高二數學選修2-1知識點

第一章常用邏輯用語

1.命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語句.

假命題：判斷為假的語句.

2.“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結論.

3.對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,

則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆

命題.

若原命題為“若，則”，它的逆命題為“若，則”.

4.對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定

和結論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱

為原命題的否命題.

若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.

5.對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定

和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另

一個稱為原命題的逆否命題.

若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.

6、四種命題的

真假性：逆命題否命題逆否命題

原命題

真真真真

真假假真

假真真真

假假假假

四種命題的真假性之間的關系:

兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關系.

7、若，則是的充分條件，是的必要條件.

若，則是的充要條件（充分必要條件）.

8、用聯結詞“且”把命題和命題聯結起來，得到一個新命題，記作.

當、都是真命題時，是真命題；當、兩個命題中有一個命題是假命題

時，是假命題.

用聯結詞“或”把命題和命題聯結起來，得到一個新命題，記作.

當、兩個命題中有一個命題是真命題時，是真命題；當、兩個命題都

是假命題時，是假命題.

對一個命題全盤否定，得到一個新命題，記作.

若是真命題，則必是假命題；若是假命題，則必是真命題.

9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表

示.

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.

全稱命題“對中任意一個，有成立”，記作“，”.

短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常彌為存在量詞，用“”表示.

含有存在量詞的命題稱為特稱命題.

特稱命題“存在中的一個，使成立”，記作“，”.

10、全稱命題：，，它的否定：，,全稱命題的否定是特稱命題.

第二章圓錐曲線與方程

11.平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢

圓.這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離禰為橢圓的焦距.

12、橢圓的幾

何性質：焦點在“軸上焦點在y軸上

焦點的位置

圖形

J1

22

標準方程]+方=1（。〉〃〉。）4+[=l(Q>b>0)

a2b2V)

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

A1(-40)、A2(?,0)A"(),-a)、A2(O,?)

頂點

B?詢、B2(O,Z>)B4—A,O)、B2(Z?,O)

軸長短軸的長=2Z?長軸的長=2a

隹占

J、/、、、爪-c,O）、6（c,O）片(O,-c)、?(O,c)

焦距

_對稱性_關于x軸、y軸、原點對稱

離心率e=-=Jl-^-(O<e<l)

a\a~

7

準線方程v=±7

13.設是橢圓上任一點，點到對應準線的距離為，點到對應準線的

距離為，則.

14.平面內與

兩個定點，

的距離之差

的絕對值等于焦點在“軸上焦點在y軸上

常數（小于）

的點的軌跡稱

為雙曲線.這

兩個定點稱為

雙曲線的焦

點，兩焦點的

距離稱為雙曲

線的焦距.

15、雙曲線的

幾何性質：

焦點的位置

圖形jpr

2222

標準方程1一==1(4>0/>0)

crb~

范圍或，或，

頂點A4-a,0)、A2(^,o)Aj(0,-a)AA2(O,?)

軸長虛軸的長=2h實軸的長=2a

隹占八、、￡(-c,0)、/%(c,0)￡(0,-c)、/%(0,c)

忻用二2《（?2=〃+從）

焦距

關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱

對稱性

凳=樣5

離心率

準線方程

Cc

,b

漸近線方程y=±—xy=±-x

ab

16.實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線.

17、設是雙曲線上任一點，點到對應準線的距離為，點到對應準線

的距離為，則.

18、平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡稱為拋物線,定

點稱為拋物線的焦點，定直線稱為拋物線的準線.

19、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于兩點的線段，稱為拋

物線的“通徑”，即

20、焦半徑公式:

若點在拋物線焦點為，則

若點在拋物線焦點為，則

若點在拋物線焦點為，則

若點在拋物線焦點為，則

21、拋物線

的幾何性y2=2px/=-2pxx2=2pyX?=-2py

質：(〃>。)(〃>o)(〃>o)(〃>。)

標準方程

J

圖形琲,魚

頂點(0,0)

對稱軸X軸y軸

as

隹點flF(±1山

準線方程人丫—__2”=二

_______2__________2

離心率e=1

范圍x>0x<0y>Qy<0

第三章空間向量與立體幾何

22.空間向量的概念：

在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量.

