8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積-2025學年高一數(shù)學新教材同步課堂精講練導學案（人教A版2019必修第二冊）8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積【學習目標】1.會求棱柱、棱錐、棱臺的表面積2.會求棱柱、棱錐、棱臺的體積【自主學習】知識點1棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱的表面積棱柱的表面積：S表＝．①其中底面周長為C，高為h的直棱柱的側面積：S側＝；②長、寬、高分別為a，b，c的長方體的表面積：S表＝；③棱長為a的正方體的表面積：S表＝.2．棱錐的表面積棱錐的表面積：S表＝S側＋；底面周長為C，斜高(側面三角形底邊上的高)為h′的正棱錐的側面積：S側＝.3．棱臺的表面積棱臺的表面積：S表＝．多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積之和．知識點2棱柱、棱錐、棱臺的體積1．棱柱的體積(1)棱柱的高是指之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這個點與垂足(垂線與底面的交點)之間的距離．(2)棱柱的底面積S，高為h，其體積V＝.2．棱錐的體積(1)棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，與(垂線與底面的交點)之間的距離．(2)棱錐的底面積為S，高為h，其體積V＝.3．棱臺的體積(1)棱臺的高是指之間的距離．(2)棱臺的上、下底面面積分別是S′、S，高為h，其體積V＝．

【合作探究】探究一多面體的表面積【例1】已知正三棱臺(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面邊長分別為2cm和4cm，側棱長是eq\r(6)cm，則該三棱臺的表面積為________．歸納總結：【練習1】如圖所示，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個側面都是矩形)，兩端是封閉的，筒高1.6m，底面外接圓的半徑是0.46m，問：制造這個滾筒需要m2鐵板(精確到0.1m2)．

探究二多面體的體積【例2】如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知底面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為()A.eq\f(9,2) B．5C．6 D.eq\f(15,2)歸納總結：【練習2】三棱臺ABC-A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，則三棱錐A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的體積之比為()A．111B．112C．124D．144課后作業(yè)A組基礎題一、選擇題1．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)2．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．963．棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個截面把棱錐的側面分成兩部分的面積之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶34．若正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)5．四棱臺的兩底面分別是邊長為x和y的正方形，各側棱長都相等，高為z，且側面積等于兩底面積之和，則下列關系式中正確的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)二、填空題6．已知一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為________．7．已知棱長為1，各面均為等邊三角形的四面體，則它的表面積是________，體積是________．8.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，則點A到平面A1BD的距離d＝________.三、解答題9．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．

10．如圖，已知正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．11．建造一個容積為16m3，深為2m，寬為2m的長方體無蓋水池，如果池底的造價為120元/m2，池壁的造價為80元/m2，求水池的總造價．

B組能力提升一、選擇題1．正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為()A．3πB．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)π D．12．正三棱錐的底面周長為6，側面都是直角三角形，則此棱錐的體積為()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(\r(2),3)二、填空題3．已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3，三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形，側棱長為3，則此幾何體的體積是________，表面積是________．三、解答題4．如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．5．一個正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h.一個正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的頂點A1，B1，C1分別在三條棱上，A0，B0，C0分別在底面△ABC上，何時此三棱柱的側面積取到最大值？8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積導學案編寫：廖云波初審：譚光垠終審：譚光垠廖云波【學習目標】1.會求棱柱、棱錐、棱臺的表面積2.會求棱柱、棱錐、棱臺的體積【自主學習】知識點1棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱的表面積棱柱的表面積：S表＝S側＋2S底．①其中底面周長為C，高為h的直棱柱的側面積：S側＝Ch；②長、寬、高分別為a，b，c的長方體的表面積：S表＝2(ab＋ac＋bc)；③棱長為a的正方體的表面積：S表＝6a2.2．棱錐的表面積棱錐的表面積：S表＝S側＋S底；底面周長為C，斜高(側面三角形底邊上的高)為h′的正棱錐的側面積：S側＝eq\f(1,2)Ch′.3．棱臺的表面積棱臺的表面積：S表＝S側＋S上底＋S下底．多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積之和．知識點2棱柱、棱錐、棱臺的體積1．棱柱的體積(1)棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這個點與垂足(垂線與底面的交點)之間的距離．(2)棱柱的底面積S，高為h，其體積V＝Sh.2．棱錐的體積(1)棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足(垂線與底面的交點)之間的距離．(2)棱錐的底面積為S，高為h，其體積V＝eq\f(1,3)Sh.3．棱臺的體積(1)棱臺的高是指兩個底面之間的距離．(2)棱臺的上、下底面面積分別是S′、S，高為h，其體積V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．

