3.2.2函數的奇偶性（精練）

基）礎）訓）練

1.（2023?高一課時練習）下列函數中，是奇函數的是（）

A.f（x）=xB./（x）=|^lC.f（x）=x2D.f（x）=x2-1

2.（2023?高一課時練習）下列關于奇函數與偶函數的敘述中：

①奇函數的圖象必通過原點；

②偶函數的圖象必與y軸相交；

③奇函數或偶函數的定義域必關于原點對稱；

④既是奇函數又是偶函數的函數必是/。）=R）.

其中正確命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

3.（2023?高一課時練習）已知/Cv）=o?+法一1,/（一2）=10,則/（2）等于（）

A.8B.-10C.-12D.10

4(2023?河北)己知”4)為偶函數，當x>0時，/{A)=X2-2A-3,則當x<0時，/(A)=()

A.—x~—2x+3B.x2+2.t—3C.—x2+2,x+3D.x2—2x—3

5.(2022秋?河南)已知/(幻是定義在口上的奇函數，當空0時/(#72-21則/3)在口上的表達式是()

A.y=x(x-2)B.y=|A-|(x-l)

C.y=|.r|(.r-2)D.y=x(3—2)

6.(2023?浙江)已知/(x+D是R上的偶函數，當04x41時，f(x)=x+l,則川4)=()

A.1.4B.3.4C.1.6D.3.6

7.(2022秋?江西贛州?高一統考期中)函數/(x)=o?_§_2且"2)=2,貝|/(-2)=()

A.—6B.-2C.0D.2

8.(2023北京)已知/(x)是定義在R上的周期為3的偶函數，若/⑴<1,/(5)=亍亍，則實數〃的取

值范圍是()

A.(-1,4)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

9.(2023?浙江杭州?高一杭州市長河高級中學校考期末)已知函數/(x)關于x=l對稱，當1<石<々時，

[f(6/'(%)](占一力。恒成立，設〃=/(—￡)，圖，」=/(3),則小b,C的大小關系為()

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

10.(2022秋?安徽馬鞍山)若定義在R上的函數為奇函數，且/(“在(-%0)上單調遞增，/(1)=0,

則￥(耳20的解集為()

A.[―B.[—1,1]

C.(7,一山口，?)D.(F'TUD'Z)"。｝

11.(2022秋?江西撫州)下列四個函數中是偶函數，且在(一右。)上單調遞減的是()

A./")=」B./'(x)=l-x2

X

*

\1r/+2.口"0

c.f(x)=\-2xD.7")=20

x-2x,x<0

12.(2023?浙江)(多選)已知定義域為R的函數/(%)滿足:Vx,yeR,f(x+y)+f(x-y)=f(<x)f(y)t

且"1)=1，則下列結論成立的是()

A./（（））=2B.“X)為偶函數C./(工)為奇函數D./(2)=-1

12.（2022秋?江西贛州?高一統考期中）（多選）定義在R上的函數“X）滿足統（r）+/（x）=0,且/（x）是

單調函數，=則（）

A./（0）=0B.〃-1)<八2)

D./(x2-x+2)>/(l)

13.（2023秋?浙江衢州?高一統考期末）（多選）已知定義在R上的非常數函數/"）滿足

/（x+y）=〃x）+/（），）T，則（）

A./（0）=1B./（"T為奇函數C.“X）是增函數D./（力是周期函數

14.（2023春?云南普洱?高一校考階段練習）（多選）設/（力是R上的任意函數，則下列敘述正確的是（）

A./（X）/（T）是偶函數B.|/（x）/（—x）|是偶函數

C./（同一/（一）是偶函數D./（6+/（-力是偶函數

15.（2023春?云南普洱?高一校考階段練習）（多選）下列函數中，既是偶函數又是在區間（。,+功上單調遞

增的函數為（）

16.（2023?新疆）己知函數〃力是定義在R上的奇函數，當x>0時，/（x）=-x2+4x-3,則函數/（x）的

解析式為.

17.（2023?高一課時練習）己知偶函數f（x）的定義域為（e,0）U（0，+8）,且在（F，0）上是增函數，若八-3）=0,

則不等式MX?工0的解集是.

18.（2022秋?貴州畢節?高一統考期末）設函數〃力=2+言，acR的最大值為"，最小值為N,則

M￥N=.

