目錄

第一講速算與巧算

計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、

快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計

算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。

森林王國的歌舞比賽進行得既緊張又激烈。選手們為爭奪冠軍，都在舞臺上

發揮著自己的最好水平。臺下的工作人員小熊和小白兔正在統計著最后的得分。

由于他們對每個選手分數的與時通報，臺下的觀眾頻頻為選手取得的好成績而熱

烈鼓掌，同時，觀眾也帶著更濃厚的興趣邊看邊猜測誰能拿到冠軍。

觀眾的情緒也影響著兩位分數統計者。只見分數一到小白兔手中，就像變魔術般

地得出了答案。等小熊滿頭大汗地算出來時，小白兔已欣賞了一陣比賽，結果每

次小熊算得結果和小白兔是一樣的。小熊不禁問：“白兔弟弟，你這么快就算出

了答案，有什么決竅嗎？”

小白兔說：“比如號選手是......去掉最高分，去掉最低分，剩下的都

接近為基準數，超過的表示成‘零頭數'，不足的表示成一‘零頭數于是()

：()：o你可以試一試?！?/p>

小熊照著小白兔說的去做，果然既快又對。這下小熊明白了，掌握了速算的

技巧，在工作和生活中的作用很大。它不僅可以節省運算時間，更主要的是提高

了我們的工作效率。

我們在進行速算時，要根據題目的具體情況靈活運用有關定律和法則，選擇

合理的方法。下面介紹在整數加減法運算中常用的幾種速算方法。

(一)加減法中的計算

一、例題與方法指導:

例、用簡便方法計算下面各題：

()()

例、用簡便方法計算計算下面各題：

⑴---------()一十

例、用簡便方法計算計算下面各題:

⑴+(-)⑵+一

例、計算(+++++)—(+++++)

二、訓練鞏固

.用簡便方法計算計算下面各題:

⑴+++⑵+++

.下面各題，怎樣簡便就怎樣計算:

⑴+⑵一

.計算：

⑴+++⑵++++

.計算：

(1)++++++++

三、拓展提升

用簡便方法計算下面各題：

(1)+++(2)4-+++

下面各題，怎樣簡便就怎樣計算：

(1)+++++++++

(2)+——++——++——++——++——

計算下面各題：

(1)(++++++++)-(++++++++)

(2)(+++……++)—(+++……++)

(二)乘除法中的計算

一、例題與方法指導：

兩個數之和等于，則稱這兩個數互補。在整數乘法運算中，常會遇到像X,

x等被乘數與乘數的H立數字相同或互補，或被乘數與乘數的個位數字相同或互

補的情況。義的被乘數與乘數的十位數字相同、個位數字互補，這類式子我們稱

為“頭相同、尾互補”型；x的被乘數與乘數的十位數字互補、個位數字相同，

這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算

方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。

例()x=?ox=?

思路導航:本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。

O由乘法分配律和結合律，得到

X

=(+)X()

=(+)義+(+)X

=x+x+x+x

=x(++)+x

=x(+)+x

=x()x+x。

于是，我們得到下面的速算式：

()與()類似可得到下面的速算式：

由例看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數乘法中，積的木兩位數是兩

個因數的個位數之積(不夠兩位時前面補，如X=),積中從百位起前面的數是

被乘數(或乘數)的十位數與十位數加的乘積?！巴a”速算法簡單地說就是：

積的末兩位是“尾X尾”，前面是“頭X(頭)

我們在學到的X,X,…，X的速算，實際上就是“同補”速算法。

例()x=?()x=?

思蹈量航:本例兩題都是“頭互補、尾相RT類型。

()由乘法分配律和結合律，得到

X

=(+)X(+)

=(+)X+(+)X

=義X+X+X

=x+x（+）+x

=xx+x+x

=（X+）x+x。

于是，我們得到下面的速算式：

（）與（）類似可得到下面的速算式：

由例看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩

個因數的個位數之積（不夠兩位時前面補，如x=）,積中從百位起前面的數是

兩個因數的H立數之積加上被乘數（或乘數）的個位數?！把a同”速算法簡單地

說就是：

積的末兩位數是“尾X尾”，前面是“頭X頭尾”。

例和例介紹了兩位數乘以兩位數的“同補”或“補同”形式的速算法。當被

乘數和乘數多于兩位時，情況會發生什么變化呢？

我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數的和是,-…時，這兩個數互為補

數，簡稱互補。如與互補，與互補，與互補。

在一個乘法算式中，當被乘數與乘數前面的幾位數相同，后面的兒位數互補時，

這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如X,因為被乘數

與乘數的前兩位數相同，都是，后兩位數互補，+=,所以是“同補”型。又如

X,X等都是“同補”型。

當被乘數與乘數前面的幾位數互補，后面的幾位數相同時，這個乘法算式就

是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，X,X,X等都是“補

同”型。

在計算多位數的“同補”型乘法時，例的方法仍然適用。

例（）X?（）x=?

解：（）

2X8

70X（70+1）

（）

8X92

<_I

1708X1792=306.0736.

