重慶市2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試高三第三次聯(lián)合診斷檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則的元素個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．3．已知直線，和平面，其中，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．過圓O：外的點(diǎn)作O的一條切線，切點(diǎn)為M，則（

）A．2 B． C． D．45．已知函數(shù)的一個極小值點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在上恰有2個零點(diǎn)，則的最小正周期的最小值為（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋堑膶?dǎo)函數(shù).若是奇函數(shù)，則的圖象（

）A．關(guān)于對稱 B．關(guān)于對稱C．關(guān)于對稱 D．關(guān)于對稱8．已知長方體中，，，E為的中點(diǎn).若長方體表面上的動點(diǎn)P滿足，則動點(diǎn)P的軌跡圍成面積為（

）A．24 B．18 C． D．12二、多選題9．我國1949年—2023年高中階段毛入學(xué)率和高等教育毛入學(xué)率變化如圖所示，可以判斷（

）A．2000年—2005年高中階段毛入學(xué)率增量高于1995年—2000年高中階段毛入學(xué)率增量B．2015年—2020年高等教育毛入學(xué)率增加了14.4%C．2015年—2020年高中階段入學(xué)人數(shù)低于2010年—2015年高中階段入學(xué)人數(shù)D．2023年高等教育入學(xué)人數(shù)是2015年高等教育入學(xué)人數(shù)的1.5倍10．已知，則（

）A．，使得是增函數(shù) B．，函數(shù)均存在極值點(diǎn)C．，函數(shù)只有一個零點(diǎn) D．，且，有11．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，P是C右支上的動點(diǎn)，P到直線，和的距離分別為，，，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．已知兩個非零向量，，若，，，則.13．某同學(xué)在無人防守時的三分球命中率為0.6，每次投籃是否投中相互獨(dú)立，若他在三分線外連續(xù)投籃10次，每投中一次得三分，記其最后得分為，則.14．設(shè)數(shù)列滿足.若存在常數(shù)，使得成立，則的最小值是.四、解答題15．隨機(jī)詢問80名不同職業(yè)的人在購買食品時是否看營養(yǎng)說明，得到如下調(diào)查結(jié)果：職業(yè)買食品時是否看營養(yǎng)說明合計(jì)不看營養(yǎng)說明看營養(yǎng)說明從事與醫(yī)療相關(guān)行業(yè)122840從事與醫(yī)療無關(guān)行業(yè)182240合計(jì)305080（1）從這80名受訪者中隨機(jī)抽出1人，已知此人在購買食品時要看營養(yǎng)說明，求這名受訪者從事與醫(yī)療無關(guān)行業(yè)的概率；（2）依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷兩個群體在購買食品時是否看營養(yǎng)說明存在差異？參考公式：獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用小概率值和相應(yīng)臨界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，.（1）求角；（2）若，的面積為，求.17．如圖，三棱臺中，，，，，，在底面內(nèi)的射影為中點(diǎn).（1）求三棱臺的體積；（2）求平面與平面夾角的正弦值.18．已知橢圓C：的離心率為，C與曲線經(jīng)過x軸上的同一點(diǎn).（1）求C的方程；（2）作曲線在處的切線l.（ⅰ）若，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，P是C上任意一點(diǎn)，求面積的最大值；（ⅱ）當(dāng)時，證明l與C有兩個公共點(diǎn).19．現(xiàn)定義：對于實(shí)數(shù)，若，則稱是和的加比中項(xiàng)；若、則稱是和的減比中項(xiàng)．已知數(shù)列滿足，，且存在正數(shù)，使是和的加比中項(xiàng)與減比中項(xiàng)．（1）若是與的等比中項(xiàng)，求；（2）數(shù)列滿足，，且滿足是和的減比中項(xiàng)．記數(shù)列的前項(xiàng)和為．（i）求證：是和的減比中項(xiàng)；（ii）當(dāng)時，求證：．

