2025高一升高二數學暑假培優講義7.1-7.3復數-(必修第二冊)含答案復數1虛數單位的性質i叫做虛數單位，并規定：①i可與實數進行四則運算；②i2=?1，這樣方程x2=?1就有解了，解為③i2=?1,i32復數的概念①定義形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，a叫做實部，b叫做虛部.全體復數所成的集合C叫做復數集.復數通常用z字母表示，即z=a+bi(a,b∈R).②分類z=a+bi=3復數相等a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R)也就是說，兩個復數相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等.PS只有兩個復數全是實數，才可以比較大小，否則無法比較大小.4共軛復數z=a+bi的共軛復數記作z=a?bi，且z?5復數的幾何意義①復平面的概念建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.②復數的幾何意義復數z=a+bi與復平面內的點Z(a,b)及平面向量OZ③復數的模向量OZ的模叫做復數z=a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，表示點a,b即|z|=|a+bi|=a6代數形式的四則運算①運算法則設z1=a+bi(1)z(2)z(3)z②加減法的幾何意義幾何意義：復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ即OZ=OZ(1)|z1?z2|(2)z?z1=r(r>0)表示以(a,b)7?①一般地，任何一個復數z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，r是復數z的模，θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線為終邊的角，叫做復數z=a+bi的輻角，r(cosθ+isinθ)叫做復數z=a+bi的三角形表示式.規定：在0≤θ<2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz，即0≤②復數的代數形式z=a+bi與三角形式r(cosθ+isinθ)的互換a=rcosθ③復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義設z1=則z1z1

【題型一】復數的概念與分類【典題1】求解i+i2+i3+…+【典題2】求當a為何實數時，復數z=(a(1)z為實數；(2)【典題3】已知關于x的方程x2+21+ix+ab+a+b【題型二】復數的幾何意義與運算【典題1】已知復數z=8?i2+3i(i為虛數單位)，下列說法其中正確的是①復數z在復平面內對應的點在第四象限；②|z|=5③z的虛部為?2i；④z=1?2i【典題2】已知復數z的實部為1，虛部的絕對值為3，則下列說法錯誤的是()A．z+10z是實數 B．C．z+10z>1 D【典題3】設復數z1,z2滿足|【典題4】若Z∈C，且|Z+2?2i|=1，則|Z?2?2i|的最小值是．【典題5】復數z滿足|z+i|+|z?2|=5，則|z|的取值范圍是【典題6】已知復數z滿足|z|=1，則|z+i|+|z?i|的最大值是．鞏固練習1(★)已知兩非零復數z1,zA．z1+z2∈R B．z1?2(★)已知x,y∈R,i為虛數單位，且(x?2)i?y=1+i，則1+ix+y的值為3(★)已知復數z=8?i2+3i(i為虛數單位)，下列說法其中正確的有①復數z在復平面內對應的點在第四象限；②|z|=5；③z的虛部為?2i；④z4(★★)設z1①若z1?z2=0，則z1③若|z1|＝|z2|，則z其中真命題有個．5(★★)設復數z滿足|z－5i|=2，則z?z的最大值為6(★★)若復數z滿足z?z+z+z≤0，則復數7(★★)若復數z滿足|z|=1，則|(z+i)(z?i)|的最大值是8(★★)已知三個復數z1,z2,z3，并且|z1|=|z2|=|z39(★★)當復數z滿足|z+3?4i|=1時，則|z+2|的最小值是．