1.設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為ρ，在一邊側(cè)面上受均布剪力q，如圖1，試求應(yīng)力分量。圖1解：采用半逆解法，設(shè)。圖1導(dǎo)出使其滿足雙調(diào)和方程：取任意值時，上式都取任意值時，上式都應(yīng)成立，因而有：式中，中略去了常數(shù)項，中略去了的一次項及常數(shù)項，因為它們對應(yīng)力無影響。（1）（1）含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為：利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：能自然滿足：能自然滿足：利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：能自然滿足：能自然滿足：（3）（3）不能精確滿足，只能近似滿足：不能精確滿足，只能近似滿足：由式（3）、（4）解出常數(shù)和，進而可求得應(yīng)力分量：（4）（4）（4）（4）（5）圖2（a）圖2（a）（b）解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：不難驗證其滿足。所以應(yīng)力分量為：2.用邊界條件確定常數(shù)，進而求出應(yīng)力解答：上邊界：力對應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ：由平衡條件得含有待定系數(shù)的應(yīng)力表達式為：利用邊界條件確定，并求出應(yīng)力分量：上、下邊界：左端部：解得：6.試考察應(yīng)力函數(shù)在圖3-8所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題(體力不計)?【解答】⑴相容條件:不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).⑵求應(yīng)力分量當體力不計時，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)，得⑶考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當a>0時，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端:右端:應(yīng)力分布如圖所示，當時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩AA主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當<0時，可以解決偏心壓縮問題。7.試考察應(yīng)力函數(shù)，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計體力），畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題。【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）將QUOTE錯誤!未找到引用源。代入式（2-24），得應(yīng)力分量表達式（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：①在主要邊界上（上下邊界）上，，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15），應(yīng)力因此，在主要邊界上，無任何面力，即②在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為：因此，各邊界上的面力分布如圖所示：③在x=0，x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式：x=0上x=l上因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a)(b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。8.設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為ρ，在一邊側(cè)面上受均布剪力q（圖3-10），試求應(yīng)力分量。【解答】采用半逆法求解。由材料力學解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。(1)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學，彎曲應(yīng)力主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力主要與截面的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載為零，則(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式將，體力，代入公式（2-24）有對y積分，得（a）（b）其中都是x的待定函數(shù)。（3）由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將（b）式代入相容方程（2-25），得（c）在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個根（全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它），可見其系數(shù)與自由項都必須為零，即兩個方程要求（d）中的常數(shù)項，中的常數(shù)項和一次項已被略去，因為這三項在的表達式中成為y的一次項及常數(shù)項，不影響應(yīng)力分量。將（d）式代入（b）式，得應(yīng)力函數(shù)（e）（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量（f）(g)(h)(5)考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、E。主要邊界上（左）：將（f），（h）代入，自然滿足（i）主要邊界上，，自然滿足，將（h）式代入，得（j）在次要邊界上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：（k）（l）（m）由式（i），(j)，（k），（l），（m）聯(lián)立求得代入公式（g），(h)得應(yīng)力分量9.