向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.

向量的大小稱為向量的模（或長度），記作.

模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量.

與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量.記作.

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.

23、空間向量的加法和減法：

求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則.即：在空間以同一點為起點的兩個已知

向量、為鄰邊作平行四邊彩，則以起點的對角線就是與的和.這種求向量和的方法.稱為向量

加法的平行四邊形法則.

求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則.即：在空間任取一點，作，，財.

24、實數與空間向量的乘積是一個向量，稱為向量的數乘運算.當時,

與方向相同；當時，與方向相反；當時，為零向量，記為.

的長度是的長度的倍.

25.設，為實數，，是空間任意兩個向量，則數乘運算滿足分配律及結

合律.

分配律：：結合律：.

26.如果表親不間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線

向量或平行向量，并規定零向量與任何向量都共線.

27,向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量，，的充要條件是存在

實數，使.

28、平行于同一個平面的向量稱為共面向量.

29、向量共面定理：空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，

，使；或對空間任一定點，有；或若四點，，，共面，則.

30、已知兩個非零向量和，在空間任取一點，作，，則稱為句量

,的夾角，記作.兩個向量夾角的取值范圍是：.

31、對于兩個非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作.

32.已知兩個非零向量和，則稱為，的數量積，記作.即.零向

量與任何向量的數量積為.

33.等于的長度與在的方向上的投影的乘積.

34.若，為非零向量，為單位向量，則有；

35、向量數乘積的運算律：；；

(3)伍+5"=H+〃.乙

36.若，，是空間三個兩兩垂直的向量，貝I對空間任一向量，存在有序

實數組，使得，稱，，為向量在，，上的分量.

37、空間向量基本定理：若三個向量，，不共面，則對空間任一向量，

存在實數組，使得.

38、若三個向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是

.這個集合可看作是由向量，，生成的，

稱為空間的一個基底.，，稱為基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.

39、設，，為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量(稱它們為單位正

交基底)，以，，的公共起點為原點，分別以，，的方向為軸,

軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.則對于空間任意一個向量:一

定可以把它平移，使它的起點與原點重合，得到向量.存在有序實數組，

使得.把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標，記作

.此時，向量的坐標是點在空間直角坐標系中的坐標.

40、設，，貝I」.

(2)a-b=(xi-x2,yl-y29zl-z2).

(3).

(4)ab=xxx2I?馬々?

若、為非零向量，則.

若，則.

⑺同=Ji萬=4X；+y；+z：.

（8）cos值5〉=%=、—+）*+平2_

同W&+y：+z；

，，則.

41.在空間中，取一定點作為基點，那么空間中任意一點的位置可以用向量

來表示.向量稱為點的位置向量.

42.空間中任意一條直線的位置可以由上一個定點以及一個定方向確定.

點是直線上一點，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意

一點，有，這樣點和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表

示出直線上的任意一點.

43.空間中平面的位置可以由內的兩條相交直線來確定.設這兩條相交直線

相交于點，它們的方向向量分別為，.為平面上任意一點，存在有序

實數對，使得，這樣點與向量，就確定了平面的位置.

44、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量.

45、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，則

67=€7?）,a-Lb^=>a.Lb<^>db=0.

46.若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則

oM_L百05?萬=0,a_Lao5_LaoM〃”o1=4”.

47、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為，，則

ci=Ab,a-L/7od_L方=

48、設異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有

cos^=|cos同=

49、設直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，

與的夾角為，則有.

50、設，是二面角的兩個面，的法向量，則向量，的夾角（或其

補角）就是二面角的平面角的大小.若二面角的平面角為，則.

51.點與點之間的距離可以轉化為兩點對應向量的模計算.

52、在直線上找一點，過定點且垂直于直線的向量為，則定點到直

線的距離為.

