變力做功求變力做功的常用方法1.“微元法”求變力做功將物體的位移分割成許多小段，因小段很小，每一小段上作用在物體上的力可以視為恒力，這樣就將變力做功轉(zhuǎn)化為在無數(shù)多個(gè)無窮小的位移上的恒力所做功的代數(shù)和，此法適用于求解大小不變、方向改變的變力做功。如圖所示，質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周克服摩擦力做功W克f＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。例1(多選)(2024·山東泰安市檢測(cè))如圖所示，擺球質(zhì)量為m，懸線長(zhǎng)度為L(zhǎng)，把懸線拉到水平位置后靜止釋放擺球。設(shè)在擺球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中空氣阻力的大小Ff不變，重力加速度為g，則下列說法正確的是()A.重力做功為mgLB.懸線的拉力做功為0C.空氣阻力做功為－mgLD.空氣阻力做功為－12Ffπ答案ABD解析根據(jù)W＝Flcosα，擺球下擺過程中，重力做功為mgL，A正確；懸線的拉力始終與速度方向垂直，故做功為0，B正確；空氣阻力的大小不變，方向始終與速度方向相反，使用微元法得空氣阻力做功為－Ff·12πL＝－12FfπL，C錯(cuò)誤，2.“平均力”求變力做功當(dāng)力的方向不變而大小隨位移線性變化時(shí)，可先求出力在這段位移中的平均值F＝F1＋F22，再由W例2野山鼠擅長(zhǎng)打洞，假設(shè)野山鼠打洞時(shí)受到的阻力Ff與洞的深度L成正比，即Ff＝kL(k為比例常數(shù))，則野山鼠打到洞深d的過程中，需要克服阻力做的功為()A.kd2 B.kd22 C.2kd答案B解析由于打洞時(shí)受到的阻力Ff與洞的深度L成正比，則野山鼠打到洞深d的過程中，需要克服阻力做的功為W＝Ff·d＝kd2d＝kd3.“圖像法”求變力做功在F－x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力F在這段位移內(nèi)所做的功，且位于x軸上方的“面積”為正功，位于x軸下方的“面積”為負(fù)功，但此方法只適用于便于求圖線與x軸所圍面積的情況(如三角形、矩形、圓等規(guī)則的幾何圖形)。如圖所示，一水平拉力拉著一物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的位移為x1，F(xiàn)－x圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做的功，W＝F0＋F例3一物體所受的力F隨位移x變化的圖像如圖所示，在這一過程中，力F對(duì)物體做的功為()A.3J B.6JC.7J D.8J答案B解析力F對(duì)物體做的功等于F－x圖線與橫軸所圍面積的代數(shù)和，0~4s這段時(shí)間內(nèi)力F對(duì)物體做的功為W1＝12×(3＋4)×2J＝7J，4~5s這段時(shí)間內(nèi)力F對(duì)物體做的功為W2＝－12×(5－4)×2J＝－1J，全過程中，力F對(duì)物體做的功為W＝W1＋W2＝7J－1J＝6J，故選4.“轉(zhuǎn)化法”求變力做功通過轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，可將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，用W＝Flcosα求解，如輕繩通過光滑輕質(zhì)定滑輪拉物體運(yùn)動(dòng)過程中拉力做功問題。如圖所示，恒力F把放在光滑水平面上的物體從A拉到B，因輕繩對(duì)物體做的功等于拉力F對(duì)輕繩做的功，故輕繩對(duì)物體做功W＝F(hsinα例4如圖所示，一輛拖車通過光滑輕質(zhì)定滑輪將一重為G的物體勻速提升，當(dāng)拖車從A點(diǎn)水平移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，位移為s，繩子由豎直變?yōu)榕c豎直方向成θ角，不計(jì)空氣阻力，求此過程中拖車對(duì)繩子所做的功。答案1-cosθ解析拖車對(duì)繩子做的功等于繩子對(duì)物體做的功，以物體為研究對(duì)象，由于整個(gè)過程中物體勻速運(yùn)動(dòng)，所以繩子的拉力大小FT＝G。物體上升的距離等于滑輪右側(cè)后來的繩長(zhǎng)OB減去開始時(shí)的繩長(zhǎng)OA，即l＝ssinθ－stanθ，所以繩子對(duì)物體做的功W＝FTl＝其他求變力做功的方法(1)當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)功率一定，求發(fā)動(dòng)機(jī)做功用W＝Pt。(2)利用動(dòng)能定理求變力做功WF＋W其他力＝ΔEk。1.(2025·山東煙臺(tái)市龍口市段考)水平桌面上，長(zhǎng)6m的輕繩一端固定于O點(diǎn)，如圖所示(俯視圖)，另一端系一質(zhì)量m＝2.0kg的小球。現(xiàn)對(duì)小球施加一個(gè)沿桌面大小不變的力F＝10N，F(xiàn)拉著小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，F(xiàn)的方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成37°角。已知小球與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則下列說法正確的是()A.拉力F對(duì)小球做的功為16πJB.拉力F對(duì)小球做的功為8πJC.小球克服摩擦力做的功為16πJD.小球克服摩擦力做的功為4πJ答案A解析將圓弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功為W1、W2…Wn，因拉力F大小不變，方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成37°角，所以W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…Wn＝Flncos37°故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos37°·πR3＝10×0.8×π3×6J＝16πJ，故A正確，B錯(cuò)誤；同理可得小球克服摩擦力做的功W克f＝μmg·πR3＝8πJ2.如圖所示，n個(gè)完全相同、棱長(zhǎng)足夠小且互不粘連的小方塊依次排列，總長(zhǎng)度為l，總質(zhì)量為M，它們一起以速度v在光滑水平面上滑動(dòng)，某時(shí)刻開始滑上粗糙水平面。小方塊與粗糙水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，若小方塊恰能完全進(jìn)入粗糙水平面，則摩擦力對(duì)所有小方塊所做功的大小為()A.14μMgl B.13C.12μMgl D.μ答案C解析小方塊依次進(jìn)入粗糙區(qū)域，摩擦力隨位移線性增大，設(shè)小方塊全部進(jìn)入粗糙區(qū)域時(shí)的摩擦力為Ff，則Ff=μMg，整個(gè)過程中的平均摩擦力Ff=0+Ff2=12μMg，摩擦力對(duì)所有小方塊做的功W=-Ff·l=-12μMgl3.(多選)(2024·山東泰安市檢測(cè))如圖甲所示，質(zhì)量為4kg的物體在水平推力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)，推力大小F隨位移大小x變化的情況如圖乙所示，物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，g取10m/s2，則()A.物體先做加速運(yùn)動(dòng)，推力減小到零后才開始做減速運(yùn)動(dòng)B.物體在運(yùn)動(dòng)過程中的加速度先變小后不變C.運(yùn)動(dòng)過程中推力做的功為200JD.物體在運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度為8m/s答案CD解析滑動(dòng)摩擦力大小為Ff=μmg=20N，一開始推力大于滑動(dòng)摩擦力，隨著推力的減小，物體先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)推力減小到20N時(shí)，加速度為零，物體的速度達(dá)到最大；之后推力小于滑動(dòng)摩擦力，物體做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)推力減小為零后，物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，故A、B錯(cuò)誤；根據(jù)F-x圖像中圖線與橫軸所圍的面積表示推力做的功，可得運(yùn)動(dòng)過程中推力做的功為W=12×100×