專題14全等三角形中動點(diǎn)問題的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、分類討論的動點(diǎn)問題 1類型二、分動點(diǎn)相遇問題 3類型三、動點(diǎn)中的線段關(guān)系 5類型四、動點(diǎn)與面積 7壓軸能力測評 9全等三角形中的動點(diǎn)問題，通過點(diǎn)的運(yùn)動，用代數(shù)式表示線段的大小，從而尋找線段間的等量關(guān)系，建立方程，進(jìn)而快速解題。策略：①明晰點(diǎn)的運(yùn)動方向和運(yùn)動速度；②根據(jù)已知和求證的目標(biāo)，尋求線段或角之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決問題。注意：很多情況下，在不明確對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的時候，注意分類討論的問題。類型一、分類討論的動點(diǎn)問題例．如圖（1），，，，．點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為．(1)如圖（1）若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度相等，當(dāng)時，①與是否全等，請說明理由；②判斷線段和線段的關(guān)系？(2)如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其他條件不變，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B分別為x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點(diǎn)，；(1)分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒．點(diǎn)P在動過程中，若，求此時t的值；(3)在（2）的條件下，連接，過點(diǎn)A作垂足為C，交y軸交于點(diǎn)M，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以B、A、M為頂點(diǎn)的三角形與全等（點(diǎn)N不與點(diǎn)M重合），若存在，請求出N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存，在請說明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動．點(diǎn)和點(diǎn)分別以和的速度同時開始運(yùn)動，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時才能停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為．在某時刻，分別過點(diǎn)和作于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，且點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時，①用含的式子分別表示和：________，________．②當(dāng)時，與全等嗎？請說明理由．(2)當(dāng)時，與有沒有可能全等？若有可能，直接寫出符合條件的值；若不可能，請說明理由．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），在中，，，，，現(xiàn)有一動點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動，回到點(diǎn)停止，速度為，設(shè)運(yùn)動時間為．(1)如圖（1），當(dāng)________時，的面積等于面積的一半：(2)如圖（2），在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點(diǎn)，與點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動過程中的某一時刻，恰好全等于，求點(diǎn)的運(yùn)動速度．類型二、分動點(diǎn)相遇問題例．如圖，已知中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動．①若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過秒后，與是否全等，請說明理由．②若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為___時，在某一時刻也能夠使與全等．(2)若點(diǎn)以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)同時出發(fā)，都按逆時針方向沿的三邊運(yùn)動．求經(jīng)過多少秒后，點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，并寫出第一次相遇點(diǎn)在的哪條邊上？【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2cm的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(秒)．(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長度；(2)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；(3)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？(4)若點(diǎn)Q以（3）中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都順時針沿三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知正方形的邊長為20cm，點(diǎn)E在AB邊上，．(1)如果點(diǎn)P在線段上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q同時在線段上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動，①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等？并說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，？(2)如果點(diǎn)P，點(diǎn)Q不同時出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)1秒時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，兩點(diǎn)都沿正方形四邊逆時針運(yùn)動，點(diǎn)P的運(yùn)動速度是點(diǎn)Q運(yùn)動速度的1.2倍，點(diǎn)P運(yùn)動96cm時與點(diǎn)Q相遇，求點(diǎn)Q的運(yùn)動速度．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P在線段上以的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過后，與是否全等？說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)時間t為何值時，與全等？求出此時點(diǎn)Q的運(yùn)動速度(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)A同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運(yùn)動，請直接寫出：①經(jīng)過多少秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇？②點(diǎn)P與點(diǎn)Q第2023次相遇在哪條邊上？類型三、動點(diǎn)中的線段關(guān)系例．【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，已知垂足分別為點(diǎn)A，B．若，，探究與的關(guān)系，并說明理由．【嘗試應(yīng)用】如圖2，垂足分別為點(diǎn)A，B，．點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在射線上以同樣的速度運(yùn)動，它們運(yùn)動的時間為（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束時，點(diǎn)Q運(yùn)動隨之結(jié)束）．當(dāng)時，判斷此時線段和線段的關(guān)系，并說明理由．【拓展提高】如圖3，在【嘗試應(yīng)用】的基礎(chǔ)上，把“”改為“”，若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為，其它條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動到何處時有與全等，求出相應(yīng)的x的值．【變式訓(xùn)練1】．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動．同時，點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束時，點(diǎn)Q運(yùn)動隨之結(jié)束）．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)時，①試說明．②此時，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請說明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動到某處時，有和全等，求出此時的x，t的值．【變式訓(xùn)練2】．點(diǎn)是正方形對角線上一動點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且，連接，O為中點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，連接交于點(diǎn)，①試判斷的形狀，并說明理由；②若正方形邊長為4，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的長為______．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，試探究線段，，的等量關(guān)系，并說明理由．(3)若，連接，取的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為______．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），，，，．點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，它們運(yùn)動的時間為（1）若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度相等，當(dāng)時，判斷線段與滿足的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其它條件不變．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．

