2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國甲卷） {x|x3k,k {∣x{∣x D.若復數ai1ai2,aR，則a A.- B. C. D. A. B. C. D. ab1

，且abc0，則cosac,bc

C. D. A. B. C. D.有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（ A. B. C. D.“sin2sin21”是“sincos0”的 B.必要條件但不是充分條C.充要條 D.既不是充分條件也不是必要條 0)的離心率

，其中一條漸近線與圓(x

2

2

B兩點，則|AB|

2

4有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ A. B. C. D.fxycos2xππyfxy1x1 6 B. C. D.在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，AB4,PCPD3,PCA45，則PBC的面 A.

B.

C.

D.x2y2FF為兩個焦點，O為原點，PcosFPF3，則|PO

A. C.

若y(x1)2axsinxπ為偶函數，則a 2 2x3yx，y滿足約束條件3x2yxy

，設z3x2y，則z的最大值 ，D為BC上一點，AD為BAC的平分線，AD 已知數列ana21Sn為ann2Snnan求an求數列an1n項和T2n XX單位：g（PPk2k已知直線x2y10與拋物線C:y22px(p0)交于A,B兩點，且|AB| （1）pf(xaxsinxx0,πcos3

2 若a8f(xf(xsin2xax2t|PA||PB|4f(x2xaaa0yfx2，求a2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國甲卷）

A.{x|x3k,k{∣x

{∣xD.若復數ai1ai2,aR，則a A.- B. C. D.【詳解】因為ai1aiaa2iia2a1a2i22a

0a1 A. B. C. D.n1A123B325n112n2時，判斷框條件滿足，第二次執行循環體，A358B8513n213n3A81321B211334n314n4B34． ab1

，且abc0，則cosac,bc

C. D. 【詳解】因為 ,所以 r,

abc →2,

a+b=- ,所以 a

2ab

112ab

ab如圖,設OA b,OC→由題知OAOB1OC

AB邊上的高OD

2,AD 2 所以CDCOOD

232 tanACD

AD1,cosACD c, c, 3 2

1 A B. C. D.【分析】根據題意列出關于q的方程,計算出q,S4q3q44q4q2,q3q24q40,即(q2)(q1)(q2)0q0,q2S4124815有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若 A. B. C. D.【詳解】報名兩個俱樂部的人數為50607040記“某人報足球俱樂部”為事件ABPA505PAB404 P(∣AP(

70.8“sin2sin21”是“sincos0”的 B.必要條件但不是充分條 D.既不是充分條件也不是必要條【詳解】當sin2sin21時，例如π,0但sincos0即sin2sin21推不出sincos0當sincos0sin2sin2(cos)2sin21，即sincos0能推出sin2sin21.sin2sin21是sincos0成立的必要不充分條件.x2y2

0)

(x2)2(y3)21交于A，B兩點，則|AB|

2

4【詳解】由e ，則a2b2

a2

5y2x22則圓心(2,3)到漸近線的距離d22所以弦長

4511則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ A. B. C. D.假設a42人各參加星期六與星期天的社區服務，共有A212種方法，1人連續參加了兩天社區服務的選擇種數有51260種.fx為函數ycos2xπ向左平移π個單位所得函數，則yfx 6 y1x1的交點個數為 B. C. D.fxsin2xfxy1x1 fxy1x1的大小關系，從而精確圖像，由此得解 ycos2xππ 6 y

πcos2x66cos2x2sin2xfxsin2x y1x1顯然過01與10 fxy1x1 2x3π2x3π2x7πx3πx3πx7πfxy1x1

x3πf3πsin3π1y13π13π41 4 2

4 x3πf3πsin3π1y13π13π41 4

x7πf7πsin7π1y17π17π4 4

fxy1x1的交點個數為3 在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，AB4,PCPD3,PCA45，則PBC的面積為（ A.

B.

C.

D.【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得OCO，PDBPCA，從而得到PAPB，再在C中利用余弦定理求得PA，從而求得PB，由此在C法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA ，cosPCB1，從而求PAPC3，再利用空間向量的數量積運算與余弦定理得到關于PB,BPD的方程組，從而求得PB ，由此在PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.ACBD交于OPO，則OACBD因為底面ABCD為正方形，AB4，所以ACBD42，則DOCO2 又PCPD3，POOP，所以PDOPCO，則PDOPCO，PCPD3ACBD42，所以PDBPCAPAPB在△PACPC3AC42PCA45PA2AC2PC22ACPCcosPCA329242 ，則PB

217故在PBCPC3PB17BC4PC2BC2 916 所以cosPCB 2PC 23 1cos22又0PCBπ，所1cos22所以PBC的面積為S1PCBCsinPCB13422 ACBD交于OPO，則OACBDABCDAB4ACBD42，在△PACPC3PCA45，PA2AC2PC22ACPCcosPCA329242PA2PC2AC

217故PA 217所以cosAPC 2172PA

17PAPCPAPCcosAPC173173 PBmBPD

1 1

PO

PAPC

PBPD，所以PAPC

PBPD PAPC2PAPCPBPD2PBPD則17923m2923mcosm26mcos110又在△PBDBD2PB2PD22PBPDcosBPD，即32m296mcos，m26mcos230②，兩式相加得2m2340，故PBm 故在PBCPC3PB17BC4PC2BC2 916 所以cosPCB 2PC 23 1cos22又0PCBπ，所1cos22所以PBC的面積為S1PCBCsinPCB13422 x2y2

F,

cosFPF

1， OP 5則|PO| A.

