重難點02幾何體的表面積、體積、軸截面、多面體與球體內切外接問題（重難點突破解題技巧與方法）技巧技巧方法1.求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積2.求體積的常用方法直接法對于規則的幾何體，利用相關公式直接計算割補法首先把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換3.幾何體的外接球：一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.幾何體的內切球：求解多面體的內切球問題，一般是將多面體分割為以內切球球心為頂點，多面體的各側面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內切球的半徑.4.截面問題：在高考立體幾何考點中涉及到空間幾何體的截面的地方較多，如:判斷截面的形狀、計算出空間幾何體的截面周長或面積、或者求與之相關的體積問題、以及最值問題都在考察之列，但是要順利地解決前面所提到的諸多問題，關鍵是根據題意作出截面，并判斷其形狀.能力拓展能力拓展題型一：柱、錐、臺體的表面積、體積、軸截面一、填空題1．（2021·上海·格致中學高二期中）已知一個圓錐的側面展開圖恰好是一個半圓，任取圓錐的兩條母線a，b，則a，b所成角的最大值為______．【答案】【分析】由題意可得圓錐的母線長和底面半徑長的關系，可知軸截面是等邊三角形，即可求解.【詳解】設圓錐的母線長為，底面半徑長為，則，解得，所以圓錐的軸截面是等邊三角形.任取圓錐的兩條母線，，如圖：當，為軸截面的兩條母線時，，所成角最大為.故答案為：.2．（2022·上海浦東新·高二期末）已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則此三棱錐的體積為___________【答案】【分析】根據題意條件，計算出底面積，然后再利用，計算可求解出體積.【詳解】如圖，過點作底面的投影，連接，取的中點，連接，在正三棱錐中，底面為正三角形，邊長為4，所以，，而為該正三棱錐的高，長為2，所以.故答案為：.3．（2022·上海·復旦附中高二期中）如圖所示，過三棱臺上底面的一邊，作一個平行于棱的截面，與下底面的交線為DE．若D、E分別是AB、BC的中點，則______．【答案】【分析】證得，然后結合棱臺與棱柱的體積公式即可求出結果.【詳解】因為平面，且平面平面，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，且E分別是BC的中點，所以，同理，因此，設上底面的面積為，高為，則下底面的面積為，所以，故答案為：.二、解答題4．（2021·上海·西外高二期中）設四邊形ABCD為矩形，點P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，若|PA|＝|AB|＝1，|BC|＝2.(1)求四棱錐P－ABCD的體積；(2)在BC邊上是否存在一點G，使得點D到平面PAG的距離為，若存在，求出|BG|的值，若不存在，請說明理由；(3)若點E是PD的中點，在△PAB內確定一點H，使|CH|＋|EH|的值最小，并求此時|HB|的值.【答案】(1)；(2)存在，|BG|＝1；(3)位置答案見解析，值為.【分析】(1)根據棱錐的體積計算公式計算即可；(2)假設邊上存在一點滿足題設條件，作，可證明平面，從而得到，由此求解；(3)延長到，使得，連結，過作于，利用三點共線，兩線段和最小，得到＝，過作于，連結，在△中，求解即可．(1)由題可知；(2)假設邊上存在一點滿足題設條件，作，則DQ⊥PA，則平面，故，由，則則則則則故存在點G，且當G是BC中點時，點D到平面PAG的距離為，此時|BG|＝1；(3)延長到，使得，連結，過作于，則，當且僅當、、三點共線時等號成立，故，過作于，連結，在△中，，，∴．5．（2021·上海·華東師范大學第三附屬中學高二期中）如圖所示，圓錐的底面圓半徑，母線.(1)求此圓錐的體積和側面展開圖扇形的面積；(2)如圖，半平面與半平面所成二面角大小為，設線段中點為，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)體積為，側面展開圖扇形的面積為.(2)【分析】（1）利用錐體的體積公式以及扇形的面積公式可求得結果；（2）取的中點，連接、，分析可知異面直線與所成的角為或其補角，計算出三邊邊長，利用余弦定理可求得結果.