2025年初升高暑期數(shù)學(xué)講義專題02因式分解分層訓(xùn)練（含答案）專題02因式分解A組基礎(chǔ)鞏固1．（2022·福建省福州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下列各式的因式分解正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·福建漳州·八年級(jí)期中）已知能運(yùn)用完全平方公式因式分解，則的值為（

）A．12 B． C．24 D．3．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）模擬預(yù)測(cè)）因式分解：（

）A． B． C． D．4．（2022·廣西柳州·三模）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（

）A． B．C． D．5．（2022·浙江杭州·九年級(jí)期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．6．（2022·浙江·杭州市杭州中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，有一張邊長(zhǎng)為b的正方形紙板，在它的四角各剪去邊長(zhǎng)為a的正方形．然后將四周突出的部分折起，制成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒．用M表示其底面積與側(cè)面積的差，則M可因式分解為（

）A． B． C． D．7．（2022·江蘇徐州·七年級(jí)期中）下列各式因式分解正確的是（

）A． B．C． D．8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級(jí)期中）已知正整數(shù)a，b，c，d滿足，且，關(guān)于這個(gè)四元方程下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①，，，是該四元方程的一組解；②連續(xù)的四個(gè)正整數(shù)一定是該四元方程的解；③若，則該四元方程有21組解；④若，則該四元方程有504組解．A．1 B．2 C．3 D．49．（2022·山東臨沂·二模）下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（2022·廣東東莞·八年級(jí)階段練習(xí)）若，，則的值為（

）A．12 B．4 C．2022 D．811．（2022·山東·日照港中學(xué)二模）下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（

）①；②分解因式：；③的算術(shù)平方根是3；④如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)；⑤在一次數(shù)學(xué)答題比賽中，五位同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)分別為7，5，3，5，10，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（2022·河北保定·一模）下列變形中，屬于因式分解且正確的是（

）A． B．C． D．13．（2022·貴州銅仁·一模）下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．14．（2022·重慶巴蜀中學(xué)一模）對(duì)于二次三項(xiàng)式（m為常數(shù)），下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）①當(dāng)時(shí)，若，則②無論x取任何實(shí)數(shù)，等式都恒成立，則③若，，則④滿足的整數(shù)解共有8個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)15．（2022·四川省渠縣中學(xué)一模）下列因式分解正確的是（

）A．x2－y2＝（x－y）2 B．x2＋4x＋9＝（x＋9）2 C．x2－6x＋9＝（x－3）2 D．a(chǎn)3＋4a2＋a＝a2（a－4）16．（2022年遼寧省朝陽市初中升學(xué)模擬考試（三）數(shù)學(xué)試題）分解因式：___________．17．（2022·浙江·寧波市第十五中學(xué)三模）因式分解：______．18．（2022·天津南開·二模）將多項(xiàng)式分解因式，其結(jié)果是___．19．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形，已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5.，且．（1）若a，b是整數(shù)，則的長(zhǎng)是___________；（2）若代數(shù)式的值為零，則的值是___________．20．（2022·浙江溫州·八年級(jí)期中）已知，，則代數(shù)式______．21．（2022·浙江杭州·九年級(jí)期末）分解因式____________．22．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）下列四個(gè)代數(shù)式①，②，③，④，若，則代數(shù)式的值最大的是______．（填序號(hào)）．23．（2022·山西晉中·二模）計(jì)算：______．24．（2022·安徽合肥·二模）因式分解：______．25．（2022·廣西柳州·二模）添項(xiàng)、拆項(xiàng)是因式分解中常用的方法，比如分解多項(xiàng)式可以用如下方法分解因式：①；又比如多項(xiàng)式可以這樣分解：②；仿照以上方法，分解多項(xiàng)式的結(jié)果是______．26．（2022·四川眉山·八年級(jí)期末）已知：，，，則的值_______．

B組能力提升27．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（多選題）下列因式分解不正確的是（

）A． B．C． D．28．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（多選題）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解法”產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取時(shí)，則各個(gè)因式的值是，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)，取，用上述方法產(chǎn)生的密碼可能是（