19.（2022秋?高一單元測試）若定義在R上的函數“X）滿足:對任意X—cR，有/（凡+出）=/（芮）+/*2）+1,

則下列說法中：①f（x）-l為奇函數;②〃司-1為偶函數：③/（“+1為奇函數；④/（“+1為偶函數.

一定正確的是__________________

20.（2022春?北京?高一校考期中）已知函數/（"是定義在上的偶函數，%,工2金［°，間，當玉工々

時，［/Cv.）-/（x2）］（x,-x2）＜0,則不等式/（x-1）＜/（2力的解集是.

21.（2023?江蘇蘇州）已知偶函數f（x）在區間（Y。,。］上單調遞減，且/（-2）=0,則不等式（xT）〃x）＜0的

解集為.

22.（2022秋?廣東佛山）若函數/（%）是定義在（T1）上的奇函數，當L0）時，〃力=丁-1,則當x€（0,l）

時，函數/（力的解析式為:若函數/5）是定義在上的偶函數，且在上為增函數.則

不等式/（26＞/（l-x）的解輿為

23.（2022秋?廣東肇慶）已知函數/（?=了、是定義在㈠」）上的函數.

⑴判斷并證明函數/（》）的奇偶性；

⑵判斷函數/（力的單調性，并用定義法證明:

24.（2022春?海南省直轄縣級單位?高一海南二中校考開學考試）已知函數/（制=三士1

x

⑴判斷/（“）的奇偶性并證明;

（2）當xe（1,*o）時，判斷/（X）的單調性并證明；

⑶在⑵的條件下，若實數機滿足A"/）〉/。-2〃。，求〃1的取值范圍.

25.（2023山東）已知/（X）是定義在R上的偶函數，當xNO時，f（x）=x2-x.

⑴求了（力的解析式;

（2）畫出/"）的圖象；

⑶求該函數的值域.

26.(2023?高一課時練習)若函數D=f(x)對任意x,ywR,恒有f(x+y)=/(x)+/(y)成立,且/⑴=T.

⑴求證：y=/")是奇函數；

(2)求F(-2)J(6)的值;

(3)若x>0時，/U)<0,試求/⑶在［-2,6］上的最大值和最小值.

27.(2023春?湖北宜昌?高一校考階段練習)已知函數/*)=『+2x+".

X

(1)若g(x)=fG)-2,判斷g(x)的奇偶性(不用證明).

⑵當。=3時，先用定義法證明函數/*)在。內)上單調遞增，再求函數/⑴在［田)上的最小值.

⑶若對任意xe［l,s),/(x)>0恒成立，求實數。的取值范圍.

28.（2023秋?浙江杭州?高一杭十四中校考期末）已知函數/（幻=2'-黑+產是定義在R上的偶函數.

⑴求實數〃7的值：

⑵利用定義證明/（幻在。+8）上的單調性；

⑶若/（〃-3）-/（2/）工0,求實數a的取值范圍.

29.（2022秋?云南西雙版納?高一西雙版納州第一中學校考期中）已知函數/（"是定義在[-2,2]上的奇函數,

滿足〃l）=g,當-2WxW0時，有/（x）=.

⑴求。，I的值;

⑵判斷了（%）的單調性（不需要寫證明過程）；

⑶若對Vxc[-2,2],都有/（x）K,/-2〃?+:恒成立，求實數〃，的取值范圍.

能）力）提M升

1.(2023四川省達州)/(x)是定義域為R的奇函數，/(x+4)=/(x),〃1)=3,則/(43)=()

A.3B.-3C.6D.0

2.：2023春?海南省直轄縣級單位?高一嘉積中學校考期中)已知函數“X)是定義在R上的奇函數，/(1)=5

且f(x+3)=-/(x),則/(2022)+八2023)=()

A.-5B.2C.0D.5

3.(2022春?安徽滁州?高一統考期末)已知定義在R上的奇函數/(x)滿足〃2—x)=/(2+x),當xe[0,2]時,

/(x)=2'-l,則/(2022)=()

A.-3B.-1C.0D.1

4.(2023春?湖北?高一荊州中學校聯考期中)設/(幻是定義在(7o,0)U(。，”)上的奇函數，對任意的

內,4w(0,+00)滿足//(%)—%/(與)<0且〃2)=4,則不等式j(x)>2x的解集為()

A.(-2,0)U(2,y)B.(-2.0)|J(0.2)

C.(-OO,-2)U(2,+O))D.(-oo,-2)(J(0,2)