(1)解：由題意可知，，圓錐的體積為，該圓錐的側面展開圖扇形的面積為.(2)解：在圓錐中，平面，、平面，，，所以，二面角的平面角為，取的中點，連接、，、分別為、的中點，則且，所以，異面直線與所成的角為或其補角，，，則，，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得.因此，異面直線與所成角的余弦值為.6．（2021·上海市延安中學高二期中）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，.(1)證明：平面；(2)設，圓錐的側面積為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據題意，先證明平面，進而可得，，再結合，即可證明平面；（2）根據題意，結合勾股定理與側面積公式，即可求出圓錐底面半徑為和母線長為，再根據棱錐的體積公式，即可求解.(1)證明：如圖，連接并延長，交于點.∵為外接圓的圓心，∴，即.在圓錐中，易知平面，∵平面，∴，∵平面，平面，且，∴平面，∴，∵，∴，又∵平面，平面，且，∴平面.(2)設圓錐底面半徑為，母線長為，∵，且圓錐的側面積為，∴，解得.∵，，∴，即，∵，∴，且，∴.題型二：多面體與球體內切外接問題一、單選題1．（2021·上海·曹楊二中高二階段練習）半徑為5的球內有一個高為8的正四棱錐，則該球與該內接正四棱錐體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意畫出圖形，設正四棱錐，的中點為，連接并延長交球于，得，，根據求出，再由勾股定理求出球內接正四棱錐的底面邊長，最后根據球的體積公式和棱錐的體積公式，分別求出球與該內接正四棱錐的體積，即可得出答案．【詳解】解：由題可知，正四棱錐的高為8，外接球半徑為5，如圖，設正四棱錐，的中點為，連接并延長交球于，可知底面，且，則，，，即，得，，，球的體積為：，該內接正四棱錐體積為：，球與該內接正四棱錐的體積之比為：.故選：B.2．（2021·上海市復興高級中學高二期中）在三棱錐中，，，二面角是鈍角.若三棱錐的體積為.則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，可得為二面角的平面角且平面；利用三棱錐體積可構造方程求得，將三棱錐補為長方體，則長方體外接球即為三棱錐的外接球，通過求解長方體外接球表面積即可得到結果.【詳解】如圖（1），取的中點，連接，，，，為二面角的平面角，平面.取的中點，連接，設，在中，，，則，，化簡得：，解得：或，當時，，不合題意，舍去，.

圖（1）

圖（2）如圖（2），把三棱錐補形成長方體，使三棱錐的各棱分別是長方體的面對角線，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球.設，則，解得：，外接球的直徑為，四面體外接球的表面積為.故選：.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求解問題，涉及到三棱錐體積的應用；解題關鍵是能夠通過將三棱錐補為長方體，通過求解長方體的外接球來求得結果.3．（2021·上海市松江二中高二期中）已知一圓錐底面圓的直徑為3，圓錐的高為，在該圓錐內放置一個棱長為的正四面體，并且正四面體在該幾何體內可以任意轉動，則的最大值為（

）A．3 B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，該四面體內接于圓錐的內切球，通過內切球即可得到的最大值．【詳解】依題意，四面體可以在圓錐內任意轉動，故該四面體內接于圓錐的內切球設球心為，球的半徑為，下底面半徑為，軸截面上球與圓錐母線的切點為，圓錐的軸截面如圖：則，因為，故可得：；所以為等邊三角形，故是的中心，連接，則平分，所以；所以，即，即四面體的外接球的半徑為．另正四面體可以從正方體中截得，如圖：從圖中可以得到，當正四面體的棱長為時，截得它的正方體的棱長為，而正四面體的四個頂點都在正方體上，故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，所以，所以．即的最大值為．故選：B．【點睛】本題考查了正四面體的外接球，將正四面體的外接球轉化為正方體的外接球，是一種比較好的方法，本題屬于難題．