2025高一升高二數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)講義6.1-6.2.3平面向量的概念與運(yùn)算-(必修第二冊)含答案平面向量的概念與運(yùn)算知識點(diǎn)一平面向量的概念1向量的概念既有大小又有方向的量，常用AB，a等表示；向量AB的長度是PS平面向量在平面內(nèi)是可以任意移動的.2常見向量的概念名稱定義特點(diǎn)零向量長度為0的向量零向量的方向是任意的單位向量長度為一個單位長度的向量與AB共線的單位向量是相等向量長度相等且方向相同的兩個向量相等向量有傳遞性平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量a，記作零向量和任何向量平行相反向量長度相等方向相反的向量a的相反向量記作?PS(1)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；(2)平行向量無傳遞性！(因為有0(3)因為平面向量在平面內(nèi)是可以任意移動的，與線段不一樣，所以向量沒有固定的起點(diǎn)和終點(diǎn)，兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念.圖一線段AB和CD,在①中是AB//CD，在②中是AB、CD共線；(圖一)圖二向量AB和CD,對于向量來說共線與平行是同一概念，故①和②(圖二)知識點(diǎn)二平面向量的運(yùn)算1向量的加法①向量加法的三角形法則已知向量非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A,作AB=a,BC=b，則向量②向量加法的平行四邊形法則若AB=a,AD=b，則向量

AC叫做

作圖(ABCD是平行四邊形)2向量的減法①向量減法的幾何意義已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a即a?b可以表示向量b的終點(diǎn)指向向量②一般地,我們有a當(dāng)且僅當(dāng)a,③向量的加減法滿足交換律和結(jié)合律④若(1)如圖一，若A,B,C三點(diǎn)共線，則x+y=1；(2)如圖二，若點(diǎn)O和點(diǎn)C在AB同側(cè)，則x+y<1；(3)如圖三，若點(diǎn)O和點(diǎn)C在AB異側(cè)，則x+y>1；圖一圖二圖三特殊的，在三角形?ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則AD=3向量數(shù)乘運(yùn)算一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量

a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa它的長度與方向規(guī)定如下：(1)λ(2)當(dāng)λ>0時,λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與4兩個向量共線共線定理非零向量a與向量b共線?有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使得b當(dāng)λ>0時,λa的方向與a當(dāng)λ<0時，λa的方向與a當(dāng)λ=0時，λa【題型一】向量的相關(guān)概念【典題1】給出下列命題①向量

AB與CD是共線向量，則②若a,b滿足|a|>|b|且③若a=b④若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；⑤若|a|=|b⑥若a∥b，b∥c，則a∥其中正確命題數(shù)是哪些？【題型二】共線定理【典題1】點(diǎn)C在直線AB上，且|AC|=23|CB|【題型三】向量的加減法【典題1】若|a+b|=|a?【典題2】在△ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，BE與CD交于點(diǎn)P，設(shè)AB=AC=b，則APA．13a+13b B．2【典題3】點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，且滿足OA+2OB+4OC=0，則△ABC鞏固練習(xí)1(★)對下列命題：(1)若向量a與b同向，且|a|>|b(2)若向量|a|=|b|，則a(3)對于任意向量|a|=|b|，若a與(4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；(5)向量a與b平行，則向量a與b方向相同或相反．其中正確的命題的個數(shù)為.2(★)在△ABC中，AB=a，AC=b，若點(diǎn)D滿足BD=23(★★)如圖，在?OACB中，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中4(★★)如圖，在△ABC中，AD=14AB，AE=12AC5(★★★)設(shè)G是△ABC的重心，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，若aGA+bGB+cGC6(★★★)已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足OA+2OB+3OC=0，△BOC的面積為S17(★★★)在△ABC中，E,F分別為AB,AC中點(diǎn)，P為線段EF上任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x,y滿足PA+xPB+yPC=0，設(shè)△ABC,△PCA,△PAB的面積分別為S,S1,S28(★★★)已知G是△ABC的重心，直線EF過點(diǎn)G且與邊AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，AE=αAB，AF=βAC，則9(★★★)已知平面向量a，b，c滿足：|a|=|b|=|c|=1，a⊥b，則平面向量的概念與運(yùn)算知識點(diǎn)一平面向量的概念1向量的概念既有大小又有方向的量，常用AB，a等表示；向量AB的長度是PS平面向量在平面內(nèi)是可以任意移動的.2常見向量的概念名稱定義特點(diǎn)零向量長度為0的向量零向量的方向是任意的單位向量長度為一個單位長度的向量與AB共線的單位向量是相等向量長度相等且方向相同的兩個向量相等向量有傳遞性平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量a，記作零向量和任何向量平行相反向量長度相等方向相反的向量a的相反向量記作?PS(1)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；(2)平行向量無傳遞性！(因為有0(3)因為平面向量在平面內(nèi)是可以任意移動的，與線段不一樣，所以向量沒有固定的起點(diǎn)和終點(diǎn)，兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念.圖一線段AB和CD,在①中是AB//CD，在②中是AB、CD共線；(圖一)圖二向量AB和CD,對于向量來說共線與平行是同一概念，故①和②(圖二)知識點(diǎn)二平面向量的運(yùn)算1向量的加法