廣東省清遠市第三中學教育集團2024?2025學年高三第三次模擬考試數學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．如圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個直徑為4的圓，使之恰好圍成一個圓錐，則圓錐的高為（

）A． B． C． D．3．若直線與雙曲線有兩個不同交點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知且，函數，滿足對任意實數，，都有成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．， C． D．，5．復數（

）A． B． C． D．6．已知菱形的邊長為是的中點，與相交于點，則（

）A． B． C．1 D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．定義在上的函數滿足，且當時，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知點在圓上，點，，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，10．已知函數，下列結論正確的是（

）A．若，則B．若為偶函數，則C．有且僅有個使得的最小值為D．若函數的圖象與的圖象有且僅有兩個交點，則的取值范圍為11．下列命題中，真命題的是（

）A．中位數就是第50百分位數B．已知隨機變量，若，則C．已知隨機變量，滿足，若，，則，D．已知采用分層抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學生的身高情況為：男生樣本平均數172，方差為120，女生樣本平均數165，方差為120，則總體樣本方差為120三、填空題12．已知分別為雙曲線的左，右焦點，以為直徑的圓與其中一條漸近線在第一象限交于點，過點作另一條漸近線的垂線，點恰在此垂線上，則雙曲線的離心率為．13．若圓被直線所截得的弦長為10，過點作圓的切線，其中一個切點為，則的值為.14．如圖，由9個單位小方格組成的方格表中共有16個格點，將每個格點染成灰色或黑色，滿足：若任意4個格點構成矩形的4個頂點，則這4點中至多有2點被染成灰色.則被染為灰色的格點數目最多為.四、解答題15．在中，．（1）求的值；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．16．已知橢圓的離心率為，以橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知點，過點且斜率為的直線l與橢圓E相交于不同兩點B、C，直線AB、AC分別與直線交于點M、N，當時，求斜率k的取值范圍．17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，且是等邊三角形，.（1）求證：平面；（2）若是等腰三角形，求異面直線與所成角的余弦值.18．已知函數，．(1)當時，求函數的單調遞增區間；(2)當時，求的解集；(3)若函數圖象上有三個點，，，并且從左到右橫坐標成等差數列，判斷曲線在點處的切線斜率與，兩點連線斜率的大小關系．19．已知有限數列，其中，.在中選取若干項按照一定次序排列得到的數列稱為的一個子列，對某一給定正整數，若對任意的，均存在的相應子列，使得該子列的各項之和為，則稱具有性質.（1）判斷：，，，，，，是否具有性質？說明理由；（2）若，是否存在具有性質？若存在，寫出一個，若不存在，說明理由；（3）若，且存在具有性質，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】集合，則.故選C.2．【答案】D【詳解】由圖知，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，圓錐底面圓的半徑為，設扇形半徑為，則有，解得，因此圓錐的母線長為，所以圓錐的高.故選D3．【答案】B【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，直線與雙曲線有兩個不同的交點，又直線過原點，則則的取值范圍是.故選B．4．【答案】D【詳解】解：對任意實數，，都有成立，在定義域上是增函數，函數在，上是增函數，在上也是增函數，且，，解可得，．故選D.5．【答案】D【詳解】.故選D6．【答案】B【詳解】因為，則，，所以，所以，所以，故.故選B7．【答案】D【詳解】因為，所以.故選D.8．