第13課時動力學中的連接體和臨界、極值問題目標要求1.知道連接體的類型以及運動特點，會用整體法、隔離法解決連接體問題。2.理解幾種常見的臨界極值條件，會用極限法、假設法、數學方法解決臨界極值問題。考點一動力學中的連接體問題多個相互關聯(lián)的物體連接(疊放、并排或由繩子、細桿、彈簧等聯(lián)系)在一起構成的物體系統(tǒng)稱為連接體。系統(tǒng)穩(wěn)定時連接體一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。1.共速連接體兩物體通過彈力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。(1)繩的拉力(或物體間的彈力)相關類連接體(2)疊加類連接體(一般與摩擦力相關)例1如圖所示，水平面上有兩個質量分別為m1和m2的木塊1和2，中間用一條輕繩連接，兩木塊的材料相同，現(xiàn)用力F向右拉木塊2，當兩木塊一起向右做勻加速直線運動時，已知重力加速度為g，下列說法正確的是()A.若水平面是光滑的，則m2越大，繩的拉力越大B.若木塊和水平面間的動摩擦因數為μ，則繩的拉力為m1Fm1C.繩的拉力大小與水平面是否粗糙無關D.繩的拉力大小與水平面是否粗糙有關答案C解析若設木塊和地面間的動摩擦因數為μ，以兩木塊整體為研究對象，根據牛頓第二定律有F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，得a＝F-μ(m1＋m2)gm1＋m2，以木塊1為研究對象，根據牛頓第二定律有FT－μm1g＝m1a，得a＝FT-μm1gm拓展1兩個質量分別為m1和m2的木塊1和2，中間用一條輕繩連接。①如圖甲所示，用力F豎直向上拉木塊時，繩的拉力大小FT＝；

②如圖乙所示，用力F沿光滑固定斜面向上拉木塊時，繩的拉力大小為；斜面不光滑時繩的拉力大小FT＝。

答案①m2Fm1＋拓展2若質量為m1和m2的木塊A和B疊放在一起，放在光滑水平面上，B在拉力F的作用下，A、B一起(相對靜止)做勻加速直線運動，則A受到的摩擦力大小為。

答案m1.整體法與隔離法在分析共速連接體問題中的應用(1)整體法：若連接體內的物體具有共同加速度，可以把它們看成一個整體，分析整體受到的外力，應用牛頓第二定律求出加速度；(2)隔離法：求系統(tǒng)內兩物體之間的作用力時，就需要把物體從系統(tǒng)中隔離出來，應用牛頓第二定律列方程求解；(3)整體法和隔離法交替使用：一般情況下，若連接體內各物體具有相同的加速度，且求物體之間的作用力時，可以先用整體法求出加速度，然后再隔離某一物體，應用牛頓第二定律求相互作用力；若求某一外力，可以先隔離某一物體求出加速度，再用整體法求合外力或某一個力。2.共速連接體對合力的“分配協(xié)議”一起做加速運動的物體組成的系統(tǒng)，若外力F作用于m1上，則m1和m2之間的相互作用力FT＝m2Fm1＋m2，若作用于m2上，則FT＝m1Fm1＋m2。此“協(xié)議2.關聯(lián)速度連接體輕繩在伸直狀態(tài)下，兩端的連接體沿繩方向的速度大小總是相等。下面三圖中A、B兩物體速度和加速度大小相等，方向不同。例2(多選)如圖所示，固定在地面上的光滑斜面體傾角為θ＝30°，一根輕繩跨過斜面體頂端的光滑定滑輪，繩兩端系有小物塊a、b，a的質量為2m，b的質量為4m。重力加速度為g，定滑輪左側輕繩與斜面平行，右側輕繩豎直。將a、b由靜止釋放，則下列說法正確的是()A.繩子對b的拉力大小為4mgB.a的加速度大小為gC.繩子對定滑輪的作用大小為23mgD.