17X07+1）

計算多位數的“同補”型乘法時，將“頭X（頭）”作為乘積的前兒位，將

兩個互補數之積作為乘積的后幾位。

注意：互補數如果是位數，則應占乘積的后位，不足的位補

在計算多位數的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”

的位數相同,則例的方法仍然適用（見例）；如果“補”與“同”的位數不相同，

則例的方法小冉適用，因為沒有筒捷實用的方法，所以就小冉討論了。

例x=?

解：

65X65

.I

2865X7265=20814225c

28X72+65

二、訓練鞏固

計算下列各題：

X；X；

X；X；

X；X；

X；Xo

第二講找規律

(一)豎列規律

按照一定次序排列起來的一列數，叫做數列。如自然數列：、、、……;雙數

列：、、、……O我們研究數列，目的就是為了發現數列中數排列的規律，并依據

這個規律來填寫空缺的數。

按照一定的順序排列的一列數，只要從連續的幾個數中找到規律，則就可以

知道其余所有的數。尋找數列的排列規律，除了從相鄰兩數的和、差考慮，有時

還要從積、商考慮。善于發現數列的規律是填數的關鍵。

一、例題與方法指導

例在括號內填上合適的數。

(),,,,(),()

(),,,,,(),()

(),,,,(),()

思路導航:

()在數列，，，，()，()中，前一個數加上就等于后一個數，相鄰兩個數

的差都是，根據這一規律，可以確定()里分別填和；

()在數列，，，，，()，()中，第一個數增加等于第二個數，第二個數增

加等于第三個數，也就是相鄰兩個數的差依次是，，，……這樣下一個數應為增加,

所以應填；再下一個數應比大，填。

()在數列，，，，()，()中，后一個數是前一個數的倍，根據這一規律可

知道()里應分別填和。

例先找出規律，再在括號里填上合適的數。

(),();

(),();

思路導航:

()在，，，，，，()，()中隔著看，第一個數減是第三個數，第三個數減是

第五個數，第二、四、六的數不變。根據這一規律，可以確定括號里分別應填、；

()在，，，，，，()，()中，隔著看第一個數減為第三個數，第三個數減為

第五個數。第二個數增加為第四個數，第四個數增加是第六個數。根據這一規律,

可以確定括號里分別應填和。

二、訓練鞏固

,在括號里填數。

(),()

(),,,,,(),()

,按規律填數。

(),,,,(),()

(),,,,(),()

,先找規律再填數。

(),()

(),()

(),()

,在括號里填數。答

(),()

(),()

(),,,,(),()

(二)圖形規律

一、例題與方法指導

例：根據前面圖形里的數的排列規律，填入適當的數。

思路導航:

()橫著看，右邊的比左邊的數多，豎著看，下面的數比上面的數多。根據

這一規律，方格里填；

()通過觀察可以發現，前兩個圖形三個數之間有這樣的關系：X-,X-,

也就是說中心數是上面的數與左下方數的乘積除以右下方的數。根據這個規律，

第三個圖形空格中的數為X+；

()橫著看，第一行和第二行中，第一個數除以等于第二個數，第一個數乘

等于第三個數。根據這一規律，X就是空格中的數。

二、訓練鞏固

1.根據規律，在空格內填數。

(),,,(),();

思路導航：()在???(),()中.十位卜的數字不變，百位卜的數字是??…

依次增加，個位上的數字是，，…依次減少，并且百位上的數字與個位上的數

字的和為。根據這一規律，括號里應填，；

()通過觀察可以發現，前兩個圖形之間有一定聯系：左上數十位上的數字和右

上數個位上的數字分別與下面數的千位、個位上的數字相同；左上數與右上數

十位上的數字之和為下皿數的白位上的數字，左上數與右上數個位上的數字之

和為下面數的十位上的數字。根據這一規律，空格內應填。

第三講數字謎

小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”(打一城市

名)。謎底你還記得嗎？記不得也沒關系，想想“空中”指什么？“天這個地

名第個字可能是天?！按a頭”指什么呢？碼頭乂稱渡口，聯系這個地名開頭是“天”

字，容易想到“天津”這個地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底

就出來了：天津。

算式謎乂被稱為“蟲食算”，意思是說一道算式中的某些數字被蟲子吃掉了

無法辨認，需要運用四則運算各部分之間的關系，通過推理判定被吃掉的數字，

把算式還原。“蟲食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數字常常

用口、△、☆等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文

字或字母來代替未知的數字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數

字，相同的數字或字母表示同一個數字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。

在數學里而，文字也可以組成許許多多的數學游戲，就讓我們一起來看看吧。

(一)橫式字謎

一、例題與方法指導

例口，口，口在上面的個方框內分別填入恰當的數字，可以使得這個數的

平均數是。則所填的個數字之和是多少？

思、路導航:*3-8-97

所以個數之和為。

例在下列算式的口中填上適當的數字，使得等式成立：

()

()

()

()

分析：()

()

()

()

例在算式+□口□口……的各個方框內填入適當的數字后，就可以使其成

為正確的等式。求其中的除數。

分析:。

例我學數學樂X我學數學樂數數數學數數學學數學

在上面的乘法算式中，“我、學、數、樂”分別代表的個不同的數字。如果

“樂”代表，則“我數學”代表的三位數是多少？

分析：學，我，數，*

例□+(□+□+□)在式中的個方框內填入個不同的一位數，使左邊的

數比右邊的數小，并且等式成立。

思路導航:

我冠，我們可以先用字母代替數字，原等式寫成：()(*)**,??)