參考答案1．【答案】C【詳解】集合，則，所以集合C的元素個數(shù)為3個.故選C2．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?故選B.3．【答案】C【詳解】由，，則可能有，或者與相交，不能推出，若，，則有，所以“”是“”的必要不充分條件.故選C4．【答案】B【詳解】由題意有，即.故選B.5．【答案】A【詳解】已知，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.所以.對分段函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)時，，對其求導(dǎo)，可得；當(dāng)時，，對其求導(dǎo)可得.因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個極小值點(diǎn)，所以在左側(cè)附近，在右側(cè)附近.當(dāng)時，，令，即，解得；當(dāng)時，，令，即，解得.要使是極小值點(diǎn)，則需滿足，解這個不等式，得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選A.6．【答案】D【詳解】當(dāng)，則，有兩個零點(diǎn)，則，所以，由知，最小正周期的最小值為.故選D.7．【答案】B【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，對其求導(dǎo)，則有，所以關(guān)于直線對稱.故選B8．【答案】A【詳解】由知，點(diǎn)P的軌跡是平面ACE與長方體表面相交線圍成的圖形，取的中點(diǎn)F，連接EF，則有，又，所以EFCA為等腰梯形，，由此可算出其高，所以等腰梯形EFCA的面積.故選A.9．【答案】AB【詳解】2000年—2005年高中階段毛入學(xué)率增量為，1995年—2000年高中階段毛入學(xué)率增量為，故A正確；2015年—2020年高等教育毛入學(xué)率增加了，故B正確，由圖中只能知道入學(xué)率，沒有人數(shù)基數(shù)，故CD錯誤.故選.10．【答案】ACD【詳解】對于AB，，當(dāng)時，，所以為增函數(shù)，此時無極值，所以A正確，B錯誤；對于C，當(dāng)時，由，得或，由，得，所以在上遞增，上遞減，上遞增，又，當(dāng)時，，所以觀察圖象可知，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，所以C正確；對于D，當(dāng)時，由選項(xiàng)C可知在上遞增，上遞減，上遞增，所以的極大值為，極小值為，因?yàn)椋裕?dāng)時，由，得或，由，得，所以在上遞增，上遞減，上遞增，因?yàn)椋裕C上，所以D正確.故選ACD11．【答案】BCD【詳解】設(shè)點(diǎn)，則有，所以，，.對于A，由雙曲線的性質(zhì)有，所以，故A錯誤；對于B，，故B正確，對于C，，故C正確；對于D，，所以當(dāng)PF垂直于時，有最小值為，故D正確.故選BCD.12．【答案】2【詳解】對進(jìn)行平方，可得.已知，，，.將上述值代入可得：.即.已知，所以.又因?yàn)椋?可得.因?yàn)闉榉橇阆蛄浚裕傻?13．【答案】18【詳解】設(shè)投籃投中的次數(shù)為Y，，由題意，.14．【答案】/【詳解】由題意：即可，；若，則且，故，則必有；若，則，該數(shù)列為常數(shù)列，即，此時；若，則顯然有；綜上所述：的最小值為.15．【答案】（1）（2）無差異【詳解】（1）用A表示事件“受訪者在購買食品是要看營養(yǎng)說明”，B表示事件“受訪者從事醫(yī)療無關(guān)行業(yè)”，“已知此人在購買食品時要看營養(yǎng)說明，求這名受訪者從事與醫(yī)療無關(guān)行業(yè)”的概率就是在“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為，，，所以；（2）零假設(shè)為：職業(yè)與看營養(yǎng)說明相互獨(dú)立，即兩個群體在購買食品時是否看營養(yǎng)說明無差異，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，所以可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為兩個群體在購買食品時是否看營養(yǎng)說明無差異.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由，得，根據(jù)余弦定理，則有，所以，因?yàn)椋瑒t；（2）因?yàn)椋?所以，由正弦定理及，有，即有，解得.17．【答案】（1）168（2）【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連接，，由題意，為三棱臺的高，因?yàn)椋裕瑒t，又因?yàn)椋裕驗(yàn)椋遥裕缘拿娣e為，則的面積為，所以三棱臺的體積為；（2）以，分別為，軸，過點(diǎn)作軸平面，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又，，所以，，所以，，，設(shè)為平面的法向量，，取；設(shè)為平面的法向量，，取，設(shè)平面與平面夾角為，所以，則，所以平面與平面夾角的正弦值為.18．【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）由題意，C經(jīng)過點(diǎn)，則，又，，可得，，所以；（2）（ⅰ）由求導(dǎo)得，當(dāng)時，切線l：，聯(lián)立消去y，得，則有或，所以，設(shè)，則點(diǎn)P到l的距離，因?yàn)椋睿瑒t，從而，令，得，故，.所以面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取最大.（ⅱ）切線l：即，帶入中有，由題意只需證明，即，即證：，令，，，令，，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋援?dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，得證.19．【答案】（1）1（2）證明見解析.【詳解】