2025高一升高二數(shù)學暑假培優(yōu)講義6.4.1-6.4.2平面向量的應用-(必修第二冊)含答案平面向量的應用1平面幾何中的向量方法①由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.②用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.Eg點A、B、C、D不在同一直線上(1)證明直線平行或共線：(2)證明直線垂直：(3)求線段比值：ABCD(4)證明線段相等：2向量在物理中的應用①速度、力是向量，都可以轉化為向量問題；②力的合成與分解符合平行四邊形法則.【題型一】平面向量在幾何中的應用【典題1】證明:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【典題2】已知平行四邊形ABCD的對角線為AC、BD，求證AC2【典題3】用向量方法證明：三角形三條高線交于一點.【典題4】證明三角形三條中線交于一點.鞏固練習1(★★)如圖，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，則線段EF的長是．2(★★)證明勾股定理，在Rt?ABC中，AC⊥BC，AC=b3(★★)用向量方法證明對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.4(★★)用向量方法證明設平面上A，B，C，D四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD．5(★★)用向量方法證明對角線相等的平行四邊形是矩形.6(★★★)已知向量OP1→、OP2→、OP3→滿足OP1→+O【題型二】平面向量在物理中的應用【典題1】如圖，已知河水自西向東流速為|v0|=1m/s，設某人在靜水中游泳的速度為v1(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s(2)若此人實際前進方向與水流垂直，且|v2|=3m/s【典題2】在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包．假設行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，且|F①θ越大越費力，θ越小越省力；②θ的范圍為[0,π]；③當θ=π2時，|F1|=|G|其中正確結論的序號是．【典題3】如圖，重為10N的勻質球，半徑R為6cm，放在墻與均勻的AB木板之間，A端鎖定并能轉動，B端用水平繩索BC拉住，板長AB=20cm，與墻夾角為α，如果不計木板的重量，則α為何值時，繩子拉力最小？最小值是多少？鞏固練習1(★★)一條漁船以6km/?的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為2km/?，則這條漁船實際航行的速度大小為．2(★★)如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是F1,F2，且F13(★★)已知一艘船以5km/?的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實際速度．4(★★)一個物體受到同一平面內三個力F1、F2、F3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m．已知|F1=平面向量的應用1平面幾何中的向量方法①由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.②用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.Eg點A、B、C、D不在同一直線上(1)證明直線平行或共線：(2)證明直線垂直：(3)求線段比值：ABCD(4)證明線段相等：2向量在物理中的應用①速度、力是向量，都可以轉化為向量問題；②力的合成與分解符合平行四邊形法則.【題型一】平面向量在幾何中的應用【典題1】證明:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【證明】設四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且AO=OC,BO=OD∵∴AB=DC，即所以四邊形ABCD是平行四邊形即對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【點撥】①證明四邊形是平行四邊形?AB=DC且AB//DC?AB②證明幾何中的平行和長度關系可以轉化為向量的倍數(shù)關系.【典題2】已知平行四邊形ABCD的對角線為AC、BD，求證AC2【證明】由|兩式相加得|即A【點撥】利用|AB【典題3】用向量方法證明：三角形三條高線交于一點.【證明】(分析設H是高線BE、CF的交點，再證明設H是高線BE、CF的交點，則有BH∵∴AH化簡得AH?∴AH?(向量中證明AB⊥CD，所以三角形三條高線交于一點.【典題4】證明三角形三條中線交于一點.【證明】(分析設BE、AF交于O，證明C、OAF、CD、設BE、AF交于點∵點D是中點，∴連接EF，易證明?AOB~?FOE,且相似比是2：∴BO=2∴=∴CO=23CD(向量中證明三點A、B、∴AF、即三角形三條中線交于一點.鞏固練習1(★★)如圖，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，則線段EF的長是．