）A．201010 B．203010 C．301020 D．20103029．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（多選題）下列各式能運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解的是（

）A． B．C． D．30．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（多選題）將多項(xiàng)式加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為另一個(gè)整式的完全平方，下列添加單項(xiàng)式正確的是（

）A． B． C． D．31．（2022·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)期中）分解因式：(1)(2)

32．（2022·安徽·六安市第九中學(xué)七年級(jí)期中）分解因式：(1)；(2)33．（2022·浙江·杭州市杭州中學(xué)七年級(jí)期中）根據(jù)條件求值：(1)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．(2)已知，，求的值．34．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模）（1）計(jì)算：（2）因式分解：

35．（2021·全國(guó)·八年級(jí)期末）（1）計(jì)算：．

（2）因式分解：36．（2022·山西晉中·八年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：（1）探究發(fā)現(xiàn)；小明計(jì)算下面幾個(gè)題目①；②；③；④后發(fā)現(xiàn)，形如的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，計(jì)算結(jié)果具有一定的規(guī)律，請(qǐng)你幫助小明完善發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：．（2）面積說明：上面規(guī)律是否正確呢？小明利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律是正確的，小明記得學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，除利用多項(xiàng)式乘法法則可以證明公式外，還可以利用圖形面積說明乘法公式，于是畫出右面圖形說明他發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．（3）逆用規(guī)律：學(xué)過因式分解后，小明知道了因式分解與整式乘法是逆變形，他就逆用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對(duì)下面因式分解的多項(xiàng)式進(jìn)行了因式分解，請(qǐng)你用小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律分解下面因式：．（4）拓展提升現(xiàn)有足夠多的正方形和矩形卡片（如圖），試畫出一個(gè)用若干張1號(hào)卡片、2號(hào)卡片和3號(hào)卡片拼成的矩形（每?jī)蓧K紙片之間既不重復(fù)，也無空隙，拼出的圖中必須保留拼圖的痕跡），使該矩形的面積為并利用你所拼的圖形面積對(duì)進(jìn)行因式分解．37．（2022·山西·大同市云州區(qū)初級(jí)示范中學(xué)校二模）(1)(2)下面是小明同學(xué)進(jìn)行因式分解的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．因式分解：解：原式

第一步

第二步

第三步任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第一步進(jìn)行整式乘法用到的是___________公式；②第三步進(jìn)行因式分解用到的方法是___________法．任務(wù)二：同桌互查時(shí)，小明的同桌指出小明因式分解的結(jié)果是錯(cuò)誤的，具體錯(cuò)誤是______________________．任務(wù)三：小組交流的過程中，大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)題可以先用公式法進(jìn)行因式分解，再繼續(xù)完成，請(qǐng)你寫出正確的解答過程．專題02因式分解A組基礎(chǔ)鞏固1．（2022·福建省福州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下列各式的因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】因式分解是把多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式積的形式，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解，【詳解】A，故此選項(xiàng)不符合題意．B，故此選項(xiàng)不符合題意．C，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意．D，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷因式分解是否正確，因式分解與整式的乘法是互為逆運(yùn)算，要注意區(qū)分．2．（2022·福建漳州·八年級(jí)期中）已知能運(yùn)用完全平方公式因式分解，則的值為（

