高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省2025屆高三四月適應(yīng)性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∵，∴，∴.故選：A2.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，由可得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，故C正確；對(duì)于D，由可得相交或，故D錯(cuò)誤；故選：C3.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A.第673項(xiàng) B.第674項(xiàng)C.第675項(xiàng) D.第676項(xiàng)【答案】D【解析】由二項(xiàng)式的展開式為，令，解得，此時(shí)，所以二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng).故選：D.4.圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓的圓心，底面圓半徑為3，側(cè)面展開圖面積為，底面圓周上有兩動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值為（）A.4 B. C. D.6【答案】D【解析】令圓錐母線長(zhǎng)為，顯然圓錐側(cè)面展開圖扇形弧長(zhǎng)為，由側(cè)面展開圖面積為，得，解得，又圓錐軸截面等腰三角形底邊長(zhǎng)為6，底角滿足，即，因此圓錐軸截面等腰三角形頂角為，等腰的頂角，則面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為6.故選：D5.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)天的日平均溫度均不低于”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：)：①甲地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；②乙地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為；③丙地：個(gè)數(shù)據(jù)中有個(gè)數(shù)據(jù)是，總體均值為，總體方差為．其中肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③【答案】B【解析】甲地的個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22，則甲地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)中必有，，，其余2天的記錄數(shù)據(jù)大于24，且不相等，故甲地符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn)；乙地的個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為，當(dāng)個(gè)數(shù)據(jù)為，，，，時(shí)，其連續(xù)天的日平均溫度中有低于的，此時(shí)乙地不符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn)；丙地的個(gè)數(shù)據(jù)中有個(gè)數(shù)據(jù)是，總體均值為，設(shè)其余個(gè)數(shù)據(jù)分別為，，，，則總體方差，若，，，有小于的數(shù)據(jù)時(shí)，則，即，不滿足題意，所以，，，均大于或等于，故丙地符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn)．綜上所述，肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有①③．故選：B．6.已知拋物線的方程為，為其焦點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，且滿足，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，顯然，所以．又，即，即，，故，是方程的解，將代入方程，整理得，顯然，，，即．故選：B．7.已知且，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為.故選：A8.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，則，由，故，故，又，隨增大而增大，故在上單調(diào)遞減，又，故可轉(zhuǎn)化為，則有，即，即，故.故選：D.二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知某品牌汽車某年銷量記錄如下表所示：月份x123456銷量y（萬(wàn)輛）11.712.413.813.214.615.3針對(duì)上表數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的有（）A.銷量的極差為3.6B.銷量的60%分位數(shù)是13.2C.銷量的平均數(shù)與中位數(shù)相等D.若銷量關(guān)于月份的回歸方程為，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因銷量的最大值為15.3，最小值為11.7，故極差為，故A正確；對(duì)于B，將銷量按照從小到大排列為：，由，可知銷量的60%分位數(shù)是第四個(gè)數(shù)13.8，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，銷量的平均數(shù)為，而中位數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，因，，樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，故有，解得，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是奇函數(shù) B.在R上是單調(diào)函數(shù)C.的最小值為1 D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，，故在R上單調(diào)遞增，B正確；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，在R上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ABD11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則平面C.若，則平面D.若時(shí)，直線與平面所成的角為，則【答案】BC【解析】連接，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，則，即，A選項(xiàng)，若，則，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，由于，由于平面，所以平面，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則，,由于，所以平面，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若時(shí)，，，則，設(shè)，則，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，所以，，，所以，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與直線和直線都相切且圓心在第一象限，圓心到原點(diǎn)的距離為的圓的方程為_________．【答案】【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，由于所求圓與直線和直線都相切，故，化簡(jiǎn)為，而，則，又圓心到原點(diǎn)的距離為，即，解得，即圓心坐標(biāo)為，則半徑為，故圓的方程為，故答案為：13.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】由題設(shè)，定義域?yàn)椋礊榕己瘮?shù)，在上，令，且，則，由，故，即函數(shù)在上遞增，而在定義域上遞增，故在上遞增，所以，可得，故，可得.故答案為：14.清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁?查理?卡特蘭的名字命名）.有如下問題：在的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則共有多少種不同的走法？此問題的結(jié)果即卡特蘭數(shù).如圖，現(xiàn)有的格子，每一步只能往上或往右走一格，則從左下角走到右上角共有__________種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方，但可以到達(dá)直線，則有__________種不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】從左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需確定哪3步向上走即可，共有種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則由卡特蘭數(shù)可知共有種不同的走法，又到達(dá)右上角必須最后經(jīng)過，所以滿足題目條件的走法種數(shù)也是14.故答案為：35；14四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過程或演算步驟.）15.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題意知當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②聯(lián)立①②，解得，；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知，，所以，可得；設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，所以，即；又因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，所以，所以，化簡(jiǎn)得，即；又，所以與已知矛盾；所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)，，成等比數(shù)列．16.如圖，四邊形為圓臺(tái)的軸截面，，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為45°，母線長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)．（1）已知圓內(nèi)存在點(diǎn)，使得平面，作出點(diǎn)的軌跡（寫出解題過程）；（2）點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)（不同于，），，求平面與平面所成角的正弦值．解：（1）是的中點(diǎn)，．要滿足平面，需滿足，又平面，平面平面如圖，過作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)，過作的平行線，交圓于，，則線段即點(diǎn)的軌跡．（2）易知可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，母線長(zhǎng)為，母線與底面所成角為45°，，，，，取的位置如圖所示，連接，，，即，則，，，，，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，．設(shè)平面與平面所成的角為，則，．17.新高考數(shù)學(xué)多選題6分制的模式改變了傳統(tǒng)的多選題賦分模式，每題具有多個(gè)正確答案，答對(duì)所有正確選項(xiàng)得滿分，答對(duì)部分選項(xiàng)也可得分，強(qiáng)調(diào)了對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解和全面把握的要求．在某次數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)中，第11題（6分制多選題）得分的學(xué)生有100人，其中的學(xué)生得部分分，的學(xué)生得滿分，若給每位得部分分的學(xué)生贈(zèng)送1個(gè)書簽，得滿分的學(xué)生贈(zèng)送2個(gè)書簽．假設(shè)每個(gè)學(xué)生在第11題得分情況相互獨(dú)立．（1）從第11題得分的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記這4人得到書簽的總數(shù)為個(gè)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）從第11題得分的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取人，記這人得到書簽的總數(shù)為個(gè)的概率為，求的值；（3）已知王老師班有20名學(xué)生在第11題有得分，若以需要贈(zèng)送書簽總個(gè)數(shù)概率最大為依據(jù)，請(qǐng)問王老師應(yīng)該提前準(zhǔn)備多少個(gè)書簽比較合理？解：（1）由題意得書簽的總數(shù)的所有可能取值為4，5，6，7，8，其中，，，，，所以的分布列為45678.（2）因?yàn)檫@人得到書簽的總數(shù)為個(gè)（），所以其中只有1人得到2個(gè)書簽，所以，則所以兩式相減得，所以．（3）在這20名學(xué)生中，設(shè)得到1個(gè)書簽的人數(shù)為，則得到2個(gè)書簽的人數(shù)為，所以得到書簽的總個(gè)數(shù)，此時(shí)得到書簽的總個(gè)數(shù)為的概率為，所以，整理得，解得，而，，所以，所以，所以需要贈(zèng)送書簽總個(gè)數(shù)概率最大為依據(jù)，王老師應(yīng)該提前準(zhǔn)備25個(gè)書簽比較合理．18.已知?jiǎng)又本€與橢圓C:交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，且的面積=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明和均為定值;（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；（3）橢圓C上是否存在點(diǎn)D，E，G，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：（ⅰ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以∵在橢圓上∴

