四川省綿陽市三臺中學2024?2025學年高三下學期5月月考數學試題一、單選題1．設集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復數，為z的共軛復數，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．4．隨著居民家庭收入的不斷提高，人們對居住條件的改善的需求也在逐漸升溫．某城市統計了最近5個月的房屋交易量，如下表所示：時間12345交易量（萬套）0.81.01.21.5若與滿足一元線性回歸模型，且經驗回歸方程為，則下列說法錯誤的是（

）A．根據表中數據可知，變量與正相關B．經驗回歸方程中C．可以預測時房屋交易量約為（萬套）D．時，殘差為5．已知等差數列的項數為，若該數列前3項的和為3，最后三項的和為63，所有項的和為110，則n的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．136．已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與的一條漸近線交于點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．7．在三棱錐中，已知，，，則該三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．8．已知函數的定義域為，對于，滿足，且當時，.若函數恰有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別用事件和表示從甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙罐中隨機取出一球，用事件B表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結論正確的是（

）A．B．C．事件B與事件相互獨立D．是兩兩互斥的事件10．設函數，已知在有且僅有3個零點，則（

）A．在有且僅有2個極大值點B．在有且僅有1個極小值點C．在單調遞增D．若在單調遞減，則的最小值為211．已知圓，點為直線與軸的交點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，直線與交于點，則（