類型四、動點(diǎn)與面積 例．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)B為x軸正半軸上一個動點(diǎn)，以為邊作，使，，且點(diǎn)C在第一象限內(nèi)．(1)如圖1，若，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)如圖2，過點(diǎn)B向x軸上方作，且，在點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，探究點(diǎn)C，D之間的距離是否為定值．若為定值，求出該定值，若不是，請說明理由．(3)如圖3，過點(diǎn)B向x軸下方作，且，連結(jié)交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)?shù)拿娣e是的面積的2倍時，求的長．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的邊在x軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)，且．已知點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts．(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時，用含t的代數(shù)式表示的面積；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動時，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使與全等？若存在，請求出t的值，并直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖①，在中，，．現(xiàn)有一動點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動，回到點(diǎn)停止，速度為．設(shè)運(yùn)動時間為．

(1)當(dāng)時，；當(dāng)時，；(2)如圖①，當(dāng)時，的面積等于面積的一半；(3)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點(diǎn)，與點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動過程中的某一時刻，恰好與全等，請直接寫出點(diǎn)的運(yùn)動速度．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，在長方形ABCD中，AD＝3cm，DC＝5cm．點(diǎn)P從D出發(fā)，以1cm/s的速度在射線DC上運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．(1)t＝s時，DP＝AD；(2)當(dāng)t為何值時，△APC的面積等于6cm2；(3)如圖2，當(dāng)P從D點(diǎn)開始運(yùn)動的同時，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以xcm/s的速度在線段CB上運(yùn)動，是否存在這樣的x的值，使得△ADP與△PCQ全等？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．1．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點(diǎn)P在線段上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動．同時，點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束時，點(diǎn)Q運(yùn)動隨之結(jié)束）．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)時，①試說明．②此時，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請說明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcm/s，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動到某處時，有和全等，求出此時的x，t的值．2．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，滿足，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，．（1）如圖1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)從出發(fā)以每秒1個單位長度向點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動時間為，設(shè)的面積為，求與的關(guān)系，并寫出的取值范圍；（3）在（2）的條件下，如圖3，延長交于點(diǎn)，若，求與的比值．3．如圖①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N是動點(diǎn)，分別從A，C出發(fā)，以相同的速度沿AC，CB邊上運(yùn)動．（1）判斷DM與DN的關(guān)系，并說明理由；（2）若AC=BC=2，請直接寫出四邊形MCND的面積；（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到C點(diǎn)后，將改變方向沿著CB運(yùn)動，此時，點(diǎn)N在CB延長線上，過M作ME⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥DB交DB延長線于F，求證：ME=NF．4．如圖1，在中，，，是過的一條直線，且，在的異側(cè)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何，請證明；(3)若直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3時，其余條件不變，與，的關(guān)系怎樣？請直接寫出結(jié)果，不須證明．(4)歸納（1），（2），（3），請用簡捷的語言表述與，的關(guān)系．5．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線以每秒6個單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，，兩點(diǎn)同時出發(fā)．分別過，兩點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為．(1)當(dāng)，兩點(diǎn)相遇時，求的值；(2)在整個運(yùn)動過程中，求，的長；（用含的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)與全等時，求的值．6．如圖所示，在中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)在線段上由點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．

(1)若點(diǎn)與點(diǎn)的速度都是，則經(jīng)過多長時間與全等？請說明理由．(2)若點(diǎn)的速度比點(diǎn)的速度慢，則經(jīng)過多長時間與全等？請求出此時兩點(diǎn)的速度．(3)若點(diǎn)、點(diǎn)分別以（2）中的速度同時從點(diǎn)，出發(fā)，都按逆時針方向沿三邊運(yùn)動，則經(jīng)過多長時間點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇？相遇點(diǎn)在的哪條邊上？請求出相遇點(diǎn)到點(diǎn)B的距離．7．如圖，已知中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．①若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過后，與是否全等？請說明理由；②若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為多少時，能夠使與全等？若點(diǎn)以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運(yùn)動，經(jīng)過多長時間點(diǎn)與點(diǎn)第一次在的哪條邊上相遇？8．（動點(diǎn)、全等）如圖，在中，，高、相交于點(diǎn)O，，且．(1)求線段的長；(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以每秒4個單位長度的速度運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出相應(yīng)的t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)F是直線上的一點(diǎn)且．是否存在t值，使以點(diǎn)B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、Q為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請直接寫出符合條件的t值；若不存在，請說明理由．9．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長