5.(2023春?黑龍江大慶?高一大慶實驗中學校考階段練習)設函數/(x)的定義域為R,/(i+l)為奇函數,

“尤+2)為偶函數，當x?l,2]時，f(x)=ax2+b,若/(0)+/[3)=12,則/(|)=()

A.5B.4C.|D.2

6.(2023?云南?校聯考模擬預測)(多選)已知/(x),g(x)都是定義在R上且不恒為0的函數，則()

A.y=/(x>/(T)為偶函數

B.y=g(r)+g(—x)為奇函數

C.若g(x)為奇函數，/(可為偶函數，則)、=/(月(力)為奇函數

D.若/（“為奇函數，g（x）為偶函數，則y="x）-g（x）為非奇非偶函數

7.（2023春?浙江杭州?高一浙江大學附屬中學期中）（多選）已知“可是定義在R上的奇函數，且了=〃工+1）

為偶函數，當工?05時，/（x）=-x2,下列結論正確的有（）

A.函數/（“）的周期是4B.直線*=2023是函數“X）的一條對稱軸

C./⑴在［2022,2023］上單調遞減D./（2022）+/（2023）=1

8.（2022秋?安徽合肥?高一統考期末）已知函數〃x）=4—其中m為常數.

⑴若函數/"）是奇函數，求機的值；

⑵判斷函數/'（X）的單調性并證明；

⑶在（1）的條件下，對于任意x?-3,3］,不等式/（丁+2〃）+/（2公+8）＜0恒成立，求實數力的取值范圍.

9.（2023?江蘇蘇州?高一統考期中）若函數/（X）在可時，函數值N的取值區間恰為法,就稱區間

［a回為/(x)的一個“倒域區間”.已知定義在［T2］上的奇函數g(x),當x?0,2］時，g(x)=-/+2x.

⑴求g(x)的解析式；

(2)求函數g(x)在［L2］內的“倒域區間”;

⑶求函數g(')在定義域內的所有"倒域區間

10.(2023秋?廣東揭陽)已知/")=/與是定義在R上的奇函數，其中。、bwR,且/(2)=1.

(1)求〃、b的值;

(2)判斷/(力在［2,y)上的單調性，并用單調性的定義證明；

⑶設g(x)=，--2x+2—m,若對任意的內e［2,4］,總存在七使得〃xj=g(w)成立，求”的取

值范圍.

11.(2023春?遼寧鞍山?高一校聯考階段練習)已知函數/(x)對于任意實數恒有

/(》+y)=/(x)+/(y)，且當X>0時，/W>o,又

⑴判斷/(")的奇偶性并證明;

⑵求外”在區間［T4］的最小值：

⑶解關于x的不等式：/(^2)-2/(x)>/(ar)-2

3.2.2函數的奇偶性(精練)

—基戶肺訓IN練

1.(2023?高一課時練習)下列函數中，是奇函數的是()

A./(x)=xB./(X)=|A-|C.f(x)=x2D.f(x)=x2-1

【答案】A

【解析】對于A,=x的定義域為R,f(-x)=-x=-f(x),函數/(幻是奇函數，A是；

對于B,/(于=1幻的定義域為R,/(-x)=l-x\=f(x),函數/(%)不是奇函數,B不是；

對于C〃幻=爐的定義域為R,f(-x)=(-x)2=f(x),函數f(「不是奇函數,C不是；

2

對于D,f(x)=f的定義域為R,/(-x)=(-x)-l=/(x),函數/")不是奇函數，D不是.

故選:A

2.(2023?高一課時練習)下列關于奇函數與偶函數的敘述中：

①奇函數的圖象必通過原點；

②偶函數的圖象必與y軸相交；

③奇函數或偶函數的定義域必關于原點對稱；

④既是奇函數乂是偶函數的函數必是/Cr)=0(xwR).