二、填空題4．（2021·上海市控江中學高二期中）直三棱柱的所有頂點都在球O的球面上，，，，，則球O的體積是__________．【答案】【分析】把直三棱柱補成長方體，求出外接球的直徑即得解.【詳解】把直三棱柱補成長方體，則直三棱柱和長方體的外接球重合，外接球的直徑，故球的體積．故答案為：5．（2021·上海·華師大二附中高二期中）已知三棱錐的側棱兩兩互相垂直，且該三棱錐的外接球的體積為，則該三棱錐的側面積的最大值為________.【答案】18【分析】由題意將該三棱錐補成一個長方體，由球的體積公式可得外接球的半徑，令，，，進而可得，再利用基本不等式即可得解.【詳解】由題意以該三棱錐的三條側棱為長、寬、高，將該三棱錐補成一個長方體，長方體的體對角線就是外接球的直徑，令，，，外接球的半徑為，根據三棱錐外接球的體積為，可得球的半徑，則，所以該三棱錐的側面積，當且僅當時，等號成立.故該三棱錐的側面積的最大值為18.故答案為：18.【點睛】本題考查了幾何體的外接球相關問題的求解及基本不等式的應用，考查了運算求解能力與轉化化歸思想，屬于中檔題.6．（2021·上海·高二專題練習）如圖，邊長為2的正方形中，點、分別是邊、的中點，、、分別沿、、折起，使、、三點重合于點，若四面體的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積為________.【答案】【分析】把棱錐擴展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑，就是三棱錐的外接球的半徑，由此能求出該球的表面積，得到答案．【詳解】由題意，知是等腰直角三角形，且平面，三棱錐的底面擴展為邊長為1的正方形，然后擴展為正四棱柱，三棱錐和外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，正四棱柱的對角線長就是外接球的直徑，所以球的半徑，所以該球的表面積為．故答案為．【點睛】本題主要考查了球的表面積的求法，同時考查空間幾何體的結構特征的應用，著重考查了推理與論證能力，以及運算能力，屬于中檔試題．7．（2021·上海市西南位育中學高二期中）已知三棱錐中，兩兩垂直，且長度相等，若都在半徑為1的同一球面上，則球心到平面的距離為__________.【答案】【分析】由彌補法知三棱錐的外接球為以為相鄰三條棱的正方體的外接球，球心到平面的距離即為正方體中心到平面的距離，利用等體積法可求得到平面的距離，進而求得答案.【詳解】因為三棱錐中，兩兩垂直，且長度相等，所以此三棱錐的外接球即為以為相鄰三條棱的正方體的外接球，又球的半徑為1，所以正方體的棱長為，即球心到平面的距離即為正方體中心到平面的距離，設到平面的距離為，則正三棱錐的體積等邊的邊長為，所以球心到平面的距離為故答案為：【點睛】方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用長方體的外接球求解．8．（2022·上海奉賢區致遠高級中學高二期末）設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.【答案】【分析】求出等邊的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設點M為的重心，E為AC中點，當點在平面上的射影為時，三棱錐的體積最大，此時，，點M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查球的內接多面體，棱錐的體積的求法，要求內接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學生的空間想象能力與數形結合思想，及運算能力，屬于中檔題.三、解答題9．（2021·上海·華師大二附中高二期中）已知正方體.(1)若正方體的棱長為1，求點到平面的距離；(2)在一個棱長為10的密封正方體盒子中，放一個半徑為1的小球，任意搖動盒子，求小球在盒子中不能達到的空間的體積；(3)在空間里，是否存在一個正方體，它的定點到某個平面的距離恰好為0、1、2、3、4、5、6、7，若存在，求出正方體的棱長，若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，棱長為【分析】（1）利用等體法：即可求解.（2）求出小球在正方體的個頂點以及條棱處不能到達的空間，利用球的體積公式以及柱體體積公式即可求解.