【合作探究】探究一多面體的表面積【例1】已知正三棱臺(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面邊長分別為2cm和4cm，側棱長是eq\r(6)cm，則該三棱臺的表面積為________．【答案】(5eq\r(3)＋9eq\r(5))cm2[分析]利用側面是等腰梯形求出棱臺的側面積，再求出其表面積．[解析]正三棱臺的表面積即上下兩個正三角形的面積與三個側面的面積和，其中三個側面均為等腰梯形，易求出斜高為eq\r(5)cm，故三棱臺的表面積為3×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2＋eq\r(3)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝5eq\r(3)＋9eq\r(5).歸納總結：在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺側面積公式的基礎上，對于一些較簡單的組合體，能夠將其分解成柱、錐、臺體，再進一步分解為平面圖形正多邊形、三角形、梯形等，以求得其表面積，要注意對各幾何體相重疊部分的面積的處理【練習1】如圖所示，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個側面都是矩形)，兩端是封閉的，筒高1.6m，底面外接圓的半徑是0.46m，問：制造這個滾筒需要5.6m2鐵板(精確到0.1m2)．解析：因為此正六棱柱底面外接圓的半徑為0.46m，所以底面正六邊形的邊長是0.46m.所以S側＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S表＝S側＋2S底＝4.416＋2×eq\f(\r(3),4)×0.462×6≈5.6(m2)．故制造這個滾筒約需要5.6m2鐵板．探究二多面體的體積【例2】如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知底面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為()A.eq\f(9,2) B．5C．6 D.eq\f(15,2)【答案】D[解析]如圖，連接EB，EC，AC，則VE-ABCD＝eq\f(1,3)×32×2＝6.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴VF-EBC＝VC-EFB＝eq\f(1,2)VC-ABE＝eq\f(1,2)VE-ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)VE-ABCD＝eq\f(3,2).∴V＝VE-ABCD＋VF-EBC＝6＋eq\f(3,2)＝eq\f(15,2).歸納總結：求幾何體體積的常用方法1公式法：直接代入公式求解.2等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可.3補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等.4分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.【練習2】三棱臺ABC-A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，則三棱錐A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的體積之比為()A．111B．112C．124D．144【答案】C解析：如圖，設棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC-A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V三棱臺ABC-A1B1C1＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB-A1B1C＝V三棱臺ABC-A1B1C1－VA1-ABC－VC-A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.∴體積比為124，∴應選C.課后作業(yè)A組基礎題一、選擇題1．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)【答案】C[∵VC-A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC-A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]2．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96【答案】B3．棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個截面把棱錐的側面分成兩部分的面積之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3【答案】B[兩個錐體的側面積之比為1∶9，小錐體與臺體的側面積之比為1∶8，故選B．]4．若正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)【答案】A[如圖所示，正方體的A′、C′、D、B的四個頂點可構成一個正四面體，設正方體邊長為a，則正四面體邊長為eq\r(2)a.∴正方體表面積S1＝6a2，正四面體表面積為S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).]5．四棱臺的兩底面分別是邊長為x和y的正方形，各側棱長都相等，高為z，且側面積等于兩底面積之和，則下列關系式中正確的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)【答案】C[由條件知，各側面是全等的等腰梯形，設其高為h′，則根據(jù)條件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4·\f(x＋y,2)·h′＝x2＋y2，,z2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－x,2)))eq\s\up12(2)＝h′2，))消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y).]二、填空題6．已知一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為________．【答案】eq\r(6)[設長方體從一點出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).]7．已知棱長為1，各面均為等邊三角形的四面體，則它的表面積是________，體積是________．【答案】eq\r(3)eq\f(\r(2),12)[S表＝4×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\r(3)，V體＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×12×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),12).]8.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，則點A到平面A1BD的距離d＝________.【答案】eq\f(\r(3),3)a[在三棱錐A1-ABD中，AA1是三棱錐A1-ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵V三棱錐A1-ABD＝V三棱錐A-A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×d，∴d＝eq\f(\r(3),3)a.∴點A到平面A1BD的距離為eq\f(\r(3),3)a.]三、解答題9．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．[解]以四面體的各棱為對角線還原為長方體，如圖．設長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD-ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V長方體，同理，VC-ABF＝VD-ACG＝VD-BCH＝eq\f(1,6)V長方體，∴V四面體ABCD＝V長方體－4×eq\f(1,6)V長方體＝eq\f(1,3)V長方體．而V長方體＝2×3×4＝24，∴V四面體ABCD＝8.10．如圖，已知正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．[解]如圖，設正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點O作OE⊥AB，與AB交于點E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.∵S側＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S側＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).11．建造一個容積為16m3，深為2m，寬為2m的長方體無蓋水池，如果池底的造價為120元/m2，池壁的造價為80元/m2，求水池的總造價．解：設長方體的長、寬、高分別為am，bm，hm，水池的總造價為y元．∵V＝abh＝16，h＝2，b＝2，∴a＝4.則有S底＝4×2＝8(m2)，S壁＝2×(2＋4)×2＝24(m2)，y＝S底×120＋S壁×80＝120×8＋80×24＝2880(元)．

B組能力提升一、選擇題1．正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為()A．3πB．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)π D．1【答案】B[如圖所示，由圖可知，該幾何體由兩個四棱錐構成，并且這兩個四棱錐體積相等．四棱錐的底面為正方形，且邊長為eq\r(2)，故底面積為(eq\r(2))2＝2；四棱錐的高為1，故四棱錐的體積為eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).則幾何體的體積為2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).]2．正三棱錐的底面周長為6，側面都是直角三角形，則此棱錐的體積為()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(\r(2),3)【答案】D[由題意，正三棱錐的底面周長為6，所以正三棱錐的底面邊長為2，側面均為直角三角形，可知側棱長均為eq\r(2)，三條側棱兩兩垂直，所以此三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).]二、填空題3．已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3，三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形，側棱長為3，則此幾何體的體積是________，表面積是________．【答案】90138