其中正確命題的個數是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】奇函數的圖象關于原點對稱，但不一定過原點，如＞=!，故①錯；

偶函數的圖象關于)，軸對稱，但不一定與了軸相交，如)，=二，故②錯；

X

根據奇函數或偶函數的定義，其定義域必關于原點對稱，故③對；

既是奇函數又是偶函數的函數不一定是/(x)=0(xeR),如/*)=0(xwZ),故④錯；

故選：B

3.(2023?高一課時練習)已知fa)=o?+胴-1J(-2)=1O,則f(2)等于()

A.8B.-10C.-12D.10

【答案】C

【【解析】函數/*)=口F+法-1的定義域為R,

令函數g(x)M/(*)?1I灰，顯然g(x)-G(x)3|〃(x)-(12X3Ibx)-K(x)，

即函數g0)是R上的奇函數，因此g(-2)+g(2)=0,BP/(-2)+1+/(2)+1=0,而"-2)=10,

所以7(2)=-12.故選：C

4(2023?河北)已知/(x)為偶函數，當x>0時，〃司=/-21—3,則當x<0時，/(x)=()

A.—x~—2A-+3B.x2+2.￥—3C.—x^+2x+3D.x2—2艾—3

【答案】B

【解析】當x<0時，T>0,則/(r)=(r)2-2(-)—3=/+2工一3,又因為/(力是偶函數，所以

/⑴=/(一力=f+2x-3.故選：B.

5.(2022秋?河南)已知/")是定義在R上的奇函數，當X20時/(x)=f-2x則在R上的表達式是()

A.y=x(x-2)B.,y=|x|(x-l)

C.y=|x|(x-2)D..y=x(|^-2)

【答案】D

【解析】當x<0時，-v>0,所以/(一工)=(一工)2-2(-工)=、2+21=一/'(%),則/(*)=一/一2-

結合已知解析式知：2).故選：D

6.(2023?浙江)已知/(%+1)是R上的偶函數,當OKxKl時，f(x)=x+l,則川.4)=()

A.1.4B.3.4C.1.6D.3.6

【答案】C

【解析】因為/“十1)是R上的偶函數，所以/Q+D=/(—%+1),所以/⑴關于x=l對稱，

當時，/(x)=x+l,所以/(1.4)=>(0.6)=0.6+1=1.以故選：C.

7.(2022秋?江西贛州?高一統考期中)函數/(力=便-2-2且"2)=2,則/(-2)=()

A.-6B.-2C.0D.2

【答案】A

【解析】由/'(x)=aP-2-2,令g(x)=/(x)+2,

x

3

則g(x)=o?-2,^(_x)=a(-xy--=-ax+-=-g(x),故g(x)是奇函數，

X-xX

所以以-2)=-翼2)=4/(2)+21=-(2+2)=-4,

所以/(-2)=以—2)—2=—6.故選:A.

8.(2023北京)已知是定義在R上的周期為3的偶函數，若/(5)=箕a，則實數"的取

值范圍是()

A.(-1,4)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

【答案】A

【解析】由〃力是定義在R上的周期為3的偶函數，則〃5)=/(-1)=/⑴，即現二二<1,解得一1<〃<4,

所以實數〃的取值范圍是(-1,4).故選：A.

9.(2023?浙江杭州?高一杭州市長河高級中學校考期末)已知函數/(x)關于x=l對稱，當1<不<々時.，

[/優)一/(%)](占一%)>0恒成立，設〃=/(一￡|，''=/(1)，°=/(3)，貝3，〃，°的大小關系為()

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

【答案】A

【解析】因為函數〃力關于x=l對稱，所以函數/(1+1)的圖象關于x=()對稱，即函數/(1+1)為偶函數,

所以〃X+1)=〃T+1),所以/一；卜,

因為當1<%<當時，[/(電)-/(±)](七7])>0恒成立，所以函數7%)在0，+8)上單調遞增,

又所以/[?)</(：)</(3)，所以bcacc,

故選：A.

10.(2022秋?安徽馬鞍山)若定義在R上的函數”X)為奇函數，且“X)在(-8,0)上單調遞增，/(1)=0,

則獷。號()的解集為()

A.[-l,0]u[l,+oo)B.[-1,1]

C.(YO，T5LX°)D.(f-山口，同3。｝

【答案】D

【解析】因為/(x)為R的奇函數，又/(1)=0./⑴在(田,。)上單調遞增,

所以/(0)=/(-1)=0,函數/(A)在(0,+8)上單調遞增,

/、Ix<0x>0[x<0

由皿)“，可得/)?0,或"0,或工=。，由丁)納?1)=。，可得$1；

x>0

/(l)=o,可得1士1；所以燈XxRO的解集為母)u｛。｝.故選：D.