設(shè)圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解。【解答】采用半逆解法求解(1)檢驗應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程（2-25）設(shè)應(yīng)力函數(shù)，不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程（2-25）(2)由式（2-24）求應(yīng)力分量由體力分量，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）得應(yīng)力分量：（a）（b）（c）（3）考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。①對于主要邊界，其應(yīng)力邊界條件為：，（d）將式（d）代入式（b），（c），可得（e）②對于主要邊界（斜面上），應(yīng)力邊界條件：在斜面上沒有面力作用，即，該斜面外法線方向余弦為，，.由公式（2-15），得應(yīng)力邊界條件（f）將式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得（g）將式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得應(yīng)力分量表達式：10.設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計，l>>h，圖3-5，試用應(yīng)力函數(shù)Φ=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解應(yīng)力分量。解：本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù)Φ，可按下列步驟求解。1．將Φ代入相容方程，顯然是滿足的。2．將Φ代入式（2-24），求出應(yīng)力分量3．考慮邊界條件：主要邊界y=±h/2上，應(yīng)精確滿足式（2-15），在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負x面，圖3-5中表示了負x面上σx,和τxy的正方向，由此得由式(a)，（b）解出最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必須滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得11.擋水墻的密度為ρ1，厚度為b，圖3-6，水的密度為ρ2，試求應(yīng)力分量。解：用半逆解法求解1．假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式，因為在y=-b/2邊界上，σy=0；y=b/2邊界上，σy=-ρ2gx，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)σy為2．推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由σy推測Φ的形式，3．由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將Φ代入▽4Φ=0，得要使上式在任意的x處都成立，必須代入Φ，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。4．由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，將Φ代入式（2-24），注意體力fx=ρ1g，fy=0，求得應(yīng)力分量為5．考慮邊界條件：在主要邊界y=±b/2上，有由上式得到求解各系數(shù)，由(a)+(b)得(a)-(b)得(c)-(d)得(c)+(d)得由此得又有(e)-(f)得(e)+(f)得代入A，得在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：由式(g),(h)解出代入應(yīng)力分量的表達式，得應(yīng)力解答：12.已知試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)？解：作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，將Φ代入，（a）其中A=0，才可成為應(yīng)力函數(shù)；（b）必須滿足3（A+E）+C=0，才可成為應(yīng)力函數(shù)。13.圖3-7所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩M=的作用，試用應(yīng)力函數(shù)求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點的位移和轉(zhuǎn)角均為零。解：應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：（1）校核相容方程▽4Φ=0，滿足。（2）求應(yīng)力分量，在無體力時，得（3）考慮主要邊界條件，均已滿足。考慮次人邊界條件，在y=0上，代入，得應(yīng)力的解答，上述Φ和應(yīng)力已滿足了▽4Φ=0和全部邊界條件，因而是上述問題的解。（4）求應(yīng)變分量，（5）求位移分量，將u,v代入幾何方程第三式兩邊分開變量，并令都等于常數(shù)ω,即從上式分別積分，求出代入u,v，得再由剛體約束條件，代入u,v，得到位移分量的解答：在頂點x=y=0。14.矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載，圖3-8。試用下列應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：、（1）將Φ代入相容方程由此，（2）求應(yīng)力分量，在無體力下，得（3）考慮主要邊界條件（y±h/2）,對于任意的x值，上式均應(yīng)滿足，由此得由(c)+(d)得由(c)-(d)得由（e）-(a)得（4）考慮小邊界上的邊界條件（x=0），由得由式（b）和(f)解出另兩個積分的邊界條件，顯然是滿足的。于是，將各系數(shù)代入應(yīng)力表達式，得應(yīng)力解答：讀者試校核在x=l的小邊界上，下列條件都是滿足的。15.矩形截面的柱體受到頂部的集中力和力矩M的作用。圖3-9，不計體力，試用應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分量。解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：（1）代入相容方程，▽4Φ=0，滿足。