PAGE1-課時31幾類不同增長的函數模型(1)對應學生用書P73學問點一一次函數、二次函數模型1.某商品降價20%，由于原材料上漲，欲復原原價，則需提價()A．10%B．15%C．20%D．25%答案D解析設該商品原價為a，需提價x，依題意得a(1－0.2)(1＋x)＝a，∴eq\f(4,5)＋eq\f(4,5)x＝1，得x＝eq\f(1,4)＝25%，故選D.2．李老師騎自行車上班，最初以某一速度勻速行進，中途由于自行車發生故障，停下修車耽擱了幾分鐘，為了按時到校，李老師加快了速度，仍保持勻速行進，結果準時到校，在課堂上，李老師請學生畫出自行車行進路程s(km)與行進時間t(h)的函數圖象的示意圖，同學們畫出如下的示意圖，你認為正確的是()答案C解析李老師最初以某一速度勻速行進，則s＝vt；中途停下，則s＝s0(定值)，因此解除A；修好后，仍保持勻速行進，s增大，解除B；修好車后，李老師加快了速度，因此s＝s0＋v′t，但v′>v，即這時直線的斜率變大了，因此解除D.學問點二指數函數、對數函數模型3.某種動物繁殖數量y(只)與時間x(年)的關系為y＝mlog2(x＋1)，設這種動物第一年有200只，到第7年它們發展到()A．300只B．400只C．500只D．600只答案D解析由已知第一年有200只，得m＝200.將m＝200，x＝7代入y＝mlog2(x＋1)，得y＝600.4．下列函數關系中，可以看作是指數型函數y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的模型的是()A．豎直向上放射的信號彈，從放射起先到信號彈到達最高點，信號彈的高度與時間的關系(不計空氣阻力)B．我國人口年自然增長率為1%時，我國人口總數與年份的關系C．假如某人ts內騎車行進了1km，那么此人騎車的平均速度v與時間t的函數關系D．信件的郵資與其重量間的函數關系答案B解析A中的函數模型是二次函數；B中的函數模型是指數型函數；C中的函數模型是反比例函數；D中的函數模型是一次函數．故選B.5．某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業額相等，甲食堂的營業額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知該年9月份兩食堂的營業額又相等，則該年5月份()A．甲食堂的營業額較高B．乙食堂的營業額較高C．甲、乙兩食堂的營業額相等D．不能確定甲、乙哪個食堂的營業額較高答案A解析設甲、乙兩食堂1月份的營業額均為m，甲食堂的營業額每月增加a(a＞0)，乙食堂的營業額每月增加的百分率為x.由題意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，則5月份甲食堂的營業額y1＝m＋4a，乙食堂的營業額y2＝m(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a)，因為yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故該年5月份甲食堂的營業額較高.易錯點圖形信息的求解誤區6.如圖，下面的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對應的圖象顯示該容器中水面的高度h和時間t之間的關系，其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案C正解圖1不對．因為正方體的底面積是定值，故水面高度的增加是勻稱的，即圖象是直線型的．圖2正確．因幾何體下面窄上面寬，且相同的時間內注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面增加得慢，即圖象應越來越緩．圖3正確．球是對稱的幾何體，下半球因下面窄上面寬，所以水的高度增加得越來越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越來越快，即圖象先平緩再變陡．圖4正確．圖中幾何體兩頭寬，中間窄，所以水的高度增加，下半體先慢后快，上半體先快后慢，即圖象先平緩再變陡再變平緩．對應學生用書P73一、選擇題1．某廠日產手套的總成本y(元)與手套日產量x(副)的關系為y＝5x＋4000，而手套出廠價格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產手套至少為()A．200副B．400副C．600副D．800副答案D解析5x＋4000≤10x，∴x≥800.選D.2．某種商品零售價2024年比2024年上漲25%，欲限制2024年比2024年上漲10%，則2024年比2024年應降價()A．15%B．12%C．10%D．50%答案B解析設2024年比2024年降價x，依題意(1＋25%)·(1－x)＝1＋10%，即eq\f(5,4)(1－x)＝eq\f(110,100)，∴x＝0.12.選B.3．某公司生產一批產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每臺產品的售價為25萬元，則利潤取最大值時，產量x為()A．55臺B．120臺C．150臺D．