/W>0

11.(2022秋?江西撫州)下列四個函數中是偶函數，且在(-8,0)上單調遞減的是()

A./(x)=/B./(x)=l-x2

C./?=l-2xD,小)=[%：+；亡：

x-2.v,x<0

【答案】D

【解析】對于A,/(-力=奇=*=/(力是偶函數，當X?F,())時是增函數；

對于B,〃r)=l-(-X)2=1T2=〃X)是偶函數，當x?-oo,0)時是增函數；

對于C,/(-X)=I+2A-^/(X),不是偶函數：

對于D,設x<0,則-xX),f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x-f(x),

當x>0時，-.v<0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=/(x),是偶函數，

2

當.YO時，f(x)=x-2xf是對稱軸x=l,開口向上的拋物線，是減函數；

故選：D.

12.(2023?浙江)(多選)已知定義域為R的函數〃x)滿足：Vx,yeR,〃/+)，)+"不一)，)=/(司/()，),

且f(l)=l，則下列結論成立的是()

A./(O)=2B./(力為偶函數C./(X)為奇函數D./(2)=-1

【答案】ABD

【解析】因為Dx,ywR,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),

取“=i，y=o可得〃i)+/(i)=/(i)/(o),

乂f(l)=l，所以"0)=2,A對；

取x=O,y=x可得/(x)+/(—x)=/(O)/(x),

因為〃0)=2,所以〃-%)=/(耳,

所以/(x)為偶函數，C錯，B對；

取X=1,y=1可得/(2)+/(0)=/(1)/(1),

又f⑴="(0)=2,

所以刀2)=-1,D對.

故選：ABD

12.(2022秋?江西贛州?高一統考期中)(多選)定義在R上的函數/(“滿足〃-"+/(力=0,且/(力是

單調函數，=則()

A./(0)=0B./(-1)</(2)

C.d=-1D./(X2-X4-2)>/(1)

【答案】ABD

【解析】因為定義在R上的函數滿足/(T)+/(X)=0,所以/(.r)是奇函數，從而/(())=(),所以A

正確：

囚為了(X)是單調函數，RO=/(O)</⑴=3,所以/(')是R」的單調遞增函數，

故"T)v/(2),所以B正確；取/(x)=：F,則〃力滿足題干的所有條件，

此時/(一：］=一上工一1,所以C錯誤；由于/一1+2-1=/一1+1=(］—，［+3>0,

k2J16I4

且f3是R上的單調遞增函數，故/(丁-工+2)>/⑴，所以D正確.故選：ABD.

13.(2023秋?浙江衢州?高一統考期末)(多選)已知定義在R上的非常數函數/")滿足

/(x+y)=/(x)+/()，)-l,則()

A./(0)=1B./(刈-1為奇函數C./(*)是增函數D./(x)是周期函數

【答案】AB

【解析】對于A項，令x=y=0得：/(0)=2/(0)-1,解得：/(0)=1,故A項正確；

對于B項,令"T得:/(O)=/(x)+/(-x)-l,由A項知，/(0)=1,所以(f(x)-l)+(f(r)-l)=O,所

以為奇函數，故B項正確；

對于C項，當/(x)=-x+l時，/(/+)，)=—x—y+1,/*)+/()，)—l=—x+l+(—y)+l—l=—x—y+l,滿足

/(x+y)=/*)+/()，)—I,但/(x)=r+1是減函數.故(:項錯誤；

對于D項，當/(x)=x+l時，f(s+y)=x+y+\,f(x)+f(y)-\=x+\+y+\-\=x+y+\,滿足

/(_r+),)=/(x)+/()，)一］,但/(x)=x+l不是周期函數.故D項錯誤.

故選：AB.

14.(2023春?云南普洱商一校考階段練習)(多選)設/(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是()

A.是偶函數B.|/(力/'(一”是偶函數

C./(1)—/(r)是偶函數D./(x)+/(r)是偶函數

【答案】ADD

【解析】因為尸(x)=/*)?/(—x)滿足F(-x)=f(x)=f(x),所以f(x)=f(x)-f(-x)是偶函數；

因為M(x)=|/(x)-/(-A-)|滿足例(T)=M(x),所以M(x)是偶函數，

因為H(x)=/(x)-/(-X)滿足“(T)=/(-A-)-f(x)=-H(x),所以H(x)是奇函數；

因為G(x)=/(X)+/(-X)滿足G(-x)=/(-x)+/(x)=G(x),所以G(x)是偶函數；

故選:ABD.