53、點是平面外一點，是平面內的一定點，為平面的一個法向量,

則點到平面的距離為.

數學選修2-2知識點總結

一、導數

1.函數的平均變化率為

注1:其中是自變量的改變量，可正，可負，可零。

注2:函數的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。

2、導函數的概念：函數在處的瞬時變化率是，則稱函數在點處可導,

并把這個極限叫做在處的導數，記作或，即二.

3.函數的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數的導數的幾何意義是切線的

斜?率。

4導數的背景（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。

5.常見的函數導數和積分公

式導函數不定積分

函數

y=cy'=0—

\xndx=—

y=xneM)y'=J〃+l

r“a’

y'=axInaadx=--

J\x\a

y=exy'=exJexdx=ex

y=log”x

—

(a>0,awl,x>0)x\na

y=\nxy'=--dLr=lnx

XJX

y=sinxy'=cosxJcosxtZr=sinx

y=cosxy'=-sinxJsinjvdr=-cosx

6.常見的導數和定積

分運算公式:若，

均可導（可積），則[f(x)±g(x)]=fM±g(x)

有：

和差的導數運算

[/（X）-g（x）]=f（x）g（x）±f（x）g'（x）

積的導數運算特別地：

特別地：⑷.（切?。。）

7u)"_

商的導數運算特別地：

1

特別地：，二一g'(幻

_g（x）_g?)

復合函數的導數

f7（x>=(其中

微積分基本定理

尸（"=/（力）

J："(x)±f2(x)]dx=￡±￡f2(x)dx

和差的積分運算特別地：

特別地：￡如心"f,"為常數)

積分的區間可加性jf（x）cbc=J/（工）公+j/（x）公（其中a<c<Z?）

6.用導數求函數單調區間的步驟:①求函數f(x)的導數②令>0,解不等式，得x

的范圍就是遞增區間.③令<(),解不等式、得x的范圍，就是遞減區間；［注］:求

單調區間之前一定要先看原函數的定義域。

7.求可導函數f(x)的極值的步驟：(1)確定函數的定義域。(2)求函數f(x)的導數

⑶求方程=0的根(4)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干

小開區間，并列成表格，檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么

f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如

果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值

8.利用導數求函數的最值的步驟:求在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴

求在上的極值；⑵將的各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的

一個是最小值。［注］：實際問題的開區間唯一極值點就是所求的最值點；

9.求曲邊梯形的思想和步驟:分割近似代替求和取極限(“以直代曲”

的思想)

10.定積分的性質

根據定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：

性質1f\dx=b-a

性質5若，則

①推廣：

②推廣:J/(工)公=J"(x)cZv+J"(x)公+.?.+］f(x)dx

11定積分的取值情況:定積分的值可能取正值，也可能取負值.還可能是0.

(1)當對應的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于x軸上

方的圖形面積；

（3）（2）當對應的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負值，且等于x軸上方

圖形面積的相反數；

當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積

分的值為0,且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積.