180臺答案D解析設利潤為z萬元，則z＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)＝－0.1x2＋36x－3000＝－0.1·(x－180)2＋240.當x＝180時，利潤z取最大值，選D.4．有一組試驗數據如下表：t23456v1.54.047.51218.01現打算用下列函數中的一個近似地表示這些數據所滿意的規律，其中最接近的是()A．v＝log2tB．v＝logeq\f(1,2)tC．v＝eq\f(t2－1,2)D．v＝2t－2答案C解析當t分別取2,3,4,5,6時，C選項中得到的函數值最接近試驗數據，故選C.5．甲、乙兩人在一次賽跑中，路程s與時間t的函數關系如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲比乙先動身B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙兩人速度相同D．甲先到達終點答案D解析當t＝0時，s＝0，∴甲、乙同時動身；甲跑完全程所用時間少于乙所用時間，故甲先到達終點．二、填空題6．小明去年用7200元買一臺筆記本．電子技術的飛速發展，筆記本成本不斷降低，每過一年筆記本的價格降低三分之一．三年后小明這臺筆記本還值_______元．答案eq\f(6400,3)解析三年后價格為7200×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(6400,3).7．已知某工廠生產某種產品的月產量y與月份x滿意關系y＝a·(0.5)x＋b，現已知該廠今年1月、2月生產該產品分別為1萬件、1.5萬件．則此廠3月份該產品的產量為________萬件．答案1.75解析∵y＝a·(0.5)x＋b，且當x＝1時，y＝1，當x＝2時，y＝1.5，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2.))∴y＝－2×(0.5)x＋2.當x＝3時，y＝－2×0.125＋2＝1.75(萬件)．8．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間t(h)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a(a為常數)其圖象如圖．依據圖中供應的信息，則從藥物釋放起先，每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間t(h)之間的解析式為________．答案y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1))解析由題意和圖示知，當0≤t≤0.1時，可設y＝kt(k為待定系數)，由于點(0.1,1)在直線y＝kt上，所以k＝10；同理，點(0.1,1)在函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a的圖象上，可得1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))0.1－a?0.1－a＝0?a＝0.1，故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1.))三、解答題9．小張到小王家的途中有一游樂場，小張到游樂場的距離與小王到游樂場的距離都是2千米，小張8點動身前往小王家，下圖中所示的是小張從家動身到小王家為止所經過路程y(千米)與時間x(分)的關系，那么小張在游樂場休息的時間是10分鐘，求y＝f(x)的函數關系式．解當0≤x<30時，設y＝kx，把(30,2)代入，得k＝eq\f(1,15)，所以y＝eq\f(1,15)x；當30≤x≤40時，y＝2；當40<x≤60時，設y＝kx＋b，把(40,2)及(60,4)代入，得2＝40k＋b,4＝60k＋b，解得k＝eq\f(1,10)，b＝－2，所以y＝eq\f(x,10)－2.綜上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)x，0≤x<30，,2，30≤x≤40，,\f(1,10)x－2，40<x≤60.))10．如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b＜a)，在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF，使其都等于x，則當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積．解設四邊形EFGH的面積為S，則S△AEH＝S△CFG＝eq\f(1,2)x2，S△BEF＝S△DGH＝eq\f(1,2)(a－x)(b－x)，∴S＝ab－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)a－xb－x))，即S＝－2x2＋(a＋b)x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4)))2＋eq\f(a＋b2,8)，由圖形知此函數的定義域為{x|0＜x≤b}．∵0＜b＜a，∴0＜b＜eq\f(a＋b,2).若