15.(2023春?云南普洱?高一校考階段練習)(多選)下列函數中，既是偶函數乂是在區間(0,+紇)上單調遞

增的函數為()

A.y=x2B.J=xC.)，=何D.y=H

【答案】AD

【解析】)，=f是偶函數，在區叵(0,+e)上單調遞增，故A滿足：

是奇函數，故B不滿足；

是偶函數，但在區間(0,y)上單調遞減，故c不滿足；

y=國是偶函數，在區間(。,鈣)上單調遞增，故D滿足，

故選：AD

16.(2023?新疆)已知函數3新)是定義在R上的奇函數,當x>0時，/(力=-“2+4工一3,則函數的

解析式為.

x2+4x+3,x<0

【答案】/("=<0/=0

-x2+4x-3,x>0

【解析】由于函數/(")是R上的奇函數，則/(。)-。.

當工>0時，/(X)=-X2+4X-3,

設工<0,則r>0,則〃-=-4x-3=-/(x),

所以/(x)=/+4x+3.

x2+4x+3,x<0

綜上所述，/(x)={o,x=O

-x2+4x-3,x>0

x2+4x+3,x<0

故答案為：/(x)=<0,x=。

-x2+4x-3,x>0

17.(2023?高一課時練習)己知偶函數/*)的定義域為(^,0)11(0，田)，且在(-00，。)上是增函數，若〃-3)=0,

則不等式必(工)<。的解集是.

【答案】[一3,0)U[3,KO)

【解析】因為/(外是偶函數，且在(Y，O)上是增函數，

所以八幻在(0,+8)上是減函數，

又f(-3)=0,所以/(3)=0,

當工>0時，不等式MXMKO即為/WKOn"?),解得x^3；

當x<0時，不等式加x)KO即為/*)之0=/(-3),解得途-3,

此時-3W><0,

故答案為：L—3,0)UL3,KO),

18.(2022秋?貴州畢節?高一統考期末)設函數/(戈)=2+島，acR的最大值為M,最小值為N,則

M+N=

【答案】4

【解析】g(x)=半的定義域是R，4y)=-華=-且(同，

所以g(x)=Y\為奇函數，設gW=$的最大值為K，則最小值為-K，

所以所以M+N=(2+K)+(2-K)=4.故答案為：4

2-K=N

19.(2022秋?高一單元測試)若定義在區上的函數/(“滿足：對任意不公￡1有/(耳+七)=/(』)+/(占)+1,

則下列說法中：①/(“-1為奇函數；②/(刈-1為偶函數；③/(“+1為奇函數；④/(x)+l為偶函數.

一定正確的是__________________

【答案】③

【解析】對任意xceR，有/(8+電)=/(與)+/(七)+1，

令士=w二(),得〃0)=-1,

令西=工，w=-x,得f(O)=f(%)+/(-x)+l,

整理得〃X)+1=—/(T)—1=—［“T)+1］,故/(x)+l為奇函數，

無法判斷/。)-1的奇偶性.

故答案為：③.

20.(2022春?北京?高一校考期中)已知函數是定義在［1-2此間上的偶函數，%,七目0,間，當.々

時，［/(A-I)-/(X2)］(X,-X2)<0,則不等式l)?/(2x)的解集是.

【答案】0,1

【解析】?.?函數/(力是定義在1-2〃小〃］上的偶函數，.??1-2〃?+〃7=0,解得〃2=1.

又里不看日。，1］，當x尸王時，［/(占)一/伍)］(%-9)<0，

二函數/⑺在［0,1］上單調遞減，???/(x-l)4/(2"，

"一""I「口

/-'|2x|<I,解得0"弓，故答案為：()G.

M印HL」

21.(2023?江蘇蘇州)已知偶函數/?")在區間(3,()］上單調遞減，且"-2)=0,則不等式(x-l)/(x)<0的

解集為.

【答案】(f-2)U(L2)

【解析】由題知：“X)在區間(-?。］上單調遞減，在(。，口)上單調遞增，

K/(-2)=/(2)=0,

當時，x-l<0,/(A)>0,(x-l)/(x)<0,符合題意，

當HG(—2,1)時，x-l<0,/(x)<0,(x-i)/(x)>o,不符合題意，

當xe(l,2)時，x-l>0,〃x)<0,(x-l)/(x)<0,符合題意，

當x?2,+oo)時,x-l>0,/(x)>0,(x-i)/(v)>o,不符合題意,

綜上(A-l)/(x)<0的解集為(YO,-2)U(1,2)

故答案為:S,-2)U(1,2)