12.物理中常用的微積分知識（1）位移的導數為速

度，速度的導數為加速度。（2）力的積分為功。

推理與證明知識點

14.13.歸納推理的定義從個別事實中推演出一般性

的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。

15.歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。

16.歸納推理的思維過程

大致如圖：

15.歸納推理的特點：。歸納推理的前提是幾個已知的特殊現象，歸納所得的結

論是尚屬未知的一般現象。②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否

真實，還需經過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數學證明的工具。③歸

納推理是一種具有創造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的

起點，幫助人們發現問題和提出問題。

16.類比推理的定義：根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推

演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特

殊到特殊的推理。

17.類比推理的思維過程

觀察、比較-------》聯想、類推--------A推測新的結論

18.演繹推理的定義：演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、

定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊

的推理。

19.演繹推理的主要形式：三段論

20.“三段論”可以表示為：①大前題:M是P②小前提:S是M③結論:S是P。

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個

特殊對象；③是結論，它是根據一般性原理，對特殊情況做出的判斷。

21.直接證明是從命題的條件或結論出發，根據已知的定義、公理、定理，直接推

證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。

22.綜合法就是“由因導果”，從已知條件出發，不斷用必要條件代替前面的條件,

直至推出要證的結論。

23.分析法就是從所要證明的結論出發，不斷地用充分條件替換前面的條件或者

一定成立的式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證A,只要證B,

B應是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開,

24反證法：是指從否定的結論出發，經過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定

是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。

25.反證法的一般步驟（1）假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；（2）

從假設出發，經過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設不正確，即所求證

命題正確。

26常見的“結論詞”與“反義詞”

原結論詞反義詞原結論詞反義詞

至少有一個一個也沒有對所有的X都成立存在X使不成立

至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在X使成立

至少有n個至多有n-1個p或q―■1〃且~、q

至多有〃個至少有n+1個p且q—>p或—>q

27.反證法的思維方法西卑則反

28.歸繆矛盾(1)與已知條件矛盾：(2)與已有公理、定理、定義矛盾；(3)

自相矛盾.

29.數學歸納法(只能證明與正整數有關的數學命題)的步驟⑴證明：當n取

第一個值時命題成立；(2)假設當n=k(k￡N*,且k2nO)時命題成立，證明當

n=k+l時命題也成立.由(1),(2)可知，命題對于從n()開始的所有正整數n都正確

［注］:常用于注明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。

數系的擴充和復數的概念知識點

30.復數的概念：形如a+bi的數叫做復數，其中i叫虛數單位，叫實部，

叫虛部，數集叫做復數集。

規定：a=c且b=d,強調：兩復數不能比較大小，只有相等或不相等。

31.數集的關系：

32.復數的幾何意義：復數與平面內的點或有序實數對一一對應。

33.復平面：根據復數相等的定義，任何一個復數，都可以由一個有序實數對

唯一確定。由于有序實數對與平面直角坐標系中的點一一對應，因此復數集

與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。這個建立了直角坐標系來表

示復數的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實

數，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數。

34.求復數的模(絕對值)與復數對應的向量的模叫做復數的模(也叫絕

對值)記作。由模的定義可知：

35.復數的加、減法運算及幾何意義①復數的加、減法法則：，則。注：復數

的加、減法運算也可以按向量的加、減法來進行。

②復數的乘法法則：。

③復數的除法法則：其中叫做實數化因子

36.共輾復數:兩復數互為共聊復數，當時，它們叫做共輾虛數。

常見的運算規律

(l)|z|=|z|;(2)z+z=2tz,z-z=2/?Z;

(3)z-z=|z|2=|z|2=a2+ZJ2;(4)Z=z;(5)z=z=zeR

(6)嚴--4/1+2=-u=1;

(7)(l±/)2=±z;(8)—

1-z1+i

設是1的立方虛根，則

高中數學選修2?3知識點總結

第一章計數原理

知識點：

分類加法計數原理：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有Ml種不同的方法，在第二類辦法

中有M2種不同的方法，……,在第N類辦法中有MN種不同的方法，那么完成這件事情共有V1+M2+……

+MN種不同的方法。

2、分步乘法計數原理：做一件事，完成它需要分成N個步驟.做第一步有ml種不同的方法，做第二步有

M2不同的方法.…….做第N步有MN不同的方法.那么完成這件事共有N=MIM2...MN種不同的方法。

3.排列：從n個不同的元素中任取m(mWn)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m

個元素的一個排列

4、排列數：

5.組合：從n個不同的元素中任取m(mWn)個元素并成一組.叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個

組合。

6、組合數：

C〃十C山

7、二項式定理：

8、二項式通項公

第二章隨機變量及其分布

知識點：

1、隨機變■:如果隨機試驗可能出現的結果可以用一個變置X來表示，并且X是隨著試驗的結果的不同

而變化，那么這樣的變■叫做隨機變■.隨機變?常用大寫字母X、Y等或希臘字母羽等表示。

■散型隨機變量：在上面的射擊、產品檢瞼等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序

——列出，這樣的隨機變■叫做離散型隨機變?.