【答案】7【解析】由圖象，得EF→=EA∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，∴2EF∵∠ABC=75°，∠BCD=45°，∴＜AB∴|EF|=1∴EF的長為72故答案為722(★★)證明勾股定理，在Rt?ABC中，AC⊥BC，AC=b【證明】由AB=AC即|故c3(★★)用向量方法證明對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.【證明】如圖平行四邊形ABCD對角線∵∴BC∴∴四邊形ABCD是菱形.4(★★)用向量方法證明設平面上A，B，C，D四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD．【證明】因AD⊥BC，所以AD→因BD⊥AC，所以AC→于是AD→?AC所以AD→?AB即CD→?AB→=0，所以CD5(★★)用向量方法證明對角線相等的平行四邊形是矩形.【證明】如圖，平行四邊形ABCD對角線AC、BD交于點設OA=a，∵對角線相等∵∴=∴AB⊥AD∴四邊形ABCD是矩形.6(★★★)已知向量OP1→、OP2→、OP3→滿足OP1→+O【證明】法一∵OP1→+OP2∴|OP1→|2+|OP2→|2+2OP又∵|OP1→|=|OP2→|=|∴|OP1→||OP2→|cos∠P1OP2=同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°．∴△P1P2P3為等邊三角形．法二以O點為坐標原點建立直角坐標系，設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則OP1→=(x1，y1)，OP2→=(x2，y2)，由OP得x1+x由|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，得x12+y12=x22+y22∴2+2(x1x2+y1y2)=1∴|P1P=2(1?同理|P1P3→|=∴△P1P2P3為正三角形【題型二】平面向量在物理中的應用【典題1】如圖，已知河水自西向東流速為|v0|=1m/s，設某人在靜水中游泳的速度為v(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s(2)若此人實際前進方向與水流垂直，且|v2|=3m/s【解析】如圖，設OA=則由題意知v2=v根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得四邊形OACB為平行四邊形．(1)由此人朝正南方向游去得四邊形OACB為矩形，且|OB則在直角△OAC中，|vtan∠AOC=31=3，又(2)由題意知α=∠OCB=π2，且則在直角△OBC中，v1=OB=O又∠AOC∈(0,π2)則β=π答(1)他實際前進方向與水流方向的夾角α為π3，v(2)他游泳的方向與水流方向的夾角β為2π3，v【點撥】注意平行四邊形法則的使用！【典題2】在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包．假設行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，且|F①θ越大越費力，θ越小越省力；②θ的范圍為[0,π]；③當θ=π2時，|F1|=|G|其中正確結論的序號是．【解析】對于①，由|G所以G2解得|F由題意知θ∈(0,π)時，y=cosθ單調遞減，所以|F即θ越大越費力，θ越小越省力；①正確．對于②，由題意知，θ的取值范圍是(0,π)，所以②錯誤．對于③，當θ=π2時，|F1|對于④，當θ=2π3時，|F1|綜上知，正確結論的序號是①④．故答案為①④．【典題3】如圖，重為10N的勻質球，半徑R為6cm，放在墻與均勻的AB木板之間，A端鎖定并能轉動，B端用水平繩索BC拉住，板長AB=20cm，與墻夾角為α，如果不計木板的重量，則α為何值時，繩子拉力最小？最小值是多少？【解析】如圖，設木板對球的支持力為N，則N=設繩子的拉力為f．又AC=20cosα，由動力矩等于阻力矩得|f∴|∴當且僅當cosα=1?cosα即cosα=12，亦即α=60°時，鞏固練習1(★★)一條漁船以6km/?的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為2km/?，則這條漁船實際航行的速度大小為．【答案】210【解析】如圖所示，漁船實際航行的速度為vAC大小為|vAC→|=|v船→+2(★★)如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是F1,F2，且F1【答案】20【解析】如圖，∵|F∴|F∴物體的重力大小為20．故答案為20．3(★★)已知一艘船以5km/?的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實際速度．【答案】53【解析】如圖，設AD→表示船垂直于對岸的速度，AB→表示水流的速度，以AD，AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則在Rt△ABC中，∠CAB=30°，|AD→|=|BC∴|AC→|=|BC故船實際航行速度的大小為10km/?，水流速度53km/?．4(★★)一個物體受到同一平面內三個力F1、F2、F3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m．已知|F1【答案】246J【解析】以三個力的作用點為原點，正東方向為x軸正半軸，建立直角坐標系．則由已知可得OF1→=(1，3)，OF2→∴OF→=OF1又位移OS→=(42，4∴OF→?OS→=(23?2)×42+(43+2)×42平面向量的應用1平面幾何中的向量方法①由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.