在相同時間內(b未觸地)，a、b速度變化量大小不相等答案BC解析在相同時間內(b未觸地)，a、b加速度的大小相等，速度變化量大小相等，D錯誤；以b為研究對象，設繩子拉力為FT，由牛頓第二定律有4mg－FT＝4ma，以a為研究對象，由牛頓第二定律有FT－2mgsinθ＝2ma，聯(lián)立解得FT＝2mg，a＝g2，故A錯誤，B正確；由幾何關系知，兩側繩子的夾角為60°，則繩子對定滑輪的作用力大小為F＝2FTcos30°＝23mg，故C關聯(lián)速度連接體做加速運動時，由于加速度的方向不同，一般采用分別選取研究對象，對兩物體分別列牛頓第二定律方程，用隔離法求解加速度及相互作用力。考點二動力學中的臨界和極值問題1.常見的臨界條件(1)兩物體脫離的臨界條件：FN＝0。(2)相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大值。(3)繩子斷裂或松弛的臨界條件：繩子斷裂的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力；繩子松弛的臨界條件是FT＝0。2.處理臨界問題的三種方法極限法把物理問題(或過程)推向極端，從而使臨界現(xiàn)象(或狀態(tài))暴露出來，以達到正確解決問題的目的假設法臨界問題存在多種可能，特別是有非此即彼兩種可能時，或變化過程中可能出現(xiàn)臨界條件，也可能不出現(xiàn)臨界條件時，往往用假設法解決問題數學法將物理過程轉化為數學表達式，根據數學表達式解出臨界條件例3如圖甲所示，物塊A、B靜止疊放在水平地面上，B受到從零開始逐漸增大的水平拉力F的作用，A、B間的摩擦力Ff1、B與地面間的摩擦力Ff2隨水平拉力F變化的情況如圖乙所示。已知物塊A的質量m＝3kg，g取10m/s2，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。(1)分析圖乙可知，A、B間最大靜摩擦力為N，B與地面間最大靜摩擦力為N，F(xiàn)＝N時，B開始滑動，F(xiàn)＝N時，A、B間發(fā)生相對滑動；

(2)下列說法正確的是。

A.兩物塊間的動摩擦因數為0.2B.當0<F<4N時，A、B保持靜止C.當4N<F<12N時，A、B發(fā)生相對滑動D.當F>12N時，A的加速度隨F的增大而增大答案(1)64412(2)AB解析(2)根據題圖乙可知，發(fā)生相對滑動時，A、B間的滑動摩擦力為6N，所以A、B之間的動摩擦因數μ＝Ff1mmg＝0.2，選項A正確；當0<F<4N時，根據題圖乙可知，F(xiàn)f2還未達到B與地面間的最大靜摩擦力，此時A、B保持靜止，選項B正確；當4N<F<12N時，根據題圖乙可知，此時A、B間的摩擦力還未達到最大靜摩擦力，所以沒有發(fā)生相對滑動，選項C錯誤；當F>12N時，根據題圖乙可知，此時A、B發(fā)生相對滑動，對物塊A有a＝Ff1mm＝2m/s例4(2024·山東青島市第十九中學月考)如圖所示，一輕質彈簧的下端固定在水平面上，上端疊放兩個質量均為1kg的物體A、B(B物體與彈簧拴接)，彈簧的勁度系數為k＝50N/m，初始時系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)。現(xiàn)用一方向豎直向上的拉力F作用在物體A上，使物體A開始向上做加速度大小a為4m/s2的勻加速直線運動，重力加速度g取10m/s2，空氣阻力忽略不計，下列說法正確的是()A.外力F剛施加的瞬間，F(xiàn)的大小為4NB.