2014考研試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪個是基本初等函數（）A.$y=x+1$B.$y=\sinx$C.$y=2^x+3$D.$y=\ln(x+1)$2.函數$y=f(x)$在$x=x_0$處可導是連續的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在4.函數$y=x^3$的導數為（）A.$y'=3x^2$B.$y'=x^2$C.$y'=3x$D.$y'=3$5.不定積分$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^3+C$C.$x^3+C$D.$\frac{1}{3}x^2+C$6.設矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A$的行列式值為（）A.-2B.2C.10D.-107.向量組$\vec{\alpha}_1=(1,0,0),\vec{\alpha}_2=(0,1,0)$的秩為（）A.0B.1C.2D.38.已知事件$A$與$B$互斥，$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，則$P(A\cupB)$為（）A.0.12B.0.7C.0.5D.0.49.正態分布$N(\mu,\sigma^2)$的期望是（）A.$\mu$B.$\sigma^2$C.$\sigma$D.$\mu^2$10.設$f(x)$為奇函數，且在$(-\infty,+\infty)$上連續，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=$（）A.$2\int_{0}^{a}f(x)dx$B.0C.$2\int_{-a}^{0}f(x)dx$D.1多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于導數運算法則的有（）A.$(u+v)'=u'+v'$B.$(uv)'=u'v+uv'$C.$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}(v\neq0)$D.$(u^n)'=nu^{n-1}$2.下列函數中是偶函數的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x^2+1)$3.關于極限，下列說法正確的是（）A.$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則左右極限都存在且相等B.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，則$\lim_{x\tox_0}[f(x)\pmg(x)]=\lim_{x\tox_0}f(x)\pm\lim_{x\tox_0}g(x)$C.無窮小量與有界函數的乘積是無窮小量D.極限不存在的函數一定無界4.矩陣的初等行變換包括（）A.交換兩行B.以非零數$k$乘某一行的所有元素C.把某一行所有元素的$k$倍加到另一行對應的元素上去D.交換兩列5.下列向量組中線性相關的有（）A.$\vec{\alpha}_1=(1,1,1),\vec{\alpha}_2=(2,2,2)$B.$\vec{\alpha}_1=(1,0,0),\vec{\alpha}_2=(0,1,0),\vec{\alpha}_3=(0,0,1)$C.$\vec{\alpha}_1=(1,2,3),\vec{\alpha}_2=(2,4,6)$D.$\vec{\alpha}_1=(1,0,1),\vec{\alpha}_2=(0,1,0)$6.關于概率的性質，正確的是（）A.$0\leqP(A)\leq1$B.$P(\Omega)=1$，$P(\varnothing)=0$C.若$A\subseteqB$，則$P(A)\leqP(B)$D.$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$7.以下哪些是常見的概率分布（）A.均勻分布B.泊松分布C.指數分布D.二項分布8.設函數$y=f(x)$在區間$[a,b]$上連續，則（）A.$f(x)$在$[a,b]$上有最大值和最小值B.$f(x)$在$(a,b)$內一定可導C.$\int_{a}^{b}f(x)dx$存在D.存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)$9.下列積分計算正確的是（）A.$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$B.$\int_{-1}^{1}x^3dx=0$C.$\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0$D.$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1$10.關于線性方程組$Ax=b$，說法正確的是（）A.若$r(A)=r(A|b)$，則方程組有解B.若$r(A)\ltr(A|b)$，則方程組無解C.若$r(A)=n$（$n$為未知數個數），則方程組有唯一解D.若$r(A)\ltn$，則方程組有無窮多解判斷題（每題2分，共10題）1.函數$y=\frac{1}{x}$在定義域內是單調遞減函數。（）2.若函數$y=f(x)$在$x=x_0$處的導數為0，則$x=x_0$是函數的極值點。（）3.行列式的值與它的轉置行列式的值相等。（）4.若向量組$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s$中含有零向量，則該向量組線性相關。（）5.事件$A$與$B$相互獨立，則$P(A\capB)=P(A)P(B)$。（）6.連續型隨機變量的概率密度函數$f(x)$滿足$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$。（）7.函數$y=\sinx$的原函數只有$-\cosx$。（）8.矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。（）9.若$A$為$n$階方陣，且$|A|\neq0$，則$A$可逆。（）10.二維隨機變量$(X,Y)$的聯合分布函數$F(x,y)$滿足$F(+\infty,+\infty)=1$。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述導數的幾何意義。答案：函數$y=f(x)$在點$x_0$處的導數$f'(x_0)$表示曲線$y=f(x)$在點$(x_0,f(x_0))$處的切線斜率，切線方程為$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。2.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：$n$階方陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$，此時$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^$，其中$A^$為$A$的伴隨矩陣。3.簡述概率的公理化定義。答案：設$\Omega$是樣本空間，$F$是$\Omega$上的事件域，$P$是定義在$F$上的實值集函數，滿足非負性$P(A)\geq0$，規范性$P(\Omega)=1$，可列可加性，則稱$P$為概率。4.簡述不定積分與定積分的聯系。答案：若$F(x)$是$f(x)$的一個原函數，則$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，不定積分是求原函數的全體，定積分是原函數在區間端點值的差。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數$y=x^3-3x$的單調性與極值。答案：對函數求導得$y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$y'\gt0$，得$x\lt-1$或$x\gt1$，函數在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$單調遞增；令$y'\lt0$，得$-1\ltx\lt1$，函數在$(-1,1)$單調遞減。$x=-1$是極大值點，極大值為$2$；$x=1$是極小值點，極小值為$-2$。2.討論線性方程組解的結構。答案：對于非齊次線性方程組$Ax=b$，若有解，其通解由對應的齊次線性方程組$Ax=0$的通解加上非齊次的一個特解構成。齊次方程組通解是基礎解系的線性組合，基礎解系所含向量個數為$n-r(A)$，$n$為未知數個數，$r(A)$為系數矩陣的秩。3.討論隨機變量的數字特征及其意義。答案：隨機變量數字特征有期望、方差等。期望反映隨機變量取值的平均水平；方差衡量隨機變量取值相對于期望的離散程度。例如，在實際中期望可用于估計平均收益等，方差可判斷數據穩定性。4.討論定積分在幾何與物理中的應用。答案：幾何上，定積分可求平面圖形面積、旋轉體體積等。如由曲線$y=f(x)$等圍成圖形面積$S=\int_{a}^{b}|f(x)|dx$。物理中，可求變力做功，若力$F(x)$與位移方向一致，在區間$[a,b]$上做功$W=\int_{a}^{b}F(x)dx$。答案