22.(2022秋?廣東佛山)若函數/(x)是定義在(一山)上的奇函數，當時，/(4)=/一1,則當xc((),D

時，函數/(%)的解析式為：若函數/(月是定義在(T1)上的偶函數，且在(T0］上為增函數.則

不等式的解莫為

【答案】/(x)=x3+l(0,1)

【解析】令rw(—l,0),即xe(O.D,則=(—打一1=-/(*)=/(x)=V+1；

由題意可得：2工一；<\\-x\<\=>4x2-2x+^<x2-2.r+l<1

故答案為：/(x)=V+l：(0，)

23.(2022秋?廣東肇慶)已知函數〃力=7、是定義在(-口)上的函數.

⑴判斷并證明函數/(')的奇偶性；

⑵判斷函數/(x)的單調性，并用定義法證明；

【答案】(1)奇函數，證明見解析

(2)/(x)在(-1,1)上為單調遞增函數，證明見解析

【解析】(1)函數f(x)為奇函數

證明如下：函數/(X)的定義域為(-1,1),

/(-刈=三=-/0).

r+1

所以函數/(X)為奇函數.

(2)/(x)在(T/)上為單調遞增函數

證明如下：

設一1VX/VX2<1，

m.iH),f)=」_____工=(4-內)(內巧-1)

則-X5)八(9x年+]Mi(M+i)H+i)?

因為一IVx/VxzVl,,

同〒以x2-演>0,內七一1<0,(X：+IXxJ+1)>0.

則f(F)</(/).

故/(x)在(T/)上為單調遞增函數.

24.(2022春?海南省直轄縣級單位?高一海南二中校考開學考試)已知函數/。)=三_

x

⑴判斷/“)的奇偶性并證明；

(2)當XG(l,y)時，判斷f(x)的單調性并證明;

(3)在⑵的條件下,若實數加滿足/(〃/)>/(3-2〃?)，求用的取值范圍.

【答案】(1)奇函數，證明見解析：

⑵單調遞增，證明見解析；

(3)(70,-3).

【解析】(1)/(另是奇函數，證明如下:

啾工)的定義域(y,o)u(o,y)關于原點對稱，

K/(-A-)=(~X)2+1=--=-/(X),

一XX

團函數”X)是奇函數；

(2)/)在(L*o)上單調遞增,證明如下:

任取方,為￡(1,田),且百>X2,

X；+1￥+1_X；X+Xj-XjXj-N_中2(--%)一(％-「2)_(「一蒼)(西工2T)

則/(%)7(々)=2

內x?中2中2

0X]>x2>1,0Xj-x2>0,x)x2-1>0,X1%2>0，

團/(%)-/(%)>°，即/(%)>/(七)，

W⑴在(L?o)上單調遞增;

(3)由(2)知函數/(“在(1,口)上單調遞增，由2帆),

得加2>3_2/n>l,解之得3<-3I

回實數”的取值范圍是(f,-3).

25.(2023山東)已知〃x)是定義在R上的偶函數，當xNO時，f(.x)=x2-x

⑴求/W的解析式;

(2)畫出/("的圖象;

⑶求該函數的值域.

x2-x,x>0

【答案】⑴/")=<

x2+x,x<0

(2)圖象見解析

⑶卜m)

【解析】⑴當X<0時，-V>0,故〃-x)=(-X)2+X=%2+X,

因為〃力是定義在R上的偶函數，所以/(-力=)(同，

所以〃工)=/+，

x2-x,x>0

綜上，/(x)=<

x2+x,x<0

1

(2)當xNO時，f(x)=x2-x=x——

24

上單調遞減，在(；，+8［上單調遞增,

1Z/

又因為/(X)為偶函數，故"X)在(y,-；)上單調遞減，在卜彳,0)上單調遞增,

且=T〃T)=〃1)=〃O)=O，

畫出函數圖象如下：

(3)由(2)可知看出函數的值域為一：，+8).

26.(2023,高一課時練習)若函數)，=/*)對任意x,ywR,恒有/*+y)=/(x)+/(y)成立，且/。)=—1.