②用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.Eg點A、B、C、D不在同一直線上(1)證明直線平行或共線：(2)證明直線垂直：(3)求線段比值：ABCD(4)證明線段相等：2向量在物理中的應用①速度、力是向量，都可以轉化為向量問題；②力的合成與分解符合平行四邊形法則.【題型一】平面向量在幾何中的應用【典題1】證明:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【證明】設四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且AO=OC∵∴AB=DC，即所以四邊形ABCD是平行四邊形即對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【點撥】①證明四邊形是平行四邊形?AB=DC且AB//DC?AB②證明幾何中的平行和長度關系可以轉化為向量的倍數(shù)關系.【典題2】已知平行四邊形ABCD的對角線為AC、BD，求證AC2【證明】由|兩式相加得|即A【點撥】利用|AB【典題3】用向量方法證明：三角形三條高線交于一點.【證明】(分析設H是高線BE、CF的交點，再證明設H是高線BE、CF的交點，則有BH∵∴AH化簡得AH?∴AH?(向量中證明AB⊥CD，所以三角形三條高線交于一點.【典題4】證明三角形三條中線交于一點.【證明】(分析設BE、AF交于O，證明C、OAF、CD、設BE、AF交于點∵點D是中點，∴連接EF，易證明?AOB~?FOE,且相似比是2：∴BO=2∴=∴CO=23CD(向量中證明三點A、B、∴AF、即三角形三條中線交于一點.鞏固練習1(★★)如圖，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，則線段EF的長是．【答案】7【解析】由圖象，得EF→=EA∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，∴2EF∵∠ABC=75°，∠BCD=45°，∴＜AB∴|EF|=1∴EF的長為72故答案為722(★★)證明勾股定理，在Rt?ABC中，AC⊥BC，AC=b【證明】由AB=AC即|故c3(★★)用向量方法證明對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.【證明】如圖平行四邊形ABCD對角線∵∴BC∴∴四邊形ABCD是菱形.4(★★)用向量方法證明設平面上A，B，C，D四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD．【證明】因AD⊥BC，所以AD→因BD⊥AC，所以AC→于是AD→?AC所以AD→?AB即CD→?AB→=0，所以CD5(★★)用向量方法證明對角線相等的平行四邊形是矩形.【證明】如圖，平行四邊形ABCD對角線AC、BD交于點設OA=a，∵對角線相等∵∴=∴AB⊥AD∴四邊形ABCD是矩形.6(★★★)已知向量OP1→、OP2→、OP3→滿足OP1→+O【證明】法一∵OP1→+OP2∴|OP1→|2+|OP2→|2+2OP又∵|OP1→|=|OP2→|=|∴|OP1→||OP2→|cos∠P1OP2=同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°．∴△P1P2P3為等邊三角形．法二以O點為坐標原點建立直角坐標系，設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則OP1→=(x1，y1)，OP2→=(x2，y2)，由OP得x1+x由|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，得x12+y12=x22+y22∴2+2(x1x2+y1y2)=1∴|P1P=2(1?同理|P1P3→|=∴△P1P2P3為正三角形【題型二】平面向量在物理中的應用【典題1】如圖，已知河水自西向東流速為|v0|=1m/s，設某人在靜水中游泳的速度為v(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s(2)若此人實際前進方向與水流垂直，且|v2|=3m/s【解析】如圖，設OA=則由題意知v2=v根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得四邊形OACB為平行四邊形．(1)由此人朝正南方向游去得四邊形OACB為矩形，且|OB則在直角△OAC中，|vtan∠AOC=31=3，又(2)由題意知α=∠OCB=π2，且則在直角△OBC中，v1=OB=O又∠AOC∈(0,π2)則β=π答(1)他實際前進方向與水流方向的夾角α為π3，v(2)他游泳的方向與水流方向的夾角β為2π3，v【點撥】注意平行四邊形法則的使用！【典題2】在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包．假設行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，且|F①θ越大越費力，θ越小越省力；②θ的范圍為[0,π]；③當θ=π2時，|F1|=|G|其中正確結論的序號是．【解析】對于①，由|G所以G2解得|F由題意知θ∈(0,π)時，y=cosθ單調遞減，所以|F即θ越大越費力，θ越小越省力；①正確．對于②，由題意知，θ的取值范圍是(0,π)，所以②錯誤．對于③，當θ=π2時，|F1|對于④，當θ=2π3時，|F1|綜上知，正確結論的序號是①④．故答案為①④．【典題3】如圖，重為10N的勻質球，半徑R為6cm，放在墻與均勻