當彈簧壓縮量減小到0.3m時，A、B間彈力大小為1.2NC.A、B分離時，A物體的位移大小為0.12mD.B物體速度達到最大時，B物體的位移為0.22m答案C解析施加外力前，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，對整體受力分析，由平衡條件得2mg＝kx0，代入數據解得x0＝0.4m，外力施加的瞬間，物體A加速度為4m/s2，對整體，由牛頓第二定律得F－2mg＋kx0＝2ma，代入數據解得F＝8N，故A錯誤；當彈簧壓縮量減小到0.3m時，設A、B間彈力大小為FAB，對A受力分析，由牛頓第二定律得F'＋FAB－mg＝ma，對A、B組成的系統(tǒng)受力分析，由牛頓第二定律得F'＋kx1－2mg＝2ma，代入數據聯(lián)立解得FAB＝1N，故B錯誤；設A、B分離時，彈簧的形變量為x2，對B受力分析，由牛頓第二定律得kx2－mg＝ma，代入數據解得x2＝0.28m，所以A物體的位移大小為x0－x2＝0.4m－0.28m＝0.12m，故C正確；當B物體的合力為零時速度達到最大，由C項可知A、B分離時有向上的加速度，所以速度最大時A、B已經分離，當合力為零時，對B受力分析，由平衡條件得kx3＝mg，代入數據解得x3＝0.2m，故B物體的位移大小為x0－x3＝0.2m，故D錯誤。拓展求A、B分離時B的速度大小及B勻加速運動持續(xù)的時間？答案265m/s解析A、B分離時，A、B的位移大小相等，速度大小也相等由v2＝2a(x0－x2)，解得v＝265由v＝at，解得t＝610s例5(2025·山東青島市校考)如圖甲所示，一個質量m＝0.5kg的小物塊(可看成質點)，以v0＝2m/s的初速度在平行斜面向上的拉力F＝6N作用下沿斜面向上做勻加速運動，經t＝2s的時間物塊由A點運動到B點，A、B之間的距離L＝8m，已知斜面傾角θ＝37°，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：(1)物塊加速度a的大小；(2)物塊與斜面之間的動摩擦因數μ；(3)若拉力F的大小和方向可調節(jié)，如圖乙所示，為保持原加速度不變，F(xiàn)的最小值是多少。答案(1)2m/s2(2)0.5(3)125解析(1)根據L＝v0t＋12at2代入數據解得a＝2m/s2。(2)根據牛頓第二定律有F－mgsinθ－μmgcosθ＝ma，代入數據解得μ＝0.5。(3)設F與斜面夾角為α，平行斜面方向有Fcosα－mgsinθ－μFN＝ma垂直斜面方向有FN＋Fsinα＝mgcosθ聯(lián)立解得F＝ma＝ma當sin(φ＋α)＝1時，F(xiàn)有最小值Fmin，代入數據解得Fmin＝1255課時精練(分值：100分)1~7題每小題8分，共56分1.(2023·北京卷·6)如圖所示，在光滑水平地面上，兩相同物塊用細線相連，兩物塊質量均為1kg，細線能承受的最大拉力為2N。若在水平拉力F作用下，兩物塊一起向右做勻加速直線運動。則F的最大值為()A.1N B.2N C.4N D.5N答案C解析對兩物塊整體受力分析有Fmax＝2ma，再對后面的物塊受力分析有FTmax＝ma，又FTmax＝2N，聯(lián)立解得Fmax＝4N，故選C。2.(多選)如圖所示，用力F拉著三個物體在光滑水平面上運動，現(xiàn)在中間的物體上加一塊橡皮泥，它和中間的物體一起運動，且原拉力F不變，那么加上橡皮泥以后，兩段繩的拉力FTA和FTB的變化情況是()A.FTA增大 B.FTB增大C.FTA減小 D.FTB減小答案AD解析設最左邊的物體質量為m，最右邊的物體質量為m'，整體質量為M，整體的加速度a＝FM，對最左邊的物體分析FTB＝ma＝mFM，對最右邊的物體分析，有F－FTA＝m'a，解得FTA＝F－m'FM，在中間物體上加上橡皮泥，則整體的質量M增大，因為m、m'不變，所以FTB減小，F(xiàn)TA3.(2024·全國甲卷·15)如圖，一輕繩跨過光滑定滑輪，繩的一端系物塊P，P置于水平桌面上，與桌面間存在摩擦；繩的另一端懸掛一輕盤(質量可忽略)，盤中放置砝碼。改變盤中砝碼總質量m，并測量P的加速度大小a，得到a－m圖像。重力加速度大小為g。在下列a－m圖像中，可能正確的是()答案D解析當m質量較小時，由于P與桌面存在摩擦，a＝0；當m趨于無窮大時，加速度大小趨近于g。故選D。4.(2021·海南卷·7)如圖，兩物塊P、Q用跨過光滑輕質定滑輪的輕繩相連，開始時P靜止在水平桌面上。