）A．若直線與圓相切，則 B．時，四邊形的面積為C．的取值范圍為 D．已知點，則為定值三、填空題12．在菱形ABCD中，，，E，F分別為AD，CD的中點，則.13．若為一組從小到大排列的數，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位數，則的展開式中的系數為.14．公比為q的等比數列{}滿足：，記，則當q最小時，使成立的最小n值是四、解答題15．在中，角，，，所對邊分別為，，，已知，且（1）求（2）若為邊的中點，且，，求的面積.16．已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）若函數在區間上的最小值為，求實數的值.17．在三棱柱中，底面，，，到平面的距離為1.（1）證明：平面平面；（2）已知三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值.18．4月19日是中國傳統二十四節氣之一的“谷雨”，聯合國將這天定為“聯合國中文日”，以紀念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進聯合國六種官方語言平等使用．某大學面向在校留學生舉辦中文知識競賽，每位留學生隨機抽取問題并依次作答，其中每個問題的回答相互獨立．若答對一題記2分，答錯一題記1分，已知甲留學生答對每個問題的概率為，答錯的概率為．(1)甲留學生隨機抽取題，記總得分為，求的分布列與數學期望；(2)（ⅰ）若甲留學生隨機抽取道題，記總得分恰為分的概率為，求數列的前項和；（ⅱ）記甲留學生已答過的題累計得分恰為分的概率為，求數列的通項公式．19．已知在平面直角坐標系中，過點的直線與拋物線交于，兩點，當平行于軸時，.（1）求的值；（2）是否存在不同于點的定點，使得恒成立？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若過點的直線與交于異于，的，兩點，其中點在第四象限，直線，直線與軸的交點分別為（與不重合），設線段的中點為，求實數的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】由，得，解得，所以集合，又因為，所以.故選B.2．【答案】A【詳解】因為，則，所以的虛部為.故選A.3．【答案】D【詳解】解：對于、當時顯然錯誤；對于、當時顯然錯誤；對于、當時顯然錯誤；對于、由，得，，則，當且僅當時取等號，故正確.故選.4．【答案】D【詳解】對于B，依題意，，所以，解得，所以，故B正確；對于A，因為經驗回歸方程，，所以變量與正相關，故A正確；對于C，當時，，所以可以預測時房屋交易量約為（萬套），故C正確；對于D，當時，，所以時，殘差為，故D錯誤.故選D5．【答案】A【詳解】設這個數列有n項，則，，因此，即，則，解得故選A6．【答案】B【詳解】由雙曲線及圓的對稱性，不妨設點在第一象限，由題意知，所以，又，則，，所以，即，所以，所以.故選:B.7．【答案】A【詳解】由題意分析可得：三棱錐可放置在如圖所示的長方體中，設長方體的長寬高分別為，則，解得該長方體的長為，寬為1，高為2，則三棱錐的體積為故選A.8．【答案】D【詳解】當時，，，則，∵在上單調遞減，∴在上單調遞減，∵，滿足，∴在上單調遞增，∵，，，，，由得，，令，則，令則，圖象如圖所示，結合圖象得中需提供一個根，且該根位于之間，故，又∵，∴故選D.9．【答案】BD【分析】根據事件的條件概率公式、獨立性公式等逐一判斷可得結果.【詳解】依題意得，，，，，，選項A：，故A錯誤；選項B：因為，故B正確；選項C：因為，，故，所以事件B與事件不相互獨立，故C錯誤；選項D：根據互斥事件的定義可知，是兩兩互斥的事件，故D正確.故選BD.10．【答案】AC【詳解】已知在有且僅有3個零點，則在上有2個或3個極值點，即在上有且僅有2個極大值點，故A正確；當時，，在有且僅有3個零點，，，，當或時，函數取得極小值，故在有2個或1個極小值點，故B錯誤;當時，，，，故在單調遞增，故C正確;若在單調遞減，則，，，，，的最小值為，故D錯誤;故選AC.11．【答案】ACD【詳解】解：圓轉化為標準方程為，,在直角中，；對于A:若直線與圓相切，圓心到直線的距離，解得，所以A正確;對于B:當時，，，，四邊形的面積，所以B錯誤;對于C:，因為，所以，由對勾函數在上單調遞增，所以，所以C正確;對于D:方法一：當時，存在與軸的交點，，，所以四點共圓，且為此圓直徑，圓心為，半徑為，此圓方程為：，因為是此圓與圓的相交弦，故直線方程為兩圓方程作差，即，化簡得：，所以直線AB經過定點,因為，所以，因為在直線AB上，所以，即點在以為直徑的圓上，因為，，所以圓心恰為點，半徑為，因為點在該圓上，所以為定值，所以D正確.方法二：利用圓的極點極線性質，當時，存在與軸的交點，切點所在直線AB的方程為，化簡得，所以直線AB經過定點,因為，所以，因為在直線AB上，所以，即點在以為直徑的圓上，因為，，所以圓心恰為點，半徑為，因為點在該圓上，所以為定值，所以D正確.故選ACD.12．【答案】6【詳解】解：如圖：由題意，得,,.13．【答案】【詳解】由，得，于是展開式中含的項為，所以的展開式中的系數為.14．【答案】17【詳解】是等比數列，，又∵，，設函數，，當時，，時，，∴在x=1時，取極小值1，，，由題意即q=e，，，，，，∴n的最小值是17.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，則，所以，則所以，，或，，則，或，又因為，所以，所以，故.（2）在中由余弦定理得：，所以①，因為D為AB邊的中點，所以，所以，所以②，②-①得：，所以.16．【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，遞減區間為，遞增區間為；（2）.【詳解】（1）當時，函數，在上單調遞增，當時，，令，得，所以當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；（2）由（1）可知，當時，函數，不符合題意；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，①當，即時，最小值為，所以，得，符合題意，②當，即時，最小值為，由，得，不符合題意，綜上，.17．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）底面，底面，，又，，平面，平面平面，又底面，平面平面.（2）法一：由（1）可知，平面，平面，所以.，，，，在中作于，又平面平面，且平面平面平面，平面，則即為到平面的距離，即，所以為的中點，即，，過作交的延長線與，連接，平面，則為與平面所成角的角，又，，四邊形為平行四邊形，，，，，，.與平面所成角的正弦值為.法二：面且，、、兩兩相互垂直.以為坐標原點，以、、所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖：由法一可知，，所以，，，，，，，，，設面的法向量，，令，可得法向量.所以，與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)分布列見解析，；(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【詳解】（1）依題意可得的可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為所以.（2）（ⅰ）若甲留學生隨機抽取道題，總得分恰為分，即道題均答對了，所以，設數列的前項和為，則.（ⅱ）依題意可得，，，當時，所以，所以為常數數列，又因為，所以，則，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，經檢驗當，上式也成立，所以.19．【答案】（1）（2）存在，（3）【詳解】（1）設點在第四象限，點在第一象限，當平行于軸時，.在中，令，則，∴，∴