當時,有*,*;

當時，有*,*,*;

所以，滿足要求的等式有：+(++),+(++),+(++),+

(4-4-),4-(4-4-)o

例①DX□口；②□一口口，把至這個數字分別填入上面兩個算式的各個

方框中，使等式成立，這里有個數字已經填好。

分析：根據第一個等式，只有兩種可能：*,*；如果為*,則余下的數字有：、、，

顯然不行；而當*時，余下的數字有：、、，貝L或都能滿足。

二、訓練鞏固

.迎迎X春春杯迎迎杯，數數X學學數賽賽數，春春X春春迎迎賽賽

在上面的個算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數

字。如果這個等式都成立，則，“迎春杯數學賽”等于多少？

分析：考察上面三個等式，可以從最后一個等式入手：能夠滿足：春春X春

春迎迎賽賽的只有*,于是，春，迎，賽；這樣，不難得到第一個為：*,第二

個為：*;

所以，迎春杯數學賽。

.迎春X春迎春，(迎杯)X(迎杯)迎杯

在上面的兩個橫式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。

則“迎春杯”等于多少？

分析：同樣可以從笫二個算式入手，發現滿足要求的只有()*(),于是，

迎；

這樣，第一個算式顯然只有：*;所以，迎春杯。

三、拓展提升

.在下列各式的口中分別填入相同的兩位數：

()X口口()乂口=口。

2.將?中的數填入下列各式，使算式成立，要求各式中尢重復的數字:

()□+□□+口；()□+□>□+□<>

.在下列各式的口中填入合適的數字：

()+□□□；()4□口；

。義口口口。

4.在下列各式的口中」真入合適的數：

0□+=……;()+=□……;

()+口=……o

答案與提示練習

1.5X圓二2四；(2)6X因二3回。

2.⑴叵］+圖二團(2)囹+團>國一國。

3.(1)448+因的二8或448+國回二口；

(2)2822+國囪或2822+叵］囪二國回；

(3)13X國囹二4田6。

.0；0；()。

(二)豎式字謎

例在圖所示的算式中，每一個漢字代表一個數字，不同的漢字代表不同的

數字.則“喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數是多少？

喜歡

歡喜

十喜歡

人人喜

圖4T

分析：首先看個位，可以得到“歡”是或，但是“歡”是第二個數的

十位，所以“歡”小能是，只能是。冉有十位，“歡”是，加上個位有進位，

則，加起來后得到的“人”就應該是偶數，因為結果的百位也是“人”，所以

“人”只能是；由此可知，“喜”等于。所以，“喜歡”這兩個漢字所代表的

兩位數就是。

例在圖所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同

的數字.如果：巧解數字謎，則“數字謎”所代表的三位數是多少？

謎

謎

字

謎

字

數

謎

字

數

謎

字

數

賽

巧解數字謎

圖4-2

分析：還是先看個位，個“謎”相加的結果個位還是等于“謎”，“謎”

必定是（顯然可以排出）；接著看十位，四個“字”相加再加上進位，結果尾數

還足“字”，那說明“字”只能是；再看百位，二個“數”相加再加上進位，

結果尾數還是“數”，“數”可能是或；再看千位,（）如果“數”為，兩個“解”

相加再加上進位，結果尾數還是“解”，那說明"解”只能是：，,“巧”等于與

“字”等于重復，不能；o如果“數”為，兩個“解”相加再加上進位，結

果尾數還是“解”，那說明"解”只能是；，，可以。所以“數字謎”代表的三

位數是。

例在圖所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不

同的數字.請把這個豎式翻譯成數字算式.

香港回歸

+華人愛港

華人回港游

圖4-3

分析：首先萬位上“華”；再看千位，“香”只能是或，則“人”就相應

的只能是或。但是“華”，所以，“人”就是；再看百位，“人”，則，十位

卜必須有進位，否則“港”“人”壞是“港”c由此可知“回”比“港”大，這

樣就說明“港”不是，百位向千位也沒有進位。于是可以確定“香”等于的：再

看十位，“回”“愛”“港”要有進位的，而“回”比“港”大，則“愛”就等

于；同時，個位必須有進位；再看個位，兩數相加至少，至多，即只能是或，

顯然“港”，“回”，“歸”。這樣，整個算式就是:。

例圖是一個加法豎式，其中，，，，，，，，，分別表示從到的不同數字，目,

不等于零.則這個算式的結果是多少？

FORTY

TEN

+TEN

IXTY

圖4-4

分析：先看個位和十位，應為，應為；再看最高位上，比大；千位上最少是;

但因為等于，所以，只能是，只能是；由于百位向千位進位是，且不能是，因此

決定了、只能是、這兩個；如果，，這是只剩下了、、三個數，無法滿足、是兩個

連續數的要求。所以，、；由此得到；則，，，。所以，得到的算式結果是。

二、訓練鞏固

.在圖所示的減法算式中，每一個字母代表一個數字，不同的字母代表不同

的數字.則等于多少？

ABCBD

-EFAG

FFF

圖4-5

分析：先從最高位看，顯然，，；接看看十位，因為等于，說明個位有借

位，所以只能是；由可知,；這樣，、有、，、和、三種可能。所以，+就可以等于,

或。

.王老師家的電話號碼是一個七位數，把它前四位組成的數與后三位組成的

數相加得，把它前三位數紐成的數與后四位數組成的數相加得.求王老師家的電

話號碼.