）A．12 B． C．24 D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，由此即可得到答案．【詳解】解：能運(yùn)用完全平方公式因式分解，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）模擬預(yù)測(cè)）因式分解：（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先提公因式m，再用平方差公式分解即可．【詳解】解：mn2-m=m(n2-1)=m(n+1)(n-1)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查提公因式與公式法綜合運(yùn)用，注意分解因式要徹底，分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．4．（2022·廣西柳州·三模）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．根據(jù)定義即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、不是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，原變形不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；B、把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，原變形是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；C、不是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，原變形不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D、不是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，原變形不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義，要注意因式分解是整式的變形，并且因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．5．（2022·浙江杭州·九年級(jí)期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)公式法和提公因式法分解因式即可求得答案．【詳解】解：平方差公式：，完全平方公式：，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法和提公因式法分解因式，熟練掌握平方差公式、完全平方公式及提公因式法因式分解是解題的關(guān)鍵．6．（2022·浙江·杭州市杭州中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，有一張邊長(zhǎng)為b的正方形紙板，在它的四角各剪去邊長(zhǎng)為a的正方形．然后將四周突出的部分折起，制成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒．用M表示其底面積與側(cè)面積的差，則M可因式分解為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先表示出底面積和側(cè)面積，然后求它們的差，再提取公因式分解因式即可．【詳解】解：底面積為（b﹣2a）2，側(cè)面積為a?（b﹣2a）?4＝4a?（b﹣2a），∴M＝（b﹣2a）2﹣4a?（b﹣2a），提取公式（b﹣2a），M＝（b﹣2a）?（b﹣2a﹣4a），＝（b﹣6a）（b﹣2a）故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，靈活提取公因式是本題關(guān)鍵．7．（2022·江蘇徐州·七年級(jí)期中）下列各式因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)因式分解的方法、因式分解與整式乘法的關(guān)系即可判斷．【詳解】A、，故分解錯(cuò)誤；B、，故分解錯(cuò)誤；C、，故分解正確；D、，故分解錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的概念，因式分解是與整式乘法相反的一種變形，因此因式分解正確與否可用整式乘法進(jìn)行驗(yàn)證；注意：在給定的范圍內(nèi)，因式分解一定要分解到再也不能分解為止．8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級(jí)期中）已知正整數(shù)a，b，c，d滿足，且，關(guān)于這個(gè)四元方程下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①，，，是該四元方程的一組解；②連續(xù)的四個(gè)正整數(shù)一定是該四元方程的解；③若，則該四元方程有21組解；④若，則該四元方程有504組解．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】將，，，代入到四元方程中看等式兩邊是否相等即可判斷①；設(shè)，然后代入四元方程即可判斷②；先證明，同理得到，即可推出得到，據(jù)此即可判斷③；根據(jù)③所求可以推出，由此即可判斷④．【詳解】解：當(dāng)，，，時(shí)，方程左邊，方程右邊，∴方程左右兩邊相等，∴，，，是四元方程的一組解，故①正確；設(shè)，∴，，∴當(dāng)，四元方程左右兩邊相等，∴連續(xù)的四個(gè)正整數(shù)一定是該四元方程的解，故②正確；∵，，且c、d均為正整數(shù)，∴，∴，同理，∴，又∵，∴，∴，∴時(shí)，或或或或或，同理時(shí)，或或或或，時(shí)，或或或，，時(shí)，，∴當(dāng)，該四元方程一共有組解，故③正確；由③得，∵，∴，∴，∵a，c都是正整數(shù)，且，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，∴滿足題意的a、b、c、d的值有504組，∴若，則該四元方程有504組解，故④正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵在于能夠正確理解題意，以及方程的解得含義．9．（2022·山東臨沂·二模）下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方、合并同類項(xiàng)、負(fù)指數(shù)冪、因式分解、二次根式的加減，分別計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：①，正確；②，錯(cuò)誤；③，不是同類項(xiàng)，不能合并，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；④，正確；⑤，不能因式分解，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；⑥，故此項(xiàng)正確，故正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方、有理數(shù)的除法，合并同類項(xiàng)的法則，二次根式的加減等，熟練掌握各法則是解題的關(guān)鍵．10．（2022·廣東東莞·八年級(jí)階段練習(xí)）若，，則的值為（

）A．12 B．4 C．2022 D．8【答案】D【解析】【分析】先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)，，∴原式===8，故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查因式分解、二次根式的化簡(jiǎn)求值，求代數(shù)式的值，熟練掌握完全平方公式進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．11．（2022·山東·日照港中學(xué)二模）下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（