（3）設平面為符合題意的平面，過點，延長分別交平面于點,由題意可得，設正方體的棱長為，根據，求出點到平面的距離，進而得出正方體的棱長.(1)正方體的棱長為1，設點到平面的距離為，由，則，即，解得.(2)在正方體的個頂點處的單位立方體空間內，小球不能到達的空間為：，除此之外，以正方體的棱為一條棱的個的正四棱柱空間內，小球不能到達的空間共，其它空間小球均能到達，故小球不能到達的空間體積為：（）(3)設平面為符合題意的平面，過點，延長分別交平面于點,由圖可知，點與平面的距離分別應為0、1、2、3、4、5、6、7，因為互相平行，所以它們與平面所成角相等，故由比例關系得.設正方體的棱長為，則，用幾何方法可解得，，故，由平面，知為四面體的底面上的高，所以由，算得點到平面的距離，，實際上已知，所以，從而可得，所以正方體的棱長為，由圖可知，該正方體存在.10．（2019·上海·華師大二附中高二期中）平面圖形很多可以推廣到空間中去，例如正三角形可以推廣到正四面體，圓可以推廣到球，平行四邊形可以推廣到平行六面體，直角三角形也可以推廣到直角四面體，如果四面體中棱兩兩垂直，那么稱四面體為直角四面體.請類比直角三角形中的性質給出2個直角四面體中的性質，并給出證明.（請在結論中選擇1個，結論4，5中選擇1個，寫出它們在直角四面體中的類似結論，并給出證明，多選不得分，其中表示斜邊上的高，分別表示內切圓與外接圓的半徑）直角三角形直角四面體條件結論1結論2結論3結論4結論5【分析】結論1：分別表示，然后證明結論2：在中利用等面積法，表示出高，然后分別表示，再證明結論3：利用結論2中得到的的表達式，再表示出，再證明結論4：內切球的球心與四個頂點相連接，把三棱錐分成四個小的三棱錐，利用進行證明結論5：將直角四面體補形成為以為長、寬、高的長方體，再進行證明.【詳解】記的面積依次為，平面與所成角依次為，點到平面的距離為分別表示內切球與外接球的半徑，內切球的球心為，直角三角形直角四面體條件結論1結論2結論3結論4結論5證明：設，過作，垂足為，聯結，過作，垂足為，易證：，平面，則，結論1：，在中，，s；結論2：，∴．同理，，∴；結論3：∵，∴，又，∴結論4：，∴.從而，即；結論5：將直角四面體補形成為以為長、寬、高的長方體，則長方體的體對角線即為直角四面體ABCD的外接球的直徑，即.【點睛】本題考查平面圖形向立體圖形的推廣，涉及到側面積的表示，線面角的表示，幾何體的體積分割法求內切球半徑，補齊幾何體求外接球半徑等，屬于難題.鞏固鞏固練習一、單選題1．（2022·上海市楊浦高級中學高二期末）大數學家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數學發現的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀念阿基米德發現球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C2．（2022·上海·復旦附中高二期中）為提高學生數學學習的積極性，復旦附中聯合浦東分校、青浦分校、復旦中學組織了復旦附中月度數學學科知識競賽．本次比賽的年度總冠軍獎杯由一個銅球O和一個底座組成，如圖（1）所示，已知球的體積為，底座由邊長為12的正三角形銅片ABC沿各邊中點的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖（2）所示．則在圖（1）所示的幾何體中，下列結論中正確的是（

）A．CD與BE是異面直線B．異面直線AB與CD所成角的大小為45°C．由A、B、C三點確定的平面截球所得的截面面積為D．球面上的點到底座底面DEF的最大距離為【答案】C【分析】取中點N，M，利用給定條件證明，推理判斷A，B；求出外接圓半徑，結合球面截面圓性質計算判斷C，D作答.【詳解】取中點N，M，連接，如圖，因為正三角形，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，同理平面，即，，因此，四邊形是平行四邊形，有，則直線CD與BE在同一平面內，A不正確；由選項A，同理可得，則異面直線AB與CD所成角等于直線DF與CD所成角，B不正確；由選項A知，，同理可得，正外接圓半徑，由A、B、C三點確定的平面截球所得的截面圓是的外接圓，此截面面積為，C正確；體積為的球半徑，由得，由選項C知，球心到平面的距離，由選項A，同理可得點A到平面的距離為，即平面與平面的距離為，所以球面上的點到底座底面DEF的最大距離為，D不正確.