10(★★)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(?1,b)(a,b∈R)是復平面上的四個點，且向量AB，CD對應的復數分別為(1)若z1+(2)若|z1+z2復數1虛數單位的性質i叫做虛數單位，并規定：①i可與實數進行四則運算；②i2=?1，這樣方程x2=?1就有解了，解為③i2=?1,i32復數的概念①定義形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，a叫做實部，b叫做虛部.全體復數所成的集合C叫做復數集.復數通常用z字母表示，即z=a+bi(a,b∈R).②分類z=a+bi=3復數相等a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R)也就是說，兩個復數相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等.PS只有兩個復數全是實數，才可以比較大小，否則無法比較大小.4共軛復數z=a+bi的共軛復數記作z=a?bi，且z?5復數的幾何意義①復平面的概念建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.②復數的幾何意義復數z=a+bi與復平面內的點Z(a,b)及平面向量OZ③復數的模向量OZ的模叫做復數z=a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，表示點a,b即|z|=|a+bi|=a6代數形式的四則運算①運算法則設z1=a+bi(1)z(2)z(3)z②加減法的幾何意義幾何意義：復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ即OZ=OZ(1)|z1?z2|(2)z?z1=r(r>0)表示以(a,b)7?①一般地，任何一個復數z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，r是復數z的模，θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線為終邊的角，叫做復數z=a+bi的輻角，r(cosθ+isinθ)叫做復數z=a+bi的三角形表示式.規定：在0≤θ<2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz，即0≤②復數的代數形式z=a+bi與三角形式r(cosθ+isinθ)的互換a=rcosθ③復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義設z1=則z1z

【題型一】復數的概念與分類【典題1】求解i+i2+i【解析】∵i+i2+i3+i∴i+i【典題2】求當a為何實數時，復數z=(a(1)z為實數；(2)【解析】復數z=(a(1)若z為實數，則a2+a?12=0，解得a=?4或(2)若z為純虛數，則a2?2a?3=0a【典題3】已知關于x的方程x2+21+ix+ab+a+b【解析】∵得x2∴x2+2x+ab=0消去x得14∵ab≤a+b∴0=1即12∵a,b∈R+，∴a+b>0，即即a+b的取值范圍是[2,+∞).【點撥】①復數相等：a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R)，注意分辨出復數的實部和虛部.②若關于x的方程fx+g(x)i=0有實數解，則【題型二】復數的幾何意義與運算【典題1】已知復數z=8?i2+3i(i為虛數單位)，下列說法其中正確的是①復數z在復平面內對應的點在第四象限；②|z|=5③z的虛部為?2i；④z=1?2i【解析】∵z=8?i∴復數z在復平面內對應的點的坐標為(1,?2)，在第四象限；|z|=5；z的虛部為?2；z故①②正確；③④錯誤．【點撥】①遇到復數的除法，分母分子同乘“分母的共軛復數”z1z2②因為z1?z2=z1【典題2】已知復數z的實部為1，虛部的絕對值為3，則下列說法錯誤的是()A．z+10z是實數 B．C．z+10z>1 D【解析】由已知得，z=1?3i或z=1+3i，則z+10z=z+10∴z+10z=2，則A，C∵z的實部大于0故z在復平面中所對應的點不可能在第三象限，D正確．故選B．【點撥】①若z=a+bi,則z?z=|?z2=a②注意一些復數的性質可減輕計算量.【典題3】設復數z1,z2滿足|【解析】方法1∵z1+∴|z∴(z1+z2)?∴8+z1z∴z又|z1?z2方法2向量法∵z∴z1,z2∵z∴z1+z2由向量的平行四邊形法則，可知四邊形OCAB是平行四邊形,如下圖易知?AOC是等邊三角形且邊長為2，易求BC=23由向量的三角形法則可知z1【點撥】①|?z2=z?z,②復數加減法的幾何意義復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ即③方法2運用的是復數與向量之間的關系，再借助幾何的手段進行求解.