）①；②分解因式：；③的算術(shù)平方根是3；④如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)；⑤在一次數(shù)學(xué)答題比賽中，五位同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)分別為7，5，3，5，10，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】【分析】①，②分解因式：，③的算術(shù)平方根是，，④如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么Δ=4-4a>0，a<1，且a≠0，⑤把7，5，3，5，10，從小到大排列：3，5，5，7，10，中位數(shù)為5．【詳解】①，∵，故此命題是假命題；②分解因式：，∵，故此命題是假命題；③的算術(shù)平方根是3，∵，故此命題是假命題；④如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)，∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=4-4a>0，a<1，且a≠0，故此命題是假命題；⑤在一次數(shù)學(xué)答題比賽中，五位同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)分別為7，5，3，5，10，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，∵五個(gè)數(shù)從小到大排列為：3，5，5，7，10，∴中位數(shù)為：5．故此命題是真命題．故假命題有4個(gè)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，分解因式，算術(shù)平方根，一元二次方程根的判定，中位數(shù)，熟練掌握積乘方的法則，用平方差公式分解因式，算術(shù)平方根的定義，一元二次方程的定義與根的判別式，中位數(shù)的定義及求法，是解決此題的關(guān)鍵．12．（2022·河北保定·一模）下列變形中，屬于因式分解且正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用因式分解的定義逐一判斷即可．【詳解】A、，符合因式分解的定義，且分解正確；

B、，是整式的乘法，不是分解因式；C、，分解因式不正確；D、，分解因式不正確，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義，理解掌握把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形叫做因式分解，分解因式要分解到不能再分解為止．13．（2022·貴州銅仁·一模）下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】對(duì)A進(jìn)行計(jì)算，對(duì)B進(jìn)行乘法運(yùn)算，對(duì)C進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，對(duì)D進(jìn)行因式分解，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A中，正確，故不符合要求；B中，錯(cuò)誤，故符合要求；C中，正確，故不符合要求；D中，正確，故不符合要求；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，分式的基本性質(zhì)，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，綜合提公因式與公式法進(jìn)行因式分解等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．14．（2022·重慶巴蜀中學(xué)一模）對(duì)于二次三項(xiàng)式（m為常數(shù)），下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）①當(dāng)時(shí)，若，則②無論x取任何實(shí)數(shù)，等式都恒成立，則③若，，則④滿足的整數(shù)解共有8個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】【分析】①代入求值后因式分解計(jì)算即可；②提取公因式x后根據(jù)恒成立找關(guān)系即可；③兩個(gè)方程相加后因式分解即可解題；④去括號(hào)后因式分解判斷即可．【詳解】①當(dāng)時(shí)，若，則∴或者，故①錯(cuò)誤；②等式化簡(jiǎn)后為∵無論x取任何實(shí)數(shù)，等式都恒成立，∴，即∴，故②正確；③若，，則兩個(gè)方程相加得：，∴∴，故③錯(cuò)誤；④整理得：∴∵整數(shù)解∴，，，∴，，，，，，，，，∴整數(shù)解共9對(duì)，故④錯(cuò)誤；綜上所述，結(jié)論正確的有②；故選：A．【點(diǎn)睛】本題綜合考查因式分解的應(yīng)用，熟練的配方是解題的關(guān)鍵，題目還考查了因式分解法解一元二次方程．15．（2022·四川省渠縣中學(xué)一模）下列因式分解正確的是（