C.

【分析】方法一：根據焦點三角形面積公式求出△PF1F2P的坐標，從而得出OP的值；PFPF,PF2PF2 【詳解】方法一：設FPF20π

b2tanF1PF2b2 cos2sin2

1tan2

由cosF1PF2cos2cos2sin21tan25tan2a29b26c2a2b23

1FF 123 61y23 1 x29139

x2yx2y 3PFPF2a6PF2PF22PFPFFPFFF2

1即PF2PF2 PFPF12②，聯立 PFPF15,PF2PF221 PO 2PFPF

2PF1PF2

3 即PO

21 PFPF2a6PF2PF22PFPFFPFFF2

1即PF2PF2 PFPF12②，聯立①②，解得：PF2PF221 由中線定理可知，2OP2FF22PF2PF242，易知FF ，解得OP

30

1 1若y(x1)2axsinxπ為偶函數，則a 2 fπfπ，從而求得a2，再檢驗即可得解 2 yfxx12axsinxπx12axcosx 2 義域為R π π

所以f2f2，即a sa ，

則πa21212π，故a2 fxx122xcosxx21cosx，fxx21cosxx21cosxf又定義域為R，故fx為偶函數，所以a2

x2x3yx，y滿足約束條件3x2yxy

，設z3x2y，則z的最大值 y3xz過點Az 由2x3y3可得x3A(333x2y yzmax332315 2EF中點為OABBB1中點GMBB1C1C的NFGEGOMONMN，如圖，即R ON2MN則球心OON2MN

FG2EGFG2EG22

1個交點，EF12.在ABC中，AB2，BAC60,BC ，D為BC上一點，AD為BAC的平分線，則AD ABcACbBCa方法一：由余弦定理可得，22b222bcos60°6，因為b0，解得：b1 12bsin60°12ADsin30°1ADbsin30° AD

3b1

2313

2方法二：由余弦定理可得，22b222bcos60°6，因為b0，解得：b1

sin

sinB

6 2，sinC 2 因為 ，所以C45°，B180°60°45°75°又BAD30o，所以ADB75ADAB2．2．已知數列ana21Sn為ann2Snnan求an求數列an1n項和T2n （1）ann（2）n（2）n n

S1,n

,n1詳解】2Snnan，n22Sn1n1an12SnSn1nann1an12an化簡得：n2an1 ，當n3時，anan1a31，即an

2a1

1

1

1

1因為 ，所以T1 3 n

1

1

1

1n2Tn1222(n1)2n2 1n

212

1T1111n1 n

1 11

n1n

，即

1

ABCA1B1C1AA12A1CABCACB90A1（2）股定理求出O為中點，即可得證；1詳解】A1CBCBCACA1CACACC1A1A1CACCBCACC1A1BCBCC1B1A1BCC1B11，A1O1，設COx，則C1O2x，CO2AO2AC2，AO2OC2CA2，AC2AC2CC2 1 1 1x212x)24x1ACA1CA1C1 AC2BBDAA1AA1DDAA1中點，AA1BB12BD2 AB2AC在Rt△ABC，AB2ACACACCM，連接C1MC1M∥A1C，C1MABCAMABCC1M(2AC)2AC則在Rt△AC1M中，AM2AC,C1MA1(2AC)2AC(2AC)2AC(2AC)2AC

BC (22)2(2)2(22)2(2)2(又ABCC1B1所以AB與平面BCCB所成角的正弦值為 13 1 40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加．XX單位：g（2×295%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．Pk2k（1）EX（2（i）（ii）（2（i）1X的可能取值為0,12C0

C1

C2 則P(X0)2020 ，P(X1)2020 ，P(X2)2020 XEX019120219 2可得第11位數據為14.4，后續依次為17.3,17.3,18.4,19.220.120.220.421.523.223.6,，20位為23.22123.6m23.223.623.440(6614由（i）可得，K 6.4003.841，20202020%已知直線x2y10與拋物線C:y22px(p0)交于A,B兩點，且|AB| （1）p（1）p（2）12（2）MNxmynMx1y1Nx2y2MFNF0mn的關系，以及MNF的面積表達式，再結合函數的性質即可求出其最小值．1AxA,yA,BxB,yB由x2y10y24py2p0y

4p,y

2py22

A y

yA

4yA2p2p6 4yA2F10MN的斜率不可能為零，MNxmynMx1y1Nx2y2，y2由xmy

y24my4n0y1y24my1y24n16m216n0m2n0MFNF0，所以x11x21y1y20，即my1n1my2n1y1y20，亦即m21yymn1yyn1201 y1y24my1y24n4m2n26n14m2nn120，n1n26n10n32

或n3 1n設點F到直線MN的距離為d1nxx y

yy1m21m216m21 4n26n1

11

1n11n1所以MNF的面積S1MNd1n1

n1n12n3

n3

當n3 時，MNF的面積 222212 mn的關系，一是為了減元，二是通f(xaxsinxx0,πcos3

2 若a8f(xf(xsin2xa（2）(,（1）求導,然后令tcos2x,討論導數的符號即可（21

f(xsin2x,g(x)的最大值,0比較大小,得出a的分界點,f(x)a

cosxcos3x3sinxcos2xsincos6cos2x3sin2a acos4

32cos2cos4令cos2xt,則tf

(x)g(t)a 當a8, 8t2t (2t1)(4t(x)g(t) 當t01,xππ,f(x0 42 當t1,1,x0π,fx0 4