故選：C【點睛】易錯點睛：異面直線所成的角的取值范圍是，當求出角的余弦值為負時，要取其相反數作為異面直線夾角余弦．二、填空題3．（2022·上海交大附中高二階段練習）己知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則三棱錐的表面積是_________．【答案】【分析】畫出圖形，求出底面積和側面積，從而求出表面積.【詳解】如圖，正三棱錐OABC，高OM=2，取BC中點N，連接AN，ON，則M在線段AN上，且，由AB=4，BN=2，由勾股定理得：，所以，，所以，，所以三棱錐的表面積為.故答案為：4．（2018·上海市金山中學高二期中）已知長方體的三條棱長分別為，，，并且該長方體的八個頂點都在一個球的球面上，則此球的表面積為____________．【答案】【詳解】5．（2022·上海市建平中學高二階段練習）正四面體邊長為4，則其體積為_________【答案】【分析】由正四面體性質求體高，再應用棱錐的體積公式求體積即可.【詳解】由正四面體的體高為，則，可得，所以體積為.故答案為：6．（2021·上海市市西中學高二期中）如圖，在正三角形ABC中，E、F依次是AB、AC的中點，AD⊥BC，EH⊥BC，FＧ⊥BC，D、H、G為垂足，若將正三角形ABC繞AD旋轉一周所得的圓錐的體積為V，則其中由陰影部分所產生的旋轉體的體積與V的比值是______________.【答案】【分析】利用圓錐的體積公式及圓柱的體積公式即求.【詳解】由題可知由陰影部分所產生的旋轉體的體積為將正三角形ABC繞AD旋轉一周所得的圓錐的體積與四邊形EFGH旋轉一周所得的圓柱的體積的差，設圓錐的高為h，底面半徑為r，則圓柱的高為，底面圓的半徑為，則，即由陰影部分所產生的旋轉體的體積與V的比值是.故答案為：7．（2021·上海市南洋模范中學高二期中）一矩形的一邊在軸上，另兩個頂點在函數的圖像上，如圖，則此矩形繞軸旋轉而成的幾何體的體積的最大值是___________.【答案】【分析】先利用基本不等式求出的取值范圍，再設點，的坐標，由，的縱坐標相同，得到，從而得到，再利用圓柱的體積公式以及基本不等式，即可得到答案.【詳解】由，又，則，當且僅當時取等號，∴，且，∵矩形繞軸旋轉而成的幾何體為圓柱，設,，,，如圖所示，則圓柱的底面圓的半徑為，高為，且，，∴，即，由，可得，∴，故，∴圓柱的體積為，當且僅當時取等號，∴此矩形繞軸旋轉而成的幾何體的體積的最大值是.故答案為：.8．（2021·上海市南洋模范中學高二期中）如圖，已知半徑為2的球的直徑垂直于平面，垂足為，△是平面內邊長為2的正三角形，線段，分別與球面交于點，，則三棱錐的體積為___________.【答案】QUOTE64375【分析】由已知證明三角形相似可得，得到求出三棱錐的體積為把代入得答案.【詳解】，，，半徑為的球的直徑垂直于面，垂足為，△是面內邊長為的正三角形，線段，分別與球面交于點，，，，則，易知：，同理有，∴三棱錐的體積為，又，三棱錐的體積為.故答案為：9．（2021·上海·格致中學高二期中）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為______．【答案】【分析】設球的半徑為，根據已知條件得出正方體上底面截球所得的截面圓的半徑，球心到截面圓圓心的距離，利用勾股定理即可求出球的半徑，再帶入球體積公式即可.【詳解】由題意得正方體上底面到水面的高為，設球體的半徑為，由題意如圖所示：三角形為直角三角形，為球與正方體的交點，則，，，所以：，解得，所以球的體積.故答案為：10．（2021·上海·閔行中學高二期中）如圖，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，是邊長為6的正三角形，二面角的大小為120°，則球的體積為______．【答案】【分析】因為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，其中的外心就是其中心，的外心是的中點，由此可構造直角三角形求解的長，再利用球的體積公式求解即可．【詳解】解：取的中點，連接，設為的外心，則點在上且，因為，則為的外心，根據球的幾何性質，則平面，平面，因為二面角的大小為，平面平面，則二面角的大小為，所以，因為是邊長為6的正三角形，則，所以，在