）A．x2－y2＝（x－y）2 B．x2＋4x＋9＝（x＋9）2 C．x2－6x＋9＝（x－3）2 D．a(chǎn)3＋4a2＋a＝a2（a－4）【答案】C【解析】【分析】A用平方差分式分解因式，C用完全平方公式分解因式，D用提取公因式法分解因式即可求解．【詳解】解：A．，原選項(xiàng)因式分解錯(cuò)誤，此項(xiàng)不符合題意；B．不能因式分解，原選項(xiàng)因式分解錯(cuò)誤，此項(xiàng)不符合題意；C．，原選項(xiàng)因式分解正確，此項(xiàng)符合題意；D．，原選項(xiàng)因式分解錯(cuò)誤，此項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法，提公因式法分解因式.熟練掌握完全平方公式和平方差公式，提取公因式法分解因式的方法是解本題的關(guān)鍵．16．（2022年遼寧省朝陽市初中升學(xué)模擬考試（三）數(shù)學(xué)試題）分解因式：___________．【答案】【解析】【分析】先提出公因式，再利用平方差公式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法，注意分解徹底是解題的關(guān)鍵．17．（2022·浙江·寧波市第十五中學(xué)三模）因式分解：______．【答案】(a+4b)(a?2b)【解析】【分析】直接應(yīng)用平方差公式即可．【詳解】解：原式=(a+b)2?(3b)2=(a+b+3b)(a+b?3b)=(a+4b)(a?2b)．故答案為：(a+4b)(a?2b)．【點(diǎn)睛】本題考查公式法分解因式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．18．（2022·天津南開·二模）將多項(xiàng)式分解因式，其結(jié)果是___．【答案】【解析】【分析】先提取公因式3，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解．完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2．【詳解】解：3a2-6ab+3b2=3（a2-2ab+b2）=3（a-b）2．故答案為：3（a-b）2．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底．19．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形，已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5.，且．（1）若a，b是整數(shù)，則的長(zhǎng)是___________；（2）若代數(shù)式的值為零，則的值是___________．【答案】

【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象表示出PQ即可；（2）根據(jù)分解因式可得，繼而求得，根據(jù)這四個(gè)矩形的面積都是5，可得，再進(jìn)行變形化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】（1）①和②能夠重合，③和④能夠重合，，，故答案為：；（2），，或，即（負(fù)舍）或這四個(gè)矩形的面積都是5，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式及其分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的根據(jù)．20．（2022·浙江溫州·八年級(jí)期中）已知，，則代數(shù)式______．【答案】【解析】【分析】將原式進(jìn)行因式分解，然后代入求值．【詳解】解：原式，∵，，∴原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，理解二次根式的性質(zhì)，掌握平方差公式和是解題關(guān)鍵．21．（2022·浙江杭州·九年級(jí)期末）分解因式____________．【答案】【解析】【分析】利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可得出．【詳解】【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，熟練應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．22．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）下列四個(gè)代數(shù)式①，②，③，④，若，則代數(shù)式的值最大的是______．（填序號(hào)）．【答案】③【解析】【分析】利用作差法比較大小即可．【詳解】解：∵，令②-①得：，∴②＞①，令③-②得：，∴③＞②，令③-④得：，∴③＞④，∴代數(shù)式的值最大的是③，故答案為：③【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，利用不等式性質(zhì)比較代數(shù)式的大小，解題的關(guān)鍵是掌握作差法比較大小．23．（2022·山西晉中·二模）計(jì)算：______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】解：原式===故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查分式的應(yīng)用，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．24．（2022·安徽合肥·二模）因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式，即可求解．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法，并靈活選用合適的方法解答是解題的關(guān)鍵．25．（2022·廣西柳州·二模）添項(xiàng)、拆項(xiàng)是因式分解中常用的方法，比如分解多項(xiàng)式可以用如下方法分解因式：①；又比如多項(xiàng)式可以這樣分解：②；仿照以上方法，分解多項(xiàng)式的結(jié)果是______．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)添項(xiàng)、拆項(xiàng)的方法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查添項(xiàng)與拆項(xiàng)法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用提公因式法，也考查了學(xué)生的觀察能力和整體思想．26．（2022·四川眉山·八年級(jí)期末）已知：，，，則的值_______．【答案】3【解析】【分析】對(duì)a2+b2+c2-ab-bc-ac提公因式，進(jìn)而進(jìn)行因式分解，再將a、b、c的值代入即可．【詳解】解：∵a=2021x+2020，b=2021x+2021，c=2021x+2022，∴，，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]=[（-1）2+（-1）2+（-2）2]=×6=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題是因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是會(huì)對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行變形．

