至7日，全市共接待游客萬人次.為了解游客的旅游體驗滿意度，某研究性學習小組用問卷調查的方式隨機調查了100名游客，并將收集到的游客滿意度分值數據滿分100分分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計100名游客滿意度分值的中位數結果保留整數（2）用分層隨機抽樣的方法從中抽取5個人，再從這5個人中隨機抽兩人進行深入訪談，求2人滿意度分值在同一區間的概率;（3）已知滿意度分值在的平均數，方差，在的平均數為，方差，試求滿意度分值在的平均數和方差解：（1）由，解得滿意度分值在的頻率為，在的頻率為，所以中位數落在區間內，所以中位數為.（2）從中抽取2人，記為A，B，從中抽取3人，記為a，b，c，所以5個人中隨機抽取兩人，所以抽取的結果有：，共有10種情況，取到2人滿意度分值在同一區間有有4種情況，所以概率為，人滿意度分值在同一區間的概率為.（3）滿意度分值在的頻率為，人數為在的頻率為，人數為30，滿意度分值在的平均數，方差，在的平均數，方差，所以滿意度分值在的平均數，滿意度分值在的方差為s22-2]19.函數圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.可以將其推廣為：函數圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.已知函數（1）證明：函數的圖象關于點成中心對稱圖形;（2）判斷函數的單調性不需要證明，若，求實數x的取值范圍.（3）若函數在區間上的值域為，求實數的取值范圍.解：（1）由題意得：函數的定