①又∵，∴

②由①②得，．此時(shí)；（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，是直線的方程為，將其代入得故即又，∴∵點(diǎn)到直線的距離為∴又整理得此時(shí)綜上所述結(jié)論成立．（2）解：（ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（1）知，因此．（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（1）知所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．綜合（1）（2）得的最大值為.（3）解：橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得

證明：假設(shè)存在，滿足由（1）得，，，，，解得：，.因此從集合中選取，從集合中選取；因此只能從點(diǎn)集這四個(gè)點(diǎn)選取三個(gè)不同的點(diǎn)，而這三個(gè)點(diǎn)的兩兩連線必然有一條經(jīng)過原點(diǎn)，這與矛盾.所以橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得

19.定義：如果函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)M和N關(guān)于x軸對(duì)稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系.（1）判斷函數(shù)和是否具有C關(guān)系；（2）若函數(shù)和不具有C關(guān)系，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)和在區(qū)間上具有C關(guān)系，求m的取值范圍.解：（1）與具有C關(guān)系，理由如下：根據(jù)定義，若與具有C關(guān)系，則在與的定義域的交集上存在x，使得，又，，，所以，即，即得，解得，所以與具有C關(guān)系.（2）因?yàn)椋睿驗(yàn)榕c不具有C關(guān)系，又在上的圖象連續(xù)不斷，所以在上的值恒為負(fù)或恒為正.若在上恒成立，則，即，又當(dāng)時(shí)，，令，所以，令，所以，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，與假設(shè)矛盾，所以不存在使得在上恒成立.若在上恒成立，即，令，所以，又在上單調(diào)遞減，