B組能力提升27．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（多選題）下列因式分解不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】利用提公因式法、公式法以及十字相乘法對(duì)各項(xiàng)分解因式得到結(jié)果，判斷即可．【詳解】解：A、原式＝x（x﹣2），故A選項(xiàng)符合題意；B、原式＝（a﹣3）（a+2），故B選項(xiàng)符合題意；C、原式不能分解，故C選項(xiàng)符合題意；D、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故D選項(xiàng)不符合題意，故選：ABC．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解﹣十字相乘法以及提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．28．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（多選題）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解法”產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取時(shí)，則各個(gè)因式的值是，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)，取，用上述方法產(chǎn)生的密碼可能是（

）A．201010 B．203010 C．301020 D．201030【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)多項(xiàng)式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把數(shù)值代入計(jì)算即可確定出密碼．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：203010，301020，201030．故選：BCD．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，屬于閱讀型的新定義題，其中根據(jù)閱讀材料得出產(chǎn)生密碼的方法是解本題的關(guān)鍵．29．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（多選題）下列各式能運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)公式法因式分解，逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A.，能因式分解，符合題意；B.，能因式分解，符合題意；C.不能因式分解，不符題意；D.，能因式分解，符合題意．故選ABD【點(diǎn)睛】本題考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．30．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（多選題）將多項(xiàng)式加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為另一個(gè)整式的完全平方，下列添加單項(xiàng)式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】【分析】把分別加上各選項(xiàng)的單項(xiàng)式，再按完全平方公式分解因式即可得到答案.【詳解】解：不是完全平方式，故不符合題意；是完全平方式，故符合題意；是完全平方式，故符合題意；是完全平方式，故符合題意；故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方式，利用完全平方公式分解因式，理解完全平方式是解題的關(guān)鍵.31．（2022·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)期中）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式，分解即可；（2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可．(1)解：3ab2?6ab+3a=3a·b2-3a·2b+3a·1=3a（b2-2b+1）=3a(b?1)2；(2)2a2(a?b)?8(a?b)=2(a?b)(a2?4)=2(a?b)(a2?22)=2(a?b)(a+2)(a?2)．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．32．（2022·安徽·六安市第九中學(xué)七年級(jí)期中）分解因式：(1)；(2)【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）先提取公因式3n，再根據(jù)完全平方公式分解因式；（2）先提取公因式（a-b），再利用平方差公式分解因式．(1)解：==；(2)===．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的分解因式，掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵．33．（2022·浙江·杭州市杭州中學(xué)七年級(jí)期中）根據(jù)條件求值：(1)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．(2)已知，，求的值．【答案】(1)，7(2)15【解析】【分析】（1）根據(jù)乘法公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)即可，最后將x的值代入求解；（2）先把進(jìn)行因式分解，再代入數(shù)據(jù)求解即可．(1)解：===．當(dāng)時(shí)，原式=．(2)解：=．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則及因式分解，熟練運(yùn)用整式的相關(guān)法則和公式是解題的關(guān)鍵．34．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模）（1）計(jì)算：（2）因式分解：【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)及特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（2）先提公因式，再運(yùn)用完全平方公式因式分解即可得出答案．【詳解】解：（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及因式分解，掌握特殊角的三角函數(shù)值及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．35．（2021·全國(guó)·八年級(jí)期末）（1）計(jì)算：．

（2）因式分解：【答案】（1）-1；（2）【解析】【分析】（1）利用乘方，平方根，絕對(duì)值，與立方根先求出各數(shù)，再相加即可．（2）根據(jù)題意，首先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；【詳解】解：(1)，=-9+4+1+3，=-1．（2）=．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和因式分解的知識(shí)，熟練掌握乘方，平方根，絕對(duì)值，與立方根概念，完全平方公式，以及是數(shù)混合運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．36．（2022·山西晉中·八年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：（1）探究發(fā)現(xiàn)；小明計(jì)算下面幾個(gè)題目①；②；③；④后發(fā)現(xiàn)，形如的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，計(jì)算結(jié)果具有一定的規(guī)律，請(qǐng)你幫助小明完善發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：．（2）面積說明：上面規(guī)律是否正確呢？小明利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律是正確的，小明記得學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，除利用多項(xiàng)式乘法法則可以證明公式外，還可以利用圖形面積說明乘法