分析：我們可以用來表示這個七位數電話號碼。由題意知，，；

首先從第一個算式可以看出，，從第二個算式可以看出，；再回到第一個算式,，

掉到第二個算式,；又回到第一個算式，，掉到第二個算式,；則，。所以，王老師

家的電話號碼是。

.將一個四位數的各位順序顛倒過來,得到一個新為四位數.如果新數比原

數大，則在所有符合這樣條件的四位數中，原數最大是多少？

分析：用來表示愿四位數，則新四位數為,；由最高為看起，最大為，

則；但個位上，所以，只能是；接下來看百位，最大是，貝U,正好能滿足要求。

所以，原四位數最大是。

三、拓展提升

.已知圖所示的乘法豎式成立.則是多少？

1ABCDE

x3

ABCDE1

圖4-6

分析：由的特點易知,。

.某個自然數的個位數字是，將這個移到左邊首位數字的前面，所構成的新

數恰好是原數的倍.問原數最小是多少？

分析：由個位起逐個遞推：*,原十位為；*,原百位為；*,原千位為:

*,原萬位為；*,正好。所以，原數最小是。

.在圖所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的

數字.則符合題意的數“迎春杯競賽贊”是多少？

贊迎春杯競賽

X好

―迎春杯競賽贊

圖4-7

分析：同第題一樣，也是利用的特點。因為每個字母代表不同的數字，

因此“好”只有和可選：

好，則：*；好，則：*；兩個都能滿足，所以，符合題意的數“迎春杯競賽贊”

可能是或。

（三）趣味九宮格

九宮格型數字推理即在九宮格中已知個數，根據已知數之間的關系，求出未

知的項。此種類型的觀察角度為橫向、縱向、對角線，考查最多的是橫向，一般

考查三個數之間的線性關系，可從大數入手考慮。有時，會整體考，比如行列各

個數之和的關系。

【答案】。解析：每行三個數字之和依次是，。，，是等差數列。

【答案】。解析：每行前兩個數字之差除以等于第三個數。():()。

【答案解析：每行第一個數字加等于后兩個數字之和。

【答案】。解析：從每行來看，第一個數字加，再乘以第三個數字等于中間數字。

【答案】。解析：每行第三個數字減去第二個數字，再乘以等于第一個數字。

第四講圖解法解應用題

一、例題與方法指導

例小明早晨起床,要完成這幾件事:起床穿衣分鐘，刷牙洗臉分鐘，在火爐上

燒水煮面要分鐘，整理房間分鐘,為了盡快做完這些事,最少要分鐘.

思路與一航:

用圖表示：

O

刷牙、洗臉

所以是（分）

例少先隊員參加植樹勞動,每人植樹棵,如果一個人挖坑,一個要分鐘,運樹

苗一趟（最多可運棵）要分鐘,提一桶水（可澆棵樹）要分鐘,栽好一棵樹要分鐘.現

以兩個人為一小組合作,完成植樹任務最少要分鐘.

思路導航:

所以（分）

合走個全程要分個應是X+（小時）

晶：（）?（千米小時）

紅：0：（千米小時）

例早上點分，小明放學回家分鐘后，周老師騎車追他，在離學校千米的地方

追上了他,然后周老師立即回校，回到校后乂追小明，第二次追上時剛好離家千米,

求這時是時分.

思路導航:

單工點分放學，小明從學?；丶曳昼姾?，周老師騎左追他,追上時離校千米，

后來老師馬上回校后又追他,追上時小明也只走了千米,從下圖可知,照后來速度

算，周老師前面應走x（千米）.因為少走分鐘,所以少走千米.所以現在時間應是.

校?------------------------------1

明「天>

周-------->時間一樣

二、鞏固訓練

五位同學進行象棋單循環比賽，已知已經賽過的盤數依次為盤,此時賽了盤.

.有號碼為四名運動員，在一次比賽中獲得了前名，已知:①每個運動員的號

碼都與自己的名次不符;②某運動員的名次是第四名運動員的號碼，而此人的號

碼又是號運動員的名次.③號運動員不是第一名，則號得

名二號得名三號得名四號得名

’.四名棋》進行循■比賽，勝一局得分，平一局得分,負一局得分.如果各人得

的總分不同,第一名不是全勝,則，至多有局平局.

.京華小學五年級學生采集標本,采集昆蟲標本的有人,采集植物標本的有人,

兩種標本都聚集的白人,全班共人,沒有米集標本的有人.

答案：

.兩盤.

用連線表示兩人已賽過一場應畫四條線應畫條，但不能連，乂有一條,所以只

畫.從出發應有兩條，已有.所以只賽了兩盤.

號第三號第一號第四號第二.

由①、③可知，第一名是或，依題意畫圖如下:

④

⑤

@

以上六種情況中，符合題意的只有③方案.

.局.

四名棋手應賽x+（局），應決出x（分）

又各人得分不同，且第一名不是全勝,可知他們得分只有或

兩種.

