PAGEPAGE111空間向量在立體幾何中的應用1.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CD,BB1的中點,則異面直線A1M與AN所成角的大小為.

解析?以D點為坐標原點,DA、DC、DD1的方向分別為x、y、z軸的正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示,設正方體的棱長為1,則A(1,0,0),M0,12,0,N1,1,12,A1(1,0,1),所以AN=0,1,12,答案?90°2.已知空間四邊形OABC,M,N分別為OA,BC的中點,點G在線段MN上,OG=16OA+13OB+13OC,則G點為線段解析?∵OG=16OA+13OB+13OC,∴OG=16OA+23ON,∴OG=13OM+23ON=23(ON-OM)+OM答案?33.三棱錐S-ABC如圖所示,SA⊥AB,SA⊥AC,∠BAC=90°,AB=AC=12AS=2,D點在棱SB上且SD=12DB,P點在棱SA上,則PD·PC的最小值為解析?以A點為坐標原點,AB、AC、AS的方向分別為x、y、z軸的正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示,則A(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,b)(其中0≤b≤4),D23,0,83,PD=23,0,83-b,PC=(0,2,-b),PD·PC=b2答案?-164.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是BD1的中點,M是側面ADD1A1上一點,若OM⊥AA1且OM⊥BD1,則點M的坐標為.

解析?以D點為坐標原點,DA、DC、DD1的方向分別為x、y、z軸的正方向,建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),M(a,0,b),B(1,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),O12,12,b-12,BD1=(因為OM⊥AA1且OM⊥BD1,所以BD1·OM=0,AA1·答案?1實力1?利用空間向量法求空間角【例1】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,AC=2,BD=23,且AC與BD交于點O,E是PB上隨意一點.(1)求證:AC⊥DE.(2)已知二面角A-PB-D的余弦值為155,若E為PB的中點,求EC與平面PAB所成角的正弦值解析?(1)∵PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴PD⊥AC.又∵四邊形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD.∵DE?平面PBD,∴AC⊥DE.(2)當E為PB的中點時,連接OE,可得OE∥PD且OE=12PD.又因為PD⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD.分別以OA,OB,OE的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示,設PD=t(t>0),則A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),E0,0,t2,P(0,-3,t),AB=(-1,3,0),AP=(-1,易知平面PBD的一個法向量為n1=(1,0,0),設平面PAB的法向量為n2=(x,y,z),則n2·AB=0,n2·AP=0,即-x+3∵二面角A-PB-D的余弦值為155∴|cos<n1,n2>|=155即34+12t2=155∴P(0,-3,23).設EC與平面PAB所成的角為θ,∵EC=(-1,0,-3),n2=(3,1,1),∴sinθ=|cos<EC,n2>|=232×5利用“向量法”求解空間角時,要留意基向量的選擇或坐標系的正確建立等.求線面角時,先求出平面的法向量,再求出直線的方向向量與平面的法向量的夾角,最終得出線面角.求二面角時,先求出二面角中兩個平面的法向量,再求出法向量的夾角,最終求出二面角.如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,點D是BC的中點.(1)求證:A1B∥平面ADC1.(2)求直線B1C1與平面ADC1所成角的余弦值.解析?(1)如圖,以AB,AC,AA1為正交基底建立空間直角坐標系則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),B1(2,0,4),C1(0,2,4),∴A1B=(2,0,-4),AD=(1,1,0),AC設平面ADC1的法向量為m=(x,y,z),則AD·m取z=1,得y=-2,x=2,∴平面ADC1的一個法向量為m=(2,-2,1).由此可得,A1B·m=2×2+0×(-2)+(-4)×1=又∵A1B?平面ADC1,∴A1B∥平面ADC1.(2)B1C1=(-2,2,0),設直線B1C1與平面ADC1所成角為θ,則sinθ=|cos<B1C1又∵θ為銳角,∴直線B1C1與平面ADC1所成角的余弦值為13實力2?