將一個水平向右的推力F作用在P上后，輕繩的張力變?yōu)樵瓉淼囊话搿Ｒ阎狿、Q兩物塊的質量分別為mP＝0.5kg、mQ＝0.2kg，P與桌面間的動摩擦因數μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2。則推力F的大小為()A.4.0N B.3.0NC.2.5N D.1.5N答案A解析P靜止在水平桌面上時，由平衡條件有FT1＝mQg＝2N，F(xiàn)f＝FT1＝2N<μmPg＝2.5N，推力F作用在P上后，輕繩的張力變?yōu)樵瓉淼囊话耄碏T2＝FT12＝1N，故Q物塊加速下降，有mQg－FT2＝mQa，可得a＝5m/s2，而P物塊將以相同大小的加速度向右加速運動，對P由牛頓第二定律有FT2＋F－μmPg＝mPa，解得F＝4.0N，故選5.如圖，質量mA＝0.1kg、mB＝0.4kg的A、B兩物體在水平推力F＝1.5N的作用下，沿光滑水平面做勻加速直線運動，物體A、B始終保持相對靜止。A和B接觸面豎直，且A不與地面接觸。已知物體A和B之間的動摩擦因數為0.9，重力加速度g取10m/s2，則下列說法正確的是()A.A、B兩物體的加速度大小為0.3m/s2B.A、B兩物體之間的壓力大小為1.2NC.A、B兩物體之間的摩擦力大小為1.08ND.B物體對地面的壓力大小為4N答案B解析對A、B兩物體整體進行受力分析，根據牛頓第二定律F＝(mA＋mB)a，解得A、B兩物體的加速度大小為a＝3m/s2，故A錯誤；對A、B兩物體整體進行受力分析，豎直方向有FN＝(mA＋mB)g＝5N，故B對地面的壓力大小為5N，故D錯誤；對A進行受力分析，水平方向有F－FBA＝mAa，故B對A的彈力FBA＝1.2N，故B正確；對A進行受力分析，豎直方向有FfAB＝mAg＝1N，故A、B之間的摩擦力大小始終為1N，故C錯誤。6.(多選)(2025·山東滕州市第一中學月考)如圖所示，質量為M=2kg的凹形槽在水平拉力F作用下向左做勻加速直線運動。凹形槽與水平地面間的動摩擦因數為μ1=0.7，凹形槽內有一質量為m=1kg的小鐵塊恰好能靜止在后壁上，鐵塊與凹形槽間的動摩擦因數為μ2=0.5。運動一段時間后逐漸減小拉力(但凹形槽仍做加速運動)，鐵塊開始沿凹形槽豎直的后壁落到底部且不反彈。之后當凹形槽的速度為v0=4m/s時突然撤去拉力，最終鐵塊恰好沒有與凹形槽的前壁相碰，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2，不計鐵塊大小和槽的厚度，則開始運動時拉力F的大小和凹形槽的長度L分別為()A.F=81N B.F=162NC.L=0.6m D.L=1.2m答案AC解析鐵塊恰好能靜止在凹形槽后壁上，豎直方向受力平衡，由平衡條件有mg=μ2FN，對鐵塊，在水平方向上，根據牛頓第二定律有FN=ma，以鐵塊和凹形槽組成的整體為研究對象，根據牛頓第二定律有F-μ1(M+m)g=(M+m)a，聯(lián)立解得F=81N，因為μ1>μ2，所以撤去拉力后鐵塊與凹形槽發(fā)生相對滑動，當凹形槽停止后，鐵塊繼續(xù)減速至零。對鐵塊受力分析，根據牛頓第二定律有μ2mg=ma1，對凹形槽受力分析，根據牛頓第二定律有μ1(M+m)g-μ2mg=Ma2，鐵塊運動的位移為x1=v022a1，凹形槽運動的位移為x2=v022a2，凹形槽的長度為L=x1-x2，聯(lián)立解得L7.(2025·山東泰安市模擬)如圖所示，細線的一端固定在傾角為30°的光滑楔形滑塊A的頂端P處，細線的另一端拴一質量為m的小球，靜止時細線與斜面平行。已知重力加速度為g。使滑塊以加速度a＝2g水平向左加速運動，小球與滑塊相對靜止，則下列說法中正確的是()A.細線對小球的拉力大小為5mgB.細線對小球的拉力大小為(3＋1C.小球對滑塊的壓力大小為32D.