專題12全等三角形模型之手拉手和角平分線模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、手拉手模型 3類型二、角平分線模型 8壓軸能力測評 12模型五：手拉手模型【模型分析】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，也叫旋轉型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。【模型圖示】公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應操作：左手拉左手（即連結BD），右手拉右手（即連結CE），得。【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）模型六：角平分線模型【模型1】：如圖一，角平分線+對稱型CCＣOBＢAAAＮＭ圖一利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧。【理論依據】：三邊對應相等的三角戲是全等三角形ＣＯＢ（SSS）、全等三角形對應角相等ＣＯＢ【模型2】：如圖二，角平分線+垂直兩邊型角平分線性質定理：角的平分線上的點作角兩邊垂直段構成的兩個RT三角形全等．如圖二【幾何語言】：∵OC為∠AOB的角平分線，D為OC上一點DE⊥OA，DF⊥OB∴，∴DE=DF【模型3】如圖三，角平分線+垂直角平分線型如圖三【說明】：構造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯系了起來。【模型4】角平分線+平行線型如圖四【說明】：有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形，為證明結論提供更多的條件，體現了角平分線與等腰三角形之間的密切關系。類型一、手拉手模型【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）例．如圖，C為線段AE上一動點（不與點，重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下結論錯誤的是（

）

A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【變式訓練1】．如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結，若，，則（

）A． B． C．4 D．【變式訓練2】．如圖，正和正中，B、C、D共線，且，連接和相交于點F，以下結論中正確的有（

）個①

②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【變式訓練3】．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，點P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點．把△ADE繞點A在平面自由旋轉，則△PQR的面積不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式訓練4】．【發現問題】

（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數量關系是______．（2）將圖1中的繞點旋轉到圖2的位置，直線和直線交于點．①判斷線段和的數量關系，并證明你的結論；②圖2中的度數是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數，線段、間的數量關系，并說明理由．【變式訓練5】．如圖，在和中，，，若，連接、BD交于點；(1)求證：．(2)求的度數．(3)如圖(2)，是等腰直角三角形，，，，點是射線AB上的一點，連接CD，在直線AB上方作以點為直角頂點的等腰直角三角形，連接，若，求的值．【變式訓練6】．如圖1，在等腰三角形中，，，點分別在邊上，，連接，點分別為的中點．

(1)觀察猜想：圖中，線段與的數量關系是_______，的大小是_______；(2)探究證明：把繞點順時針方向旋轉到圖的位置，連接，判斷的形狀，試說明理由；(3)拓展延伸：把繞點在平面內自由旋轉，若，，請直接寫出面積的最大值．【變式訓練7】．在中，，點是直線上一點（不與、重合），把線路繞著點逆時針旋轉至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當點在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設，，當點在線段上移動時，，的數量關系是什么？請說明理由．

(4)設，，當點在直線上移動時，請直接寫出，的數量關系，不用證明．【變式訓練8】．如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．類型二、角平分線模型【模型1】：如圖一，角平分線+對稱型【模型2】：如圖二，角平分線+垂直兩邊型【模型3】如圖三，角平分線+垂直角平分線型【模型4】角平分線+平行線型例．如圖，已知平分，則的度數為（

）A． B． C． D．【變式訓練1】．如圖，在中，，和的平分線、相交于點，交于點，交于點，若已知周長為，，，則長為（）A． B． C． D．4【變式訓練2】．如圖，為的角平分線，且，為延長線上的一點，，過作，為垂足．下列結論：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【變式訓練3】．如圖，中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點，則下列結論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式訓練4】．已知，是的平分線．三角板的直角頂點在射線上移動，(1)在圖1中，三角板的兩直角邊分別與，交于，，求證：；(2)在圖2中，三角板的一條直角邊與交于點，另一條直角邊與的反向延長線交于點，猜想此時（1）中的結論是否成立，畫出圖形，并說明理由．【變式訓練5】．閱讀與思考下面是小明同學的數學學習筆記，請您仔細閱讀并完成相應的任務：構造全等三角形解決圖形與幾何問題在圖形與幾何的學習中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構造全等三角形，運用全等三角形的性質解決問題．例：如圖1，是內一點，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點作交延長線于點，、交于點，

平分，．，．在和中，，（依據1）（依據2），，，．……任務一：上述解答過程中的依據1，依據2分別是___________，___________；任務二：請將上述解答過程的剩余部分補充完整；應用：如圖3，在中，，，平分交于點，過點作交延長線于點．若，求的長．

【變式訓練6】．如圖，四邊形中，平分，于點，．求證：．【變式訓練7】．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數量關系，并證明．【變式訓練8】．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．1．兩個大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個三角板抽象成如圖2所示的和，其中，點、、依次在同一條直線上，連結．若，，則的面積是．2．如圖，，均是等邊三角形，點A，C，B在同一條直線上，且，分別與，交于點M，N，連結．則下列結論：（1）；（2）為等邊三角形；（3）平分；（4）；（5）平分．其中正確的有（

）3．已知，如圖，等腰?ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一點，且AD＝6，E為AC邊上一動點，以DE為邊向右側作等邊三角形DEF．（1）當F在AC邊上時，AF長為；（2）連結BF，則BF的取值范圍為．4．如圖，在銳角中，，，的平分線交于點D，點M，N分別是和上的動點，則的最小值是．

5．如圖中，，分別作的兩個內角平分線和，、相交于點，連接，有以下結論：①；②平分；③；④，其中正確的結論有．

6．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長是．7．在平面直角坐標系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b滿足，C、D兩點分別是y軸正半軸、x軸負半軸上的兩個動點；（1）如圖1，若C（0，4），求△ABC的面積；（2）如圖1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D點的坐標；（3）如圖2，若∠CBA=60°，以CD為邊，在CD的右側作等邊△CDE，連接OE，當OE最短時，求A，E兩點之間的距離．8．在ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）（請直接寫出你的結論）如圖1，當點D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；（2）設∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當點D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數量關系？請說明理由；②當點D在直線BC上移動，則α、β之間有怎樣的數量關系？請畫出圖形，并直接寫出你的結論．9．已知：ΔABC中，為的中點，平分于，連結，若，求的長．10．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題:如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，