利用空間向量法解決翻折問題【例2】已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2,D,E分別為AC,AB的中點,沿DE將△ADE折起,得到如圖所示的四棱錐A1-BCDE.(1)求證:平面A1DC⊥平面A1BC.(2)當三棱錐C-A1BE的體積取最大值時,求平面A1CD與平面A1BE所成銳二面角的余弦值.解析?(1)∵在等腰三角形ABC中,D,E分別為AC,AB的中點,∴DE∥BC,又∵∠ACB=90°,∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D,DE⊥CD.∵A1D?平面A1DC,CD?平面A1DC,A1D∩CD=D,∴DE⊥平面A1DC,∴BC⊥平面A1DC,又BC?平面A1BC,∴平面A1DC⊥平面A1BC.(2)由等體積法知VC-A在平面A1CD內作A1H⊥CD于點H,因為ED⊥平面A1CD,所以ED⊥A1H,則A1H⊥底面BCDE,即A1H就是四棱錐A1-BCDE的高.由A1H≤A1D知,當點H和點D重合時,三棱錐C-A1BE的體積取到最大值.以D點為坐標原點,DC、DE、DA1的方向分別為x、y、z軸的正方向,建立空間直角坐標系如圖所示,所以A1(0,0,1),B(1,2,0),E(0,1,0),A1B=(1,2,-1),A設平面A1BE的法向量為n=(x,y,z),則n·A可取n=(-1,1,1),易知平面A1CD的一個法向量為m=(0,1,0).則cos<n,m>=33故平面A1CD與平面A1BE所成銳二面角的余弦值為33利用向量求解翻折問題中的最值問題時,可以引進參數進行求解.求解探究性問題時,可用待定系數法求解.如圖1,在邊長為4的正方形ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點,沿EF將矩形ADFE折起使得二面角A-EF-C的大小為90°(如圖2),點G是CD的中點.(1)若M為棱AD上一點,且AD=4MD,求證:DE⊥平面MFC.(2)求二面角E-FG-B的余弦值.解析?(1)若M為棱AD上一點,且AD=4MD,則AD=4DM=4,即DM=1,∵二面角A-EF-C的大小為90°,∴建立以F為坐標原點,FD,FC,FE所在的直線分別為x,y,z軸的空間直角坐標系,如圖,∵AD=4,AE=BE=2,DM=1,∴D(2,0,0),F(0,0,0),M(2,0,1),C(0,2,0),A(2,0,4),E(0,0,4),B(0,2,4),則DE=(-2,0,4),FM=(2,0,1),FC=(0,2,0),故DE·FM=(-2)×2+4×1=-4+4=0,DE·FC=0,則DE⊥FM,DE⊥FC,即DE⊥FM,DE⊥FC,∵FM∩FC=F,∴DE⊥平面MFC.(2)∵點G是CD的中點,∴G(1,1,0),且CD⊥FG,則CD⊥平面EFG,則CD=(2,-2,0)是平面EFG的一個法向量,設平面BFG的法向量為n=(x,y,z),則FB=(0,2,4),FG=(1,1,0),∴n·FB令z=1,則y=-2,x=2,即n=(2,-2,1),則cos<CD,n>=n·CD|n||即二面角E-FG-B的余弦值是22實力3?利用空間向量法解決探究性問題【例3】如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD為正方形,平面AED⊥平面ABCD,AB=2EA=2ED,EF∥BD.(1)證明:AE⊥CD.(2)在棱ED上是否存在點M,使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為63?若存在,確定點M的位置;若不存在,請說明理由解析?(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴CD⊥AD.又∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD,∴CD⊥平面AED.∵AE?平面AED,∴AE⊥CD.(2)取AD的中點O,過點O作ON∥AB交BC于點N,連接EO.∵EA=ED,∴OE⊥AD.又∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,OE?平面AED,∴OE⊥平面ABCD.以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.設正方形ABCD的邊長為2,EMED=λ(0≤λ則A(1,0,0),B(1,2,0),D(-1,0,0),E(0,0,1),M(-λ,0,1-λ),∴AM=(-λ-1,0,1-λ),DE=(1,0,1),DB=(2,2,0).設平面EFBD的法向量為n=(x,y,z),則n·DB令x=1,得n=(1,-1,-1).∴cos<AM,n>=AM·n|由題意得|-23·2λ∴當點M與點E重合時,直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為63求解此類問題的難點在于涉及的點具有運動性和不確定性,可用空間向量通過待定系數法求解存在性問題和探究性問題.這樣思路簡潔,解法固定,操作便利.