⑴求證：y=/(x)是奇函數：

⑵求/(2)J(6)的值；

(3)若K>0時，/U)<0,試求/")在［-2,6］上的最大值和最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)/(-2)=2,/(6)=-6

⑶最大值為2,最小值為-6

【解析】(1)定義域為R，令x=y=0,得/(0)=0,再令二一七得/(T)=-/(X),

所以/(?%)+/(X)=o,故y=/a)是奇函數;

(2)因為/⑴二-1,故令x=)，=l得/(1+1)=2/(1),即/(2)=2/⑴=—2,

又0=/(")是奇函數,所以/(-2)=2,

令』=)，=2得/(4)=2/(2)=-4,

令工=2，)，=4得/(6)=/(4)+/(2)=-4-2=-6

故f⑹=-6；

(3)不妨設々>玉小,々CR，

f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x7,y=%2f得,

/(七)一/(%)=/(%2一內)，

因為七一%>0,又x>0時，f(x)<0,

所以f(x2)-/(x,)=/(x2-x,)<0,即/(x2)</(X,),

所以在R上單調遞減，

故f（X）皿=7（-2）=2=/⑹=-6.

27.（2023春?湖北宜昌?高一校考階段練習）已知函數/（幻=如葉￡.

X

⑴若g（x）=/。）-2,判斷g（x）的奇偶性（不用證明）.

⑵當。=:時，先用定義法證明函數/（幻在［1,y）上單調遞增，再求函數/*）在［1,”）上的最小值.

⑶若對任意xw［l,+8）,/3>0恒成立，求實數a的取值范圍.

【答案】（1）奇函數

7

⑵i正明見解析，最小值為］

⑶（-3,+8）

【解析】（1）g（x）為奇函數.理由如下:

黑幻=-2=x+@（xw0）,

x

函數g（x）的定義域為｛力W。｝,關于原點對稱，

g（T）=-V——=-（X+-）=—g（X）,

XX

所以ga）是奇函數.

（2）當o=!時，/（.r）=.r+—+2,

22.v

%,巧w［L+R），A.不〈生，

所以八%）—"W）=37,2中「1）.

因為143V怎，

所以X］-々<0，中2>I，2x（x2-1>0,

所以（*一耳（2*占7）<（）,即/?）一/（毛）<。，于是有〃為）</（天），

ZX1X2

所以函數/（外在［1,+00）上單調遞增，

所以函數/（X）在［1,+8）上的最小值為了⑴=-.

（3）若對任意x?l,+8）,/。）>0恒成立，

x2+2.r+a>()a>-(x2+2x),

則

x>I,x>1,

所以問題轉化為〃大于函數以幻=-（V+2x）在[1,轉）上的最大值，

^（jf）=-（x24-2x）=-（x+l）2+l,XG[1,-K?）,

由二次函數函數的性質知，開口向下，對稱軸為4-1,

所以函數奴工）在口,+0。）上單調遞減，

所以。（X）最大值為。。）=-3,即0>-3.

所以實數a的取值范圍是（-3,+8）.

28.（2023秋?浙江杭州?高一杭十四中校考期末）已知函數“1）=2'-畀/是定義在R上的偶函數.

⑴求實數〃?的值；

（2）利用定義證明/（A-）在[0,-Ko）上的單調性；

（3）若13-3）-12*40,求實數。的取值范圍.

【答案】⑴-1.

⑵證明見解析.

（3]

（3）aey,——u[l,4-a?）.

<2」

【解析】（1）因為函數/（幻=2'3+/是定義在R上的偶函數，

/（r）=2--含+（-Y）q-〃圖+x2,???/（x）=/（-x）

/.ni=-\.

（2）由（1）可知/（X）=2T+￡+』，

x

設力2>X]20,f（xj-f（x2）=2'+5+匹2一卜+5+石）

I?9必_9V,

22Xt：

=2*―2與+--—+xl-x2=2'-2+毅”:+（西一/）（芭+工2）

=（2廠2”）（1-臺）+（為—%）

rr,t2A,+X：

???丹>xf>0,.-.X]-x2<0,X+x2>02'<2*2，2-2<0,2$2與=2>1,

°〈焉3,°金一備總）口-募H。，a—oa+w）<。，

〃芭）-/（x2）<0,/.f{x）在[0,+oo）J-的單調遞增.

（3）-3）-/（2?2）<0,.-./（?-3）</（2?2）,

又因為函數/（外=2'+合+”2是定義在R上的偶函數，/⑶在［0收）上的單調遞增.

222

：.\a-3\<\2a\f：.-2a<a-3<2af

當2々2一々+320,awR，當2儲+〃-3之0,8，-1!u［l,+a）

.??/（a-3）-f（2