再由“平局最多”可決定甲分，乙分，丙分，丁分.這樣應：

人.

作下圖:

昆蟲、植物標本

0(A)

三、拓展提升

.有名旅客，其中有人小懂英語乂不懂俄語，有人懂英語人懂俄造，既懂英語

乂懂俄語的有人.

.某班數字、英語的期中考試成績如下,英語得分的有人，數學得分的有人,

兩門功課都得分的有人,兩門功課都未得分的有人,這個班有學生人.

名.

第五講列方程式解應用題

一、例題與方法指導

例買來一批蘋果，分給幼兒園大班的小朋友,如果每人分個,則還剩個.如果

每人分個,還有個小朋友分不到蘋果.這批蘋果的個數是多少個

蘋果數不變（抓不變量）、間接設未知數

例一條鯊魚，頭長米，身長等于頭長加尾長，尾長等于頭長再加上半個身長,

這條魚全長多少米？

間接設未知數

設鯊缶身長米c身長頭長尾長.

尾長++身長=+++,

例雞、兔共只，雞腳比兔腳多只。問：雞、兔各多少只

解答：假設只都是雞，沒有兔，則就有雞腳只，而兔的腳數為零。這樣雞腳

比兔腳多只，而實際上只多只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多（只）。

現在以兔換雞，每換一只，雞腳減少只，兔腳增加只，即雞腳比兔腳多的腳數中

就會減少（只），而因此有兔子只，雞（只）。

二、鞏固訓練

.有一些糖，每人分塊多塊；如果現有的人數增加到原人數的倍，則每人塊

就少塊.問這些糖共有多少塊

解，等量關系為兩種分法的糖總數不變

設開始共有人，

X,

解得，

所以這些糖共有X塊.

.甲、乙、丙、丁四人今年分別是、、、歲。問：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年

齡和的倍？

解答：這是一道年齡問題，也可以用方程來解決。等量關系為：多少年前，甲、乙的

年齡和是丙、丁年齡和的倍。關鍵：在相同的時間內，每個人增加或減少的年齡是相

同的。

設年前，甲乙的年齡和是丙、丁年齡和的倍.

X0,

解得.

所以，年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的倍.

第六講植樹問題

只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些

樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數之間存在著確定的關系，

我們把這種關系叫做“植樹問題”。而植樹問題，一般乂可分為封閉型的和不封

閉型的（開放型的）。

不封閉后點，封閉

封閉型的和不封閉型而植樹問題，區別在于間隔數（段數）與棵數的關系：

、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其路長、

間距、棵數的關系是：

棵數=繳+1=路長+間距+1

但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數的關系就是:

棵數=段數=路長。間距

如果兩端都不植樹，則棵數比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數

的關系就是：

棵數=段數一1=路長。間距一1

、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，貝I」:

棵數=段數=路長+間距

植樹問題的三要素：

總路線長、間距（棵距）長、棵數.

只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個.

植樹問題的分類：

⑴直線型的植樹問題⑵封閉型植樹問題⑶特殊類型的植樹問題

一、例題與方法指導

例有一條公路長米，在公路的一側每隔米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵

思路導航:

每篇米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離米為一段。公路的全長米，分

成米一段，則里包含有小段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數比

分成的段數多，所以，可種植垂柳棵。

例某一淡水湖的周長米，在湖邊每隔米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植株

夾枝桃，可栽柳樹多少株可栽夾枝桃多少株兩株夾枝桃之間相距多少米

思路導航:

五面周上植樹時，由于可栽的株數等于分成的段數，所以，可栽柳樹小株；

由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數（段數）為，所以栽夾枝桃的

株數X株；每隔米種柳樹?株，在兩株夾枝桃之間等距地栽株夾枝桃，這就變成

兩端都不植樹的情形，即株等距離栽在米的直線上，不含兩端，所以，每兩株之

間的距離+（）（米）。

例i條街上，i旁每隔米有一個廣告牌，從頭到尾有個廣告牌，現在要進行

調整，變成每米有一個廣告牌。則除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要

移動？

思路導航:

個產告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為米，則共有個間隔，這條街的總

長度為X=（米）；現在要調整為每米一個廣告牌，則不移動的牌離端點的距離

一定既是的倍數，同時也是的倍數；XX,也就是說，每米與其倍數處的廣告牌

可以不需要移動；+=,即段數為個，但要扣除兩端的個，所以，中間不需要移

動的有個。

事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問

題。例如，與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題

的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題。

二、鞏固訓練

某人要到一座高層樓的第層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從層走到層

需要秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

思路導航::

要求還需要多少秒才能到達，必須先求出上一層樓悌需要幾秒，并且知道從

樓走到樓共需要走兒層樓梯。從層走到層，事實所爬的層數只是層，所以上一層

樓梯需要的時間是+（）（秒）；又，從樓走到樓共需走層樓梯，所以還需要的時

間是X秒。

光華路小學二年級學生有人參加運動會入場式，他們每人一行，前后每行間

隔為米，主席臺長米，他們以每分鐘米的速度通過主席臺需要多少分鐘

思路導航::