3、離散型隨機變■的分布列：一般的.設離散型隨機變?X可能取的值為xl,x2,.....,x.,......,xn

X取每一個值xi(i=l,2，……)的概率P(&=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機變量X的概率分布，簡稱分布列

XXlX2???Xi???Xn

pP】P2??????Pn

4.分布列性質①pi>0,i=1,2,—；②pl+p2+—+pn=1.

5、二點分布：如果隨機變的分布列為:

X10

PPq

其中(Xp<l,q=l-p.則稱離散型隨機變量X服從參數p的二點分布

6.超幾何分布：一般地，設總數為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n(nWN)件，這n件中所含這類物品件數X

是一個離散型隨機變量、

則它取值為k時的概率為，

其中m=min{M,〃}，且nWN,MWN,〃,M,NwN"

I條件概率：對任意事件A和事件B,在已知事件A發生的條件下事件B發生的概率,叫做條件概率.

記作P(B|A),讀作A發生的條件下B的概率

2公式：

3相互獨立事件：事件A(或B)是否發生對事件R(或A)發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫徽相互

獨立事件。

n次獨立重復事件：在同等條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗

11.二項分布：設在n次獨立重復試驗中某個事件A發生的次數,A發生次數自是一個隨機變量.如果在一

次試驗中某事件發生的概率是p,事件A不發生的概率為q=l-p,那么在n次獨立重復試驗中(其中

k=0.1........,n,q=l-p)

于是可得隨機變量匕的概率分布如下：

01???k???n

C尸tkkn-k

C”產nPq

P??????IPq

這樣的隨機變量4服從二項分布，記作自?B(n,p),其中n,p為參數

12、數學期望：一般地.若離散型隨機變量&的概率分布為

XiX2???*/???

ppiP2???Pi???

則稱E&=xlpl+x2P2+…+xnpn+…為

2的數學期望或平均數、均值,數學期望又

簡稱為期望.是離散型隨機變量。

13.方差4(4)=81正&)2-PI+(x2-E4)2-P2

期望方差

+……+(xn-E4)2-Pn叫隨機變量&的均方

差.簡稱方差。

14、集中分布的期望與方差一覽：

D1=pq,q=l-p

兩點分布EC=p

二項分布，&?B(n,p)

EC=npDI=qE4=npq,(q=l-p)

15.正態分布：若概率密度曲線就是或近似地是函數

1_(*一〃產

"X)=[——C2b2,%￡(-00,4-00)

727Vb

的圖像，其中解析式中的實數是參數.分別表示總體的平均數與標準差.

則只分布叫正態分布，f(x)的圖象稱為正態曲線V

16.基本性質：

①曲線在x軸的上方，與x軸不相交.

②曲線關于直線x=對稱.且在x=時位于最高點.

③當時，曲線上升；當時，曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限

靠近.

④當一定時，曲線的形狀由確定.越大，曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦

高”，表示總體的分布越集中.

⑤當。相同時.正態分布曲線的位置由期望值n來決定.

⑥正態曲線下的總面積等于1.

17.3原則：

從上表看到，正態總體在(以一2cr,〃+2b)以外取值的概里只有4.6%,在(〃-3b,〃+3。)以外

取值的概率只有0.3%由于這些概率很小,通常稱這些情況發生為小概率事件.也就是說，通常認為這些情況

在一次試瞼中幾乎是不可能發生的.