如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側棱長是3,D是線段AC上一點,二面角A1-BD-A的大小為π3,則在線段AA1上是否存在一點E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD?若存在,求出AE的長;若不存在,說明理由解析?作CO垂直AB于點O,所以CO⊥平面ABB1A,所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.因為AB=2,AA1=3,所以B(-1,0,0),A(1,0,0),C(0,0,3),A1(1,3,0),AA1=(0,3,0),BA1=(2,3,0),AC=(-設D(a,0,b),則BD=(a+1,0,b),AD=(a-1,0,b).設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則n·B令y=23,得x=-3,z=3(所以n=-3由題意知AA1=(0,3,0)是平面ABD的一個法向量,故cosπ3因為AD∥AC,設AD=λAC,所以-λ由①②得a=12,b=3則D12,0,32,n=(-設E(1,t,0)(0≤t≤3),又C1(0,3,3),B1(-1,3,0),則EC1=(-1,3-t,3),C1B1=(-設平面B1C1E的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n即-當t=3時,平面B1C1E的一個法向量為n1=(0,1,0),此時n1·n≠0.當t≠3時,令z1=-3,得n1=3,63-t,-3,由n故在線段AA1上存在一點E,當AE=33時,平面B1C1E⊥平面A1一、選擇題1.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a,b夾角的余弦值為89,則λ=()A.2 B.-2C.-2或255 D.2或-解析?由已知有cos<a,b>=a·b|a||解得λ=-2或λ=255故選C.答案?C2.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M和N分別為A1B1和BB1的中點,則異面直線AM與CN所成角的余弦值是().A.25 B.C.1010 D.-解析?如圖,建立空間直角坐標系D-xyz,由題意知A(1,0,0),M1,12,1,則AM=0,12,1設直線AM與CN所成的角為θ,則cosθ=|cos<AM,CN>|=25故選A.答案?A3.在正四棱錐S-ABCD中,O為頂點在底面上的射影,P為側棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成角的大小是().A.π2 B.π3 C.π6解析?如圖所示,以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz.設OD=SO=OA=OB=OC=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-a2,a2,CA=(2a,0,0),AP=-a,-a設平面PAC的法向量為n=(x,y,z),則n·CA令z=1,則n=(0,1,1),cos<BC,n>=-12設直線BC與平面PAC所成的角為θ,則sinθ=|cos<BC,n>|=12∴直線BC與平面PAC所成角的大小為π6故選C.答案?C4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2AA1,P、Q分別是棱CD、CC1上的動點,當BQ+QD1的長度取得最小值時,二面角B1-PQ-D1的余弦值的取值范圍為().A.0,1C.15,解析?分別以D1A1,D1C1,D1設A1A=1,Q(0,2,z),將面BB1C1C綻開到后側面,連接BD1,可得當Q為C1C的中點時,BQ+QD1的長度最小,故Q0,設P(0,y,1)(0≤y≤2),當y=2時,可得二面角B1-PQ-D1的大小為90°,此時余弦值為0.當0<y<2時,可分別求出平面B1PQ和平面PQD1的一個法向量為n1=2,-2y-所以cos<n1,n2>=218+可得0<cos<n1,n2>=218+4(綜上所述,二面角B1-PQ-D1的余弦值的取值范圍是0,故選B.答案?B5.已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點A1到截面AB1D1的距離是().A.83 B.38 C.43解析?以D點為坐標原點,DA,DC,DD1的方向為x軸,y軸,則AB1=(0,2,4),AD1=(-2,0,4),設截面AB1D1的法向量為n=(x,y,z),由n·AB1=0,n·AD故點A1到截面AB1D1的距離d=AA1·故選C.答案?C6.已知在正四棱錐P-ABCD中,PA=AB=2,E,F分別是PB,PC的中點,則異面直線AE與BF所成角的余弦值為().A.33 B.C.16 D.解析?設點P在底面ABCD的射影為點O,由題意可得PO=2,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,-1,0),B(1,1,0),E12,12,22,F-12設所成的角為θ,則cosθ=FB·AE|故選C.答案?C二、填空題7.如圖,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,E為BB'的中點,則異面直線CE與AC'所成角的余弦值為.