人參加運動會入場式，每人一行，共排了+行，則這里行就相當于直線上的

棵樹，所以，這列隊的長度為兩端植樹的路的長度，全長是義（）米；這列隊伍通

過主席臺，所走的總路程應該是隊伍長度與主席臺長度之和，即：米，所以，他

們通過主席臺的時間是+分鐘。

下圖是五個大小相同的鐵環連在一起的圖形，它的長度是多少？十個這樣的

鐵環連在一起有多長？

|-<----------------M+H

,4厘米?6亳米

思路導航::

根據上圖所示，要求出它的總長度是多少，關鍵是求出重疊部分需要扣除的

長度。每一個鐵環的厚度為亳米，注意到重疊部分，后面連上的鐵環將有個厚度

是重疊的，也就是說實際每加?個鐵環所延伸的長度為厘米乂亳米亳米亳米亳

米；根據我們前面所講的植樹問題，五個鐵環連在一起，“環扣”數為=（個），

所以，五個大小相同的鐵環連在一起時，總長度為X=（亳米）。同理，十個鐵環

連在一起的長度為（）X1毫米）。

一個木工把一根長米的木條鋸成了米長的小段，每鋸斷一次要用分鐘，共需

多少分鐘

思路導航：：

要求需要的時間，我們就要弄清楚共需鋸幾次。米長的木條里面包含有+個

米，段有個間隔，即木工只需鋸次，貝IJ,每次分鐘,一共需要用時X分鐘。

三、鞏固訓練

一個街心花園如下圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。已知從每

個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有棵花。問大三角形邊上栽有多少

棵花？整個花園中共栽多少棵花？

思路導航:：

由題意可知，大三角形的邊長是小三角形邊長的倍，因為每個小三角形的邊

上均勻栽株，而大三角形的每條邊由兩個小三角形的邊重疊一個頂點而成，所

以，大三角形的每條邊上栽的棵數為：義棵；乂大三角形三個頂點上栽的一棵花

是相鄰的兩條邊公有的，所以，大三角形三條邊上共栽花：（）義棵；再看圖中

間的陰影小三角形，每邊所栽花的棵數就是一個兩端不種樹的植樹問題，所以小

三角形每條邊上栽花的棵數為棵，中間共栽花：X棵，所以，整個花壇共栽花：

棵。

時鐘點敲下，用秒敲完。則點鐘敲下，幾秒鐘敲完？

思路導航::

點鐘敲下，共秒，而下中間有個間隔，說明每一個間隔的秒數為+（一）秒;

點敲下，中間有個間隔，所以一共需要X（一）秒敲完。

鐵路旁每隔米有一根電線桿，某旅客為了計算火車速度，測量出從經過第根

電線桿起到經過第根電線桿止共用了分?；疖嚨乃俣仁嵌嗌伲?/p>

思路導航::

從第根電線桿起到第根電線桿，共有個間隔；每隔米有一根電線桿，也就是

說間隔為米；貝I」，行使的總路程為：X（-）米；分鐘X秒秒，共行米，所以，

火車速度為：+=米/秒。

第七講雞兔同籠問題

雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個籠中，已知雞與兔的總頭數以與雞與兔的

總足數，求雞和兔各是多少只的應用題。這種類型題是古代趣題，在現實生活和

牛產中應用廣泛,有著十分重要的使用價值C

雞兔問題，也叫簡換問題。解答時，一般采用假設法，即假定全部的只數都

是雞或者是兔，算出假定恃況下的足數和實際上的足數和、足數差，然后推算出

雞和兔的只數。

計算時的主要數量關系是:

.如果假定全部是兔，則

雞的只數（每只兔的足數X總頭數一總足數）-（每一只雞與兔足數的差）

簡單理解就是：

雞的只數（X總頭數一總足數）?

兔的只數總頭數一雞的只數

.如果假定全部是雞，則

兔的只數（總足數一每只雞的足數X總頭數）子（每一只雞與兔足數的差）

簡單寫就是

兔的只數（總足數一x總頭數）4-

雞的只數總頭數一兔的只數

一、例題與方法指導

例.雞兔同籠，共有個頭，只腳，問雞和兔各是多少只？

思路導航:

寇看只腳，兔有只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當成一只腳，

兩只后腳也用繩子捆起來，當成一只腳，則兔子利雞一樣，都是只腳。雞和兔的

總腳數就是X（只），但比實際只腳要少一（只），為什么會少了只腳呢？是因為

每只兔子只算一只前腳,一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說每

只兔子都少算了兩只腳,一共少算了只腳，所以兔子應該有+（只，

解法一：解法二：

X（只）X（只）

-（只）-（只）

+（只）?。ㄖ唬?/p>

-（只）一（只）

答：雞有只，兔有只。

例.元紙幣和元紙幣總張數是張，已知它們的總面值是元，這兩種紙幣各多

少張？

思路導航:

（）假設張紙幣完全是元，共值：

X（元）

（）比實際少：

—（元）

（）元換成元，每張增加：

-（元）

（）元紙幣有：

?。◤垼?/p>

（）元紙幣有:

一（張）

答：有張元、張元紙幣。

例.雞兔同籠，雞比兔多只，腳數共只，雞、兔各多少只？

思路導航:

植飯去掉多的只雞，則一共去掉X（只）腳，則一（只）腳是雞和兔一樣多

的腳的總數量，而一對雞兔共有十（只）腳，可以求出去掉只雞以后一共多少對

雞和兔，然后再加上去掉的只雞。

X（只）

一（只）

+（只）

?。▽Γ?....雞、兔各只

（只）……雞的只數

答：雞有只，兔有只，

二、鞏固訓練

.雞兔同籠，共有頭只，腳只。雞兔各多少只？

.雞兔同籠，共有頭只，雞的腳數比兔的腳數多只，雞兔各多少只？

枚硬幣由分和分組成，共值角分，兩種硬幣各多少枚？

三、拓展提升

1.雞兔共只，雞的腳數比兔少只，雞兔各多少只？

2.人去劃船，一共乘坐條船，其中大船坐人，小船坐人，大、小船各多少條？

3.某車棚共停放三輪車和自行車共輛，兩種乍輪總和個，三輪車和自行車各多少

輛？

第八講移多補少平均數

在日常生活中，我們經常遇到這樣的情況：有兒個杯子，里面的水有多有少。

要想使杯中的水一樣多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反復

幾次，直到幾個杯子里的水一樣多。這就是我們經常駐遇到的“移多補少”……

也就是求平均數問題。

一、例題與方法指導

例.小剛有個抽屜，分別有圖書本，本，本，本和本，平均每個抽屜里有圖

書多少本？

思路導航：分用:如果要求平均每個抽屜里的圖書，就是把個抽屜的總數除以。

（）~r（本）

或取較為中間的一個數，如作為基數，再把每個抽屜中的書本與的差算出來。將

這些差相加減，多出的為加數，不足的為減數，所得的數除以，再加上基準數，

得出的就是要求的平均數.

提出總數，份數，平均數

個%闔書上書的"合就是“總數”，個抽屜式“份數”。得到關系式：

平均數總數+份數由此關系式可得出

總數份數X平均數

份數總數+平均數

例.小名參加了四次語文測驗，平均成績是分，他想通過一次語文測驗，講

次的平均成績提高最少分，則在下次測驗中，他至少要得多少分？

分析：知道前四次的語文平均成績后可以求出前四次的總成績題目中要求是五次

的平均成績提高到分，則可以求出次的總成績，再用五次的總成績減去四次的成

績，得到的就是第五次最少應考多少分。

思路導航:

X—X（分）

前四次平均為分，要求平均分為分，前四次一共差了（一）X（分）則第五次至

少要考（分）

例.甲、乙兩人帶著同樣多的錢，用他們全部的錢買了香皂，甲拿走了塊乙

拿走了塊，回家后甲補給乙元，每塊香皂多少元？

思路導航:

由為甲乙兩人帶的是同樣多的錢，兩人的錢也已經全部用完，甲乙兩人平均

買了（）+（塊）香皂，而實際甲多拿了一（塊）香皂，塊香皂是元，則一塊香

皂是?。ㄔ?/p>

二、鞏固訓練

.如果個人的平均年齡是歲，個人中沒有小于歲的，則年齡最大的人可能是

多少歲？

分析：個人的平均年齡是歲，則四個人一共就有X二（歲），題目中告訴我們個

人中最小的只有歲，如果要求年齡最大的則其余個人都應是最小的，則一X=

（歲）

.有甲、乙、丙三個數，甲數和乙數的平均數是，乙數和丙數的平均數是，

甲數和丙數的平均數是，求甲、乙、丙這二個數各是多少？

分析：從題目我們可以知道甲+乙=義乙+丙=乂甲+丙=乂

（甲乙丙）甲：一乙：一丙：一=

先求出甲乙丙三個數的和，知道另外兩個數的和酒可以求出第三個數。

.某人沿一條長為千米的路上山，又從原路下山。上山時的速度是每小時千

米，下山時的速度是每小時千米。則他在上、卜山全過程中的平均速度是每小時

多少千米？

分析：要求上、下山的平均速度先求上下山的總路程和處以時間即可。

解：X4-（+++）（千米）

總結：今天我們學習了如何求平均數，平均數的意義，也知道在解題過程中，可

以運用到平均數的意義。希望同學們通過今天的學習可以掌握所學的知識。

三、拓展提升

1.一位小朋友的語文成績是分，數學成績是分，英語成績是分，求他三門的平均分。

2.甲、乙、丙三個數的平均數是，甲數是，乙數與丙數相同，求乙數。

3.小明和小紅一起帶著同樣多的錢去學校旁邊的文具店買鉛筆，他們用全部的錢買了

鉛筆，小明買了只，小紅買了只，回去后小明給了小紅元，每支鉛筆多少元？

4.如果個人的平均年齡是歲，個人中沒有小于歲的，則年齡最大的人可能是多少歲？

5.有甲、乙、丙三個數，甲數和乙數的平均數是，乙數和丙數的平均數是，甲數和丙

數的平均數是，求甲、乙、丙這三個數各是多少？

第九講歸一問題

為什么把有的問題叫歸一問題？我國珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數是兒,

就稱幾歸；除數是，就稱為歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一

說法的來歷吧！

歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進歸一.如:一輛汽車小時行千米,

照這樣，小時行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊小時修路千

米，照這樣，修路千米需幾小時？

正、反歸一問題的相同點是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點在第二步.正

歸一問題是求幾個單一量適多少，反歸一是求包含多少個單一量。

一、例題與方法指導

例.一只小蝸牛分鐘爬行分米，照這樣速度小時爬行多少米？

思、路導航:

為亍求出蝸牛小時爬多少米，必須先求出分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這

個數目為依據按要求算出結果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？+（分米）

②小時爬幾米？小時分。

X（分米）（米）

答：小蝸牛小時爬行米。

還可以這樣想：先求出題目中的兩個同類量（如時間與時間）的倍數（即分是分的幾

倍），然后用倍數（分鐘爬行分米）乘以倍數，使問題得解。

解：小時分鐘

X（+）=X=（分米）=（米）

或4-（+）=4-（分米）（米）

答：小蝸牛小時爬行米。

例.一個糧食加工廠要磨面粉千克小時磨了千克.照這樣計算，磨完剩下的面粉還要

幾小時？

思路導航:

逋過小時磨千克，可以求出小時磨粉數量.問題求磨完剩下的要幾小時，所

以剩下的量除以小時磨的數量，得到問題所求。

解：（）+（+）（小時）

答：磨完剩卜.的面粉還要小時。

例.學校買來一些足球和籃球.已知買個足球和個籃球共花了元；買個足球和個籃球

共花了元.現在要買個足球、個籃球共花多少元？

思路導航:

妻1個足球和個籃球共花多少元，關鍵在于先求出每個足球和每個籃球各多少元.根

據已知條件分析出第一次和第二次買的足球個數相等，而籃球相差=（個），總價差=［元）

元正好是兩個籃球的價錢，從而可以求出一個籃球的價錢，一個足球的價錢也可以隨之

求出，使問題得解。

解：①一個籃球的價錢：（）+（）

元

②一個足球的價錢：（X）+=（元）

③共花多少元？X+X（元）

答：買個足球，個籃球共花元。

例.某車間要加工一批零件，原計劃由人，每天工作小時，天完成任務.由于縮短工

期，要求天完成任務，可是又要增加人?求每天加班工作幾小時？

思路導航:

莪們把個工人工作小時，作為個工時.根據已知條件，加工這批零件，原計劃需要多

少“工時”呢？求出“工時”數，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標準，

不管人數增加或減少，工期延長或縮短，仍然按照原來的工作效率，只要能夠達到加工

零件所需“工時”總數，再求出要加班的工時數，問題就解決了。

解：①原計劃加工這批零件需要的“工時”：

XX（工時）

②增加人后每天工作兒小時？

4-04-（小時）

③每天加班工作幾小時？（小時）

答：每天要加班工作小時。

二、鞏固訓練

.一個長方體的水槽可容水噸.水槽裝有一個進水管和一個排水管.單開進水管小時

可以把空池注滿；單開排水管小時可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時把滿池水排空？

分析要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關鍵在于先求出進水速度和排

水速度.當兩管齊開時要把滿池水排空，排水速度必須大于進水速度，即單位時間內排出

的水等于進水與排水速度差.解決了這個問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所

需時間。

解：①進水速度：土（噸小時）

②排水速度：+（噸小時）

③排空全池水所需的時間：+（）（小時）

列綜合算式：

+（-T4-）（小時）

答：兩管齊開需小時把滿池水排空。

.輛“黃河牌”卡車趟運走噸沙土.現有沙土噸，要求趟運完，求需要增加同樣的卡

車多少輛？

方法:

分析要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求趟運完

噸沙土，每趟需多少輛卡車，應該知道一輛卡車一次能運多少噸沙土。

解：①一輛卡車一次能運多少噸沙土？

-r（噸）

②噸沙土，趟運完，每趟必須運走幾噸？

?=（噸）

③需要增加同樣的卡車多少輛？

+=（輛）

列綜合算式：

++（！+）=（輛）

答：需增加同樣的卡車輛。

方法：

在求一輛卡車一次能運沙土的噸數時，可以列出兩種不同情況的算式：①：

②+j算式①先除以，先求出輛卡車次運的噸數，再除以求出每輛卡車的載重量；算式

②，先除以，求出一輛卡車次運的噸數，再除以，求出每輛卡車的載重量。

在求噸沙土次運完需要多少輛卡車時，有以卜.幾種不同的計算方法：

①560+5+8=112+8=14（輛）

」所需的卡車一趟運走的噸數

②560+8+5=70+5=14（輛）

」（運走560噸沙土需要的車次）

③560+（8X5）=560+40=14（輛）

上一輛卡車5次運走40噸

求出一共用車輛后，再求增加的輛數就容易了。

3.甲、乙兩個打字員小時共打字個.現在二人同時工作，在相同時間內，甲打字個，

乙打字個.求甲、乙二人每小時各打字多少個？

已知條件告訴我們：“在相同時間內甲打字個，乙打字個.”既然知道了“時間相

同”，問題就容易解決了.題目里還告訴我們：“甲、乙二人小時共打字個.”這樣可以

先求出“甲乙二人每小時打字個數之和"，就可求出所用時間了.

解：①甲、乙二人每小時共打字多少個？

+=（個）

②“相同時間”是幾小時？

（+）4-=（小時）

③甲打字員每小時打字的個數：

?。▊€）

④乙打字員每小時打字的個數：

?。▊€