第三章統計案例

知識點：

1、獨立性檢驗

假設有yiV2總計

兩個分

類變量

X和Y,

它們的

值域分

另為

{xl,x2}

和{yl.

y2).其

樣本頻

數列聯

表為：

Xiaba+b

X2Cdc+d

總計a+cb+da+b+c+d

若要推斷的論述為Hl:“X與Y有關系”，可以利用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關系，并且能較

精確地給出這種判斷的可靠程度。具體的做法是，由表中的數據算出隨機變量K^2的值（即K的平方）

K2=n（ad-be）2/［（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）］,其中n=a+b+c+d為樣本容量,K2的值越大,說明“X與Y有關系”

成立的可能性越大。

2、K2W3.84I時.X與Y無關；K2>3.84l時.X與Y有95%可能性有關；K2>6.635時X與Y有99%可

能性有關

3、回歸分析

1.回歸直線方程

其中小生衿二華3.

a=y-bx

少一衿2）Z（D-

2?i?檢驗性質：（1）|r|Wl,|r|并且越接近于1,線性相關程度越強，Ir

I越接近于0,線性相關程度越弱：（2）|r|>r0.05,表明有95%的把握認為x

與Y之間具有線性相關關系；Ir|Wr0.05,我們沒有理由拒絕原來的假設，這

是尋找回歸直線方程毫無意義！

高中數學選修4??5知識點

1.不等式的基本慢質

①（對稱性）a>bob>a

②（傳遞性）a>b,b>c=>a>c

③（可加性）a>b<=>a+c>b+c

（同向可加性）a>b,c>d=>a+c>b+（J

（異向可減性）a>htc<d=>a-c>b-d

④（可積性）a>b,c>。nac>be

a>b,c<Q=>ac<be

⑤（同向正數可乘性）a>b>0,c>d>0=>ac>Ixl

（異向正數可除性）〃>力>0,0<—/=烏，

cd

⑥（平方法則）a>/?>0=>an>bn{neTV,fin>I）

⑦（開方法則）?>/?>0=>x/i?>y/b（nGN,^,n>1）

⑧（倒數法則）6Z>/?>0=>—<—；（7</?<0=>—>—

abab

2.幾個就要不等式

①，（當且僅當時取號）..變形公式：

②（基本不等式）（。，〃￡/?+）,（當且僅當4=。時取到等號）.

變形公式:

用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

③（三個正數的算術一幾何平均不等式）竺竺￡之J赤b、C￡R+）（當且僅當4=〃=C時

3

取到等號）.

?cr+b2+c2>ab+bc-^ca^a,beR）

（當且僅當a=〃=c時取到等號）.

⑤a+by+c3>3abe（a>0,b>0,c>0）

（當且僅當。=〃=。時取到等號）.

⑥若出?>0,則e+0之2（當僅當a加時取等號）

ab

若ab<0,則2+g工一2（當僅當a加時取等號）

ab

⑦，（其中

規律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.

⑧當°>。時,N>a=x2>/=x<-a或x>a\

國<ao/<片0一。<xv

⑨絕對值三角不等式同一同W,土〃區同+問.

3幾個著名不等式

①平均不等式：，，當且僅當時取號）.

（即調和平均《幾何平均W算術平均4平方平均）.

變形公式：

人/（a+Z?）ci~+b~->N、（a+/'）~

ab<\-----<--------;a-+b->-------—.

I2J22

②嘉平均不等式：

q~4-...4-a；>—（q+a,+…+〃”）2.

n

③二維形式的三角不等式：

盾十城+四、％?22,々，%e

N\］（^-x2）+（y1-y2）（M，yR）?

④二維形式的柯西不等式：

當且僅當時，等號成立.

⑤三維形式的柯西不等式：

2222尸.

（at+a2+a3）（b；+b2+b；）>（afy+a2h2+

⑥一般形式的柯西不等式：

（q~+（1^+...++%~+...+2（%瓦+a2b?+.,.+a,b”）一.

⑦向量形式的柯西不等式：

設是兩個向量，則當且僅當是零向量，或存在實數，使時，等號成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設為兩組實數.是的任一排列，則（反序和亂序和順序和），當且僅當或反序和等

于順序和.

⑨琴生不等式:（特例：凸函數、凹函數）

若定義在某區間上的函數/（x）,對于定義域中任意兩點為,&（為工三）、有

/($)+/(引或

1（F+占)<土也）之四2七△生.則稱f（x）為凸（或凹）函數.