（2）求應(yīng)力分量，在無體力下，得（3）考察邊界條件。在主要邊界，在次要邊界x=0，再由(a),(b)式解出代入，得應(yīng)力解答，16.試由應(yīng)力函數(shù)求解圖3-10所示的半無限平面體在x≤0的邊界上受均布壓力q的問題。解：應(yīng)校核相容方程的邊界條件，若這些條件均滿足，就可以求出其應(yīng)力分量。本題得出的應(yīng)力解答是17.試由應(yīng)力函數(shù)求解圖3-11所示的半平面體在x≤0的邊界上受均布切力q的問題解：應(yīng)力函數(shù)Φ應(yīng)滿足相容方程和邊界條件，若這些條件均滿足，就可以求出其應(yīng)力分量。本題得出的應(yīng)力解答是18.半平面體表面上受有均布水平面力2q，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量，如圖解：（1）由于，而相容方程，故滿足，驗證相容方程滿足；（2）求出應(yīng)力分量如下：（3）代入邊界的應(yīng)力邊界條件，得：（4）得到應(yīng)力分量的表達式為：19.半平面體表面上受有均布水平面力2q，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量，如圖（12分）解（1）由于，而相容方程，故滿足，驗證相容方程滿足；（2）求出應(yīng)力分量如下：（3）代入邊界的應(yīng)力邊界條件，得：（4）得到應(yīng)力分量的表達式為：20.如圖所示矩形截面簡支梁，長度為，高度為（，），在上邊界受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為：，求簡支梁的應(yīng)力分量（體力不計）。OO解（1）將代入相容方程，由此，（2）求應(yīng)力分量，在無體力下，得（3）考察主要邊界條件，對于任意的x值，上式均應(yīng)滿足，由此得（a）（b）（c）（d）由(c)+(d)得。由(c)-(d)得(e)由(e)-(a)得（4）考察小邊界上的邊界條件（x=0）,由得（f）由式（b）和(f)解出另兩個積分的邊界條件：顯然是滿足的。（5）于是，將各系數(shù)代入應(yīng)力表達式，得應(yīng)力解答：經(jīng)校核在x=l的小邊界上，下列條件也是滿足的：。21.楔形體左邊垂直，右邊與垂直方向成角45o，下端無限長，不計體力，左邊受到均布水平方向的面力q作用，試用半逆解法求應(yīng)力分量。解：解法1---（1）假設(shè)部分應(yīng)力的形式并推求應(yīng)力函數(shù)的形式用量剛分析認為，各個應(yīng)力分量只可能是x和y的純一次式。而應(yīng)力函數(shù)較長度量剛高兩次，應(yīng)該是x和y的純?nèi)问剑虼思俣ǎ海?）驗證上式滿足相容方程。顯然滿足（3）求解應(yīng)力分量的具體形式（4）考察邊界條件第一個邊界x=0應(yīng)力邊界條件為：代入上式并代入邊界方程x=0可得：因此應(yīng)力分量變化為：第二邊界x=y的應(yīng)力邊界條件為：而：所以：（5）求解應(yīng)力分量最后得出應(yīng)力分量為：解法2---（1）假設(shè)（2）代入相容方程：得到：（3）代入邊界條件第一個邊界x=0應(yīng)力邊界條件為：第二邊界x=y的應(yīng)力邊界條件為：而：得到：（4）求解應(yīng)力分量22.如圖所示楔形體右側(cè)面受均布荷載q作用，試求應(yīng)力分量。SHAPESHAPE【解】（1）楔形體內(nèi)任一點的應(yīng)力分量決定于q、ρ、，其中q的量綱為NL-2，與應(yīng)力的量綱相同。因此，各應(yīng)力分量的表達式只可能取Kq的形式，而K是以，表示的無量綱函數(shù)，亦即應(yīng)力表達式中不能出現(xiàn)ρ，再由知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是的函數(shù)乘以，可設(shè)（a）將式（a）代入雙調(diào)和方程，得，=0，上式的通解為，將上式代入式（a），得應(yīng)力函數(shù)為。（b）(2)應(yīng)力表達式為(c)(3)應(yīng)力邊界條件，得2（A+D）=－q;(d),得Acos2+Bsin2+C+D=0,(e),得－2B－C=0,(f),2Asin2－2Bcos2－Ｃ=0。(g)聯(lián)立求解式(d)－(g)，得各系數(shù)，，，。將系數(shù)代入(c)，得應(yīng)力分量（h）23.楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如下圖所示，試求其應(yīng)力分量。【解】（1）應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)，進行求解。由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量（2）考察邊界條件：根據(jù)對稱性，得（a）(b)(c)(d)同式（a）得(e)同式（b）得(f)同式（c）得(g)同式（d）得(h)式(e)、(f)、(g)、(h)聯(lián)立求解，得將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得24.圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為1，右端固定、左端自由，荷載分布在自右端上，其合力為P（不計體力），求梁的應(yīng)力分量。解：這是一個平面應(yīng)力問題，采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程M（x）與截面位置坐標x成正比，而該截面上某點處的正應(yīng)力又與該點的坐標y成正比，因此可設(shè)QUOTE錯誤!未找到引用源。(a)式中QUOTE錯誤!未找到引用源。的為待定常數(shù)。將式（a）對y積分兩次，得QUOTE錯誤!未找到引用源。(b)式中的QUOTE錯誤!未找到引用源。，QUOTE錯誤!未找到引用源。為x的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式（b）代入相容方程QUOTE錯誤!未找到引用源。，得QUOTE錯誤!未找到引用源。上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它，可見它的系數(shù)和自由項都必須為零，即QUOTE錯誤!未找到引用源。，QUOTE錯誤!未找到引用源。積分上二式，得式中QUOTE錯誤!未找到引用源。為待定的積分常數(shù)。將QUOTE錯誤!未找到引用源。，QUOTE錯誤!未找到引用源。