【答案】D【詳解】，令得：，又，反復利用可得：①，再令，由,可求得,同理反復利用可得:②，由①②可得：有，，，而所以,故.故選D.9．【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A正確，B錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接，，可知，，，由勾股定理可得，CD正確.故選ACD.【方法總結】若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.10．【答案】ACD【詳解】對于A選項，，則，解得，A對；對于B選項，若函數為偶函數，則，即，可得，所以，或，由可得，由解得；由可得，即，所以，或，由可得，由可得，綜上所述，或，經檢驗，當或，函數為偶函數，當時，，B錯；對于C選項，由三角不等式可得，解得或，當且僅當時，取最小值，C對；對于D選項，①當時，，可知若與有且僅有兩個交點，只需點在的圖象的下方，即，可得；②當時，，由，可得點在的圖象的下方，此時的圖象與有且僅有兩個交點；③當時，，當與相切時，有，令，則，可得，解得（舍去）或，可得與有兩個交點時，由上知，D對，故選ACD．11．【答案】AB【詳解】對于A選項，中位數就是第50百分位數，A選項正確.對于B選項，已知隨機變量，根據二項分布的方差公式（其中是試驗次數，是每次試驗成功的概率），可得.又因為（、為常數），那么.已知，即，解得，B選項正確.對于C選項，已知隨機變量，滿足，根據期望的性質（、為常數），可得.因為，所以.再根據方差的性質（、為常數），可得.因為，所以，C選項錯誤.對于D選項，設男生樣本為，平均數為，方差為；女生樣本為，平均數為，方差為.總體樣本平均數.根據分層抽樣樣本方差公式（其中、分別是男生、女生的樣本數量），可得：，所以D選項錯誤.故選AB.12．【答案】2【詳解】如圖，設為與漸近線的交點，由題意：，，所以Q是線段的中點，所以.又直線，是雙曲線的漸近線，由雙曲線對稱性知，所以，所以，所以，所以離心率.13．【答案】【詳解】由弦長為，結合垂徑定理可得：，解得，結合已知點，可得：所以.14．【答案】6【詳解】若其中一行4個格點均涂成灰色，則每一列均不能再涂灰色，此時紅色的格點數目為4；若其中一行有3個格點涂成灰色，則這三個紅色格點所在的列均不能再涂灰色，且剩余一列至多3個格點可以涂成灰色，此時灰色的格點數目最多為6；若每一行有2個格點可以涂成灰色，這三個紅色格點所在的列均不能再涂灰色，且剩余2列至多3個格點可以涂成灰色，此時灰色的格點數目最多為5；若每行4個格點均只有1個或0個涂成灰色，符合題意，但灰色的格點數目不為最多；綜上所述：染為灰色的格點數目最多為6.15．【答案】（1）（2）條件選擇見解析，答案見解析【詳解】（1）由正弦定理，且，得，即．由，得．所以．由，得，所以．（2）選擇條件①：因為，且余弦函數在上單調遞減，故，又因為，從而可得，與三角形的內角和定理矛盾，故①不成立.選擇條件②：由，且，得．由余弦定理，得，解得或（舍）．設邊上的高為，則三角形面積，所以．選擇條件③：由，且，得．由，且，得．所以．由正弦定理，得，所以邊上的高．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為，可得，解得，橢圓.（2）設直線，聯立方程組，整理得，則且，可得，所以，設，則，則直線的方程為，與直線交于點，直線的方程為，與直線交于點，當時，且，則，將，代入可得，所以，解得，所以斜率的取值范圍為．17．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）因為底面是平行四邊形，且是等邊三角形，所以四邊形是菱形，則有，又平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面；（2）設，∵是等腰三角形，∴，，以O為坐標原點，射線，分別為x軸，y軸的正半軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，所以，，設與所成角為，所以，即與所成角的余弦值為.18．【答案】(1)和；(2)；(3)曲線在點處的切線斜率小于兩點連線的斜率；【詳解】（1）由，，令，得或，由于，則，令，解得或，所以的單調增區間為和.（2）當時，，且，又，即在上單調遞增，所以的解集為.（3）設，，，且，，曲線在點處切線斜率為，兩點連線斜率為，，令，則，令，，則，令，，即在上單調遞減，，即，所以在上單調遞減，故，，又，即，所以，即，所以曲線在點處切線斜率小于兩點連線斜率.19．【答案】（1）具有，理由見解析；（2）不存在，理由見解析；（3）.【詳解】（1）根據定義知取，有；取，有，取，有，即對