4.不等式證明的幾種常用方法

常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法'分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法,構造法，函數單調性法，數學歸納法等.

常見不等式的放縮方法：

①舍去或加上一些項，如

②將分子或分母放大（縮小），

11112212

如—<---------->--------------=-----------n—<--------------

k2k（k—l）'k2Z（Z+1）’2a4k+4k&VT+VT萬'

12

(keN*,k>l)等.

4k4k+〃+1

5.一元二次不等式的解法

求一元二次不等式ax2+bx^-c>0（或<0）

解集的步驟：

一化：化二次項前的系數為正數.

二判：判斷對應方程的根.

三求：求對應方程的根.

四畫：畫出對應函數的圖象.

五解集：根據圖象寫出不等式的解集.

規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊.

6.高次不等式的解法：穿糧法.

分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向,寫出不等式

的解集.

7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則

R>。=/(力如)>0

g(x)

(“＜或4”時同理)

四^。=廠)超叱°

g(x)[g(X)HO

規律：把分式不等式等價轉化為贅式不等式求解.

8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解

f(x')>0

(1)[f(x)>a(a>0)oJ,

fM>a

,——f(X)>0

(2)"(x)va(a>0)=；、

[f(x)<a-

/(x)>0

⑶V7w>g(x)Og(x)>0或卜'"n

、J?(x)<0

[/(x)>0

⑷"(x)<g(x)=<g(x)>o

J(X)<[g(X)]2

[/(x)>0

⑸〃(x)>Jg(K)O，g(x)N0

/(x)>g(x)

規律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.

9、指數不等式的解法：

⑴當a>1時，af(x)>/*)of(x)>g(x)

⑵當0vav1時，af(x)>a8(x)<=>/(x)<g(x)

規律：根據指數函數的性質轉化.

10、對數不等式的解法

7a)>o

⑴當。>1時，log,/(工)>log"g(x)<=>，g(x)>o

f(x)>g(x)

fM>0

⑵當0vav1時，logJ(x)>logag(x)u>，g(x)>0

J。)<g(1)

規律：根據對數函數的性質轉化.

11.含絕對值不等式的解法：

⑴定義法：

⑵平方法：

⑶同解變形法，其同解定理有：

①國Wa<=>-a<x<a(a>0);

②兇之au>x之。或x<-a[a>0);

③|/(幻|<g(x)o-g*)<fM<g(x)(g(x)>0)

④|/(x)|之g(x)O/(A)之g(*)如(x)4-g(x)(g(x)4o)

規律：關鍵是去掉絕對值的符號.

12.含有兩個(或兩個以上)絕對值的不等式的解法：

規律：找零點、劃區間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13.含參數的不等式的解法

解形如且含參數的不等式時，要對參數進行分類討論，分類討論的標準有:

⑴討論。與0的大小；

⑵討論△與。的大小；

⑶討論兩根的大小.

14.恒成立問題

⑴不等式的解集是全體實數(或恒成立)的條件是:

①當。=0時=>/?=0,c>0;

腦>()

②當。工。時

[A<0.

⑵不等式的解集是全體實數(或恒成立)的條件是:

①當。=0時=>匕=D,c<();

八。<0

②當。=()時=>4

△<().

⑶f(x)<々恒成立O/(刈3va;

f(x)<a恒成立u>/(x)mas<a;

⑷f(x)>a恒成立<=>/(A)min>a;

/(x)>a恒成立=/(x)min2〃?

15.線性規劃問題

⑴二元一次不等式所表示的平面區域的判斷：

法一：取點定域法：

由于直線的同一側的所有點的坐標代入后所得的實數的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只

需在直線某一側任取一特殊點（如原點），由的正負即可判斷出或表示直線哪一側的平面區域.

即：直線定邊界，分清虛實；選點定區域，常選原點.

法二：根據或，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號，或表示直線上方的區域；若異

號，則表示直線上方的區域.

即：同號上方，異號下方.