代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)為QUOTE錯誤!未找到引用源。.(c)(2)應(yīng)力分量的表達式QUOTE錯誤!未找到引用源。QUOTE錯誤!未找到引用源。(3)考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無水平力；上、下部無荷載；自由端的剪力之和為P，得邊界條件QUOTE錯誤!未找到引用源。,自然滿足；QUOTE錯誤!未找到引用源。,得QUOTE錯誤!未找到引用源。;上式對x的任何值均應(yīng)滿足，因此得QUOTE錯誤!未找到引用源。，QUOTE錯誤!未找到引用源。，即QUOTE錯誤!未找到引用源。，得QUOTE錯誤!未找到引用源。X取任何值均應(yīng)滿足，因此得QUOTE錯誤!未找到引用源。.將式（e）代入上式積分，得計算得QUOTE錯誤!未找到引用源。,QUOTE錯誤!未找到引用源。其中QUOTE錯誤!未找到引用源。,橫截面對Z軸的慣性矩。最后得應(yīng)力分量為QUOTE錯誤!未找到引用源。25.試考察應(yīng)力函數(shù)QUOTE錯誤!未找到引用源。能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量(不計體力),畫出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布(在次要邊界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。解（1）相容條件：將代入相容方程QUOTE錯誤!未找到引用源。,顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達式(3)邊界條件：在QUOTE錯誤!未找到引用源。主要邊界上，應(yīng)精確定滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界x=o,x=l上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件QUOTE錯誤!未找到引用源。(a)QUOTE錯誤!未找到引用源。(b)QUOTE錯誤!未找到引用源。(c)對于如圖所示矩形板和坐標系，當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，由應(yīng)力邊界條件式（a）(b)、(c)可知上邊、下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂在自由端受集中力作用的問題。26.如題3-6圖所示的墻，高度為h,寬度為b,h>>b,在兩側(cè)上受到均布剪力q的作用，試用函數(shù)QUOTE錯誤!未找到引用源。求解應(yīng)力分量。解：（1）相容條件將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程QUOTE錯誤!未找到引用源。，其中QUOTE錯誤!未找到引用源。，QUOTE錯誤!未找到引用源。，QUOTE錯誤!未找到引用源。。很顯然滿足相容方程。（2）應(yīng)力分量表達式(3)考察邊界條件，在主要邊界QUOTE錯誤!未找到引用源。上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件，即在次要邊界y=0上，QUOTE錯誤!未找到引用源。而的條件不可能精確滿足（否則只有A=B=0），可用積分的應(yīng)力邊界條件代替QUOTE錯誤!未找到引用源。.(4)把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得應(yīng)力分量為27.設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計，l>>h如題3-7圖所示，試用應(yīng)力函數(shù)QUOTE錯誤!未找到引用源。求解應(yīng)力分量。解（1）相容條件將QUOTE錯誤!未找到引用源。代入相容方程，顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達式(3)考察邊界條件，在主要邊界QUOTE錯誤!未找到引用源。上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件得QUOTE錯誤!未找到引用源。(a)在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替。注意x=0是負x面，由此得QUOTE錯誤!未找到引用源。(b)由式（a）(b)解出最后一個次要邊界條件（x=l上）,在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得QUOTE錯誤!未找到引用源。QUOTE錯誤!未找到引用源。QUOTE錯誤!未找到引用源。28.設(shè)題3-9圖中的簡支梁只受重力作用，而梁的密度為，試用教材§3-4中的應(yīng)力函數(shù)(e)求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。解（1）應(yīng)力函數(shù)為(2)應(yīng)力分量的表達式這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能夠選擇適當?shù)某?shù)A,B,…，K,使所有的邊界條件都滿足，則應(yīng)力分量式（b）,(c),(d)就是正確的解答。（3）考慮對稱性。因為yz面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當對稱于yz面。這樣是QUOTE錯誤!未找到引用源。是x的偶函數(shù)，而QUOTE錯誤!未找到引用源。是x的奇函數(shù)，于是由式（b）和（d）可見（4）考察邊界條件：在主要邊界QUOTE錯誤!未找到引用源。上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件將應(yīng)力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有QUOTE錯誤!未找到引用源。，可見這些邊界條件要求聯(lián)立求解得到將以上已確定的常數(shù)代入式（b）,式（c）和（d），得考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，例如右邊。梁的右邊沒有水平面力，x=l時，不論y取任何值QUOTE錯誤!未找到引用源。，都有QUOTE錯誤!未找到引用源。。由式（f）可見，這是不可能滿足的，除非QUOTE錯誤!未找到引用源。是均為零。因此，用多項式求解，只能要求QUOTE錯誤!未找到引用源。在這部分邊界上合成的主矢量