小球對滑塊的壓力大小為2mg答案A解析設當小球貼著滑塊一起向左運動且支持力為零時加速度為a0，小球受到重力、拉力作用，根據牛頓第二定律a0＝gtan60°＝3g，當滑塊以加速度a＝2g向左加速運動時，此時小球已經飄離斜面，則此刻小球對滑塊的壓力為0，設此時細線與水平方向的夾角為α，故有FTsinα＝mg，F(xiàn)Tcosα＝ma＝2mg，解得FT＝5mg，故A正確，B、C、D錯誤。8、9題每小題9分，10題16分，共34分8.(多選)如圖所示，矩形盒內用兩根不可伸長的輕線固定一個質量為m＝0.6kg的勻質小球，a線與水平方向成37°角，b線水平。兩根輕線所能承受的最大拉力都是Fm＝15N，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，則()A.系統(tǒng)靜止時，a線所受的拉力大小12NB.系統(tǒng)靜止時，b線所受的拉力大小8NC.當系統(tǒng)沿豎直方向勻加速上升時，為保證輕線不被拉斷，加速度最大為5m/s2D.當系統(tǒng)沿水平方向向右勻加速運動時，為保證輕線不被拉斷，加速度最大為10m/s2答案BC解析系統(tǒng)靜止時，小球受力如圖甲所示，豎直方向有Fa·sin37°＝mg，水平方向有Fa·cos37°＝Fb，解得Fa＝10N，F(xiàn)b＝8N，故B正確，A錯誤；系統(tǒng)豎直向上勻加速運動時，小球受力如圖乙所示當a線拉力為15N時，由牛頓第二定律得，豎直方向有Fm·sin37°－mg＝ma，水平方向有Fm·cos37°＝Fb，解得Fb＝12N，此時加速度有最大值a＝5m/s2，故C正確；系統(tǒng)水平向右勻加速運動時，由牛頓第二定律得，豎直方向有Fa·sin37°＝mg，水平方向有Fb－Fa·cos37°＝ma解得Fa＝10N，當Fb＝15N時，加速度最大為a≈11.7m/s2，故D錯誤。9.馬車是古代的主要運輸工具，如圖所示為一匹馬水平拉動一車貨物，其中最上面有兩個木板A和B，A、B之間和B與車之間接觸面都水平，A、B之間的動摩擦因數為μ1，B與車之間的動摩擦因數為μ2，A質量為m，B質量為2m，車的質量為5m，地面對車的摩擦力不計，馬給車的水平拉力為F，A、B始終沒有離開車表面，重力加速度為g，則下列說法正確的是()A.若μ1>μ2，逐漸增大F，A會相對B先滑動B.若μ1>μ2，當F＝8μ2mg時，B與車之間開始相對滑動C.若μ1<μ2，不管F多大，A、B都不會相對滑動D.若μ1<μ2，A、B與車都相對靜止，F(xiàn)的最大值為6μ1mg答案B解析若μ1>μ2，B相對于車比A相對于B先滑動，所以不管F多大，B相對車滑動后，A相對B一直靜止，故A錯誤；若μ1>μ2，整體相對靜止的最大拉力F＝8μ2mg，當F＝8μ2mg時，B與車之間開始相對滑動，故B正確；若μ1<μ2，A相對B比B相對于車先滑動，故C錯誤；若μ1<μ2，A、B與車都相對靜止，系統(tǒng)的最大加速度為a＝μ1g，則對整體受力分析知最大拉力F＝8μ1mg，故D錯誤。10.(16分)如圖所示，用足夠長的輕質細繩繞過兩個光滑輕質滑輪將木箱與重物連接，木箱質量M＝8kg，重物質量m＝2kg，木箱與地面間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10m/s2。(1)(6分)要使裝置能靜止，木箱與地面間的動摩擦因數需滿足什么條件？(2)(10分)若木箱與地面間的動摩擦因數μ＝0.4，用大小為80N的水平拉力F將木箱由靜止向左拉動位移x＝0.5m時，求重物的速度大小v。答案(1)μ≥0.5(2)2m/s解析(1)對重物受力分析，根據受力平衡可得FT＝mg＝20N對木箱受力分析，可得Ff＝2FT，又Ff＝μMg聯(lián)立解得μ＝0.5，故要使裝置能靜止，木箱與地面間的動摩擦因數需滿足μ≥0.5。(2)設木箱加速度大小為a，則重物加速度大小為2a