【典題4】若Z∈C，且|Z+2?2i|=1，則|Z?2?2i|的最小值是．【解析】方法1待定系數法設Z=∵|Z+2?2i∴a+2則Z∵b∴1?a+2∴當a=?1時，Z?2?2i方法2幾何法|Z+2?2i|=1表示Z對應的點在以|Z?2?2i其最小值為圓心(?2,2)到(2,2)的距離減去半徑，即2??2故答案為3.【點撥】①方法1用了待定系數法，把問題轉化為式子的最值問題，用到函數思想，此時特別注意自變量的取值范圍；②方法2利用了復數的幾何意義，若z|z1?z2|z?z1=r【典題5】復數z滿足|z+i|+|z?2|=5，則|z|的取值范圍是【解析】∵|z+i|+|z?2|表示復數z到兩點P(0,?1)，Q(2,0)的距離之和，而|PQ|=(?1)又|z+i|+|z?2|=5∴點z在線段PQ上，(確定點z所在的軌跡)|z|表示點O與線段PQ上點的距離，易得直線PQ的方程x?2y?2=0，原點O到此直線的距離d=25=25則|z|的取值范圍是[2【典題6】已知復數z滿足|z|=1，則|z+i|+|z?i|的最大值是．【解析】方法1∵|z|=1∴復數z對應點P在圓心(0,0)，半徑r=1的圓上，而|z+i|+|z?i|則表示點P到點A(0,1)，B(0,?1)的距離之和PA+PB=a+b，其中a2+而a+b2∴a+b的最大值為22方法2設z=cosθ+isinθ，(0≤θ<2π)．則|z+i|+|z?i|==2(1+sinθ)=2∵0≤θ<2π，∴0≤θ當θ2∈[0,π4]時，|z+i|+|z?i|=2當θ2∈(π4，3π4]時，|z+i|+|z?i|=22當θ2∈(3π4，π)時，|z+i|+|z?i|=?22綜上，|z+i|+|z?i|的最大值是22【點撥】運用了待定系數法進行求解，由|z|=1，設z=cosθ+isinθ(0≤θ<2π)，巧妙的把問題轉化為三角函數的問題.，但要分離討論較方法1還是麻煩些.鞏固練習1(★)已知兩非零復數z1,zA．z1+z2∈R B．z1?【答案】D【解析】設z1＝a+bi，z2＝c+di，(a，b，c，d∈R)，z1+z2＝a+bi+c+di＝a+c+(b+d)i，∴z1+z2∈R不一定成立，故A不正確；則z1?z2=(a+bi)(c－di)＝ac+bd+(bc∴z1?z2∈z1∴z1z2∈R∵z1z2=z1?z∴z1z2∈R故選D．2(★)已知x,y∈R,i為虛數單位，且(x?2)i?y=1+i，則1+ix+y的值為【答案】2i【解析】由x?2i?y=1+i，可得∴1+i3(★)已知復數z=8?i2+3i(i為虛數單位)，下列說法其中正確的有①復數z在復平面內對應的點在第四象限；②|z|=5；③z的虛部為?2i；④z【答案】2【解析】∵z=8?i∴復數z在復平面內對應的點的坐標為(1，－2)，在第四象限；|z|=5；z的虛部為－2；z故①②正確；③④錯誤．4(★★)設z1①若z1?z2=0，則z1③若|z1|＝|z2|，則z其中真命題有個．【答案】3【解析】由z1，z2是復數，得在①中，若|z1－z2|＝0，則z1，z2的實部和虛部都相等，∴z1=z在②中，若z1=z2，則z1，z2的實數相等，虛部互為相反數，∴z1=z在③中，若|z1|＝|z2|，則z1?z1=z2?z2=|z1|在④中，若|z1|＝|z2|，則由復數的模的性質得z1如|1－i|＝|1+i|=2，但(1－i)2＝－2i≠(1+i)2＝2i，故④5(★★)設復數z滿足|z－5i|=2，則z?z的最大值為【答案】49【解析】設z＝x+yi，由|z?5i|=(x?0)得x2+(y－5)2＝4，則復數在復平面內所對應的點的軌跡是以(0，5)為圓心，以2為半徑的圓，z?z因此，z?z的最大值為(2+5)26(★★)若復數z滿足z?z+z+z≤0，則復數【答案】5【解析】設z＝a+bi(a，b∈R)，則由z?z+z+z≤0，得a2+b即(a+1)2+b2≤1．復數z在復平面內對應點的軌跡如圖∴復數|z－1－i|的最大值為|PC|+1=(?1?1故答案為5+1．7(★★)若復數z滿足|z|=1，則|(z+i)(z?i)|的最大值是【答案】4【解析】∵復數z滿足|z|＝1，∴z?z=令z＝cosθ+isinθ，θ∈[0，2π)．則(z+i)(z－i)＝1+(z?z)i+1＝2－2∴|(z+i)(z－i)|＝|2－2sinθ|≤4，當且僅當sinθ∴|(z+i)(z－i故答案為4．8(★★)已