解析?如圖,建立空間直角坐標系.設AC=1,則C(0,0,0),E0,1,12,A(1,0,0),C'(0,0,1),CE=0,∴cos<CE,AC'>=10即異面直線CE與AC'所成角的余弦值為1010答案?108.如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,AB=5,AC=6,點E,F分別在AD,CD上,EF∥AC,EF交BD于點H,OH=1,將△DEF沿EF折到△D'EF的位置,D'H⊥平面ABCD.則二面角B-D'A-C的正弦值為.

解析?以H為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,∵AB=5,AC=6,∴BO=4,∴B(5,0,0),C(1,3,0),D'(0,0,3),A(1,-3,0),AB=(4,3,0),AD'=(-1,3,3),AC=(0,6,0)設平面ABD'的法向量為n1=(x,y,z),由n得4x+3y=0,-x∴n1=(3,-4,5).同理可求得平面AD'C的一個法向量為n2=(3,0,1),設二面角B-D'A-C的平面角為θ,則cosθ=n1·n2|∴二面角B-D'A-C的正弦值為sinθ=295答案?29.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,則二面角A-PB-C的余弦值為.

解析?∵AB∥CD,AB=CD,∴四邊形ABCD為平行四邊形,易得AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,則四邊形ABCD為矩形.在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD為等腰直角三角形,設PA=AB=2a,則AD=22a.取AD的中點O,BC的中點E,連接PO,OE,以O為坐標原點,分別以OA、OE、OP的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系,則D(-2a,0,0),B(2a,2a,0),P(0,0,2a),C(-2a,2a,0),PD=(-2a,0,-2a),PB=(2a,2a,-2a),BC=(-22a,0,0).設平面PBC的法向量為n=(x,y,z),由n·PB=0,n·BC=0,得∵AB⊥平面PAD,PD?平面PAD,∴AB⊥PD.又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,∴PD為平面PAB的一個法向量.∴cos<PD,n>=PD·n|PD||由圖可知,二面角A-PB-C為鈍角,∴二面角A-PB-C的余弦值為-33答案?-3三、解答題10.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ.(2)求二面角Q-BP-C的正弦值.解析?(1)由題意可得QA⊥平面ABCD,∴QA⊥CD.由四邊形ABCD為正方形,知CD⊥AD.又∵QA、AD為平面PDAQ內兩條相交直線,∴CD⊥平面PDAQ,∴CD⊥PQ.在直角梯形PDAQ中,可得DQ=PQ=22PD∴PQ2+DQ2=PD2,∴PQ⊥QD.又∵CD、QD為平面DCQ內兩條相交直線,∴PQ⊥平面DCQ.又∵PQ?平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.(2)以D為坐標原點,線段DA的長為單位長度,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz,如圖.則Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1).設n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,則n·CB可取n=(0,-1,-2).同理求得平面PBQ的一個法向量m=(1,1,1).∴cos<m,n>=m·n|m|·|∴sin<m,n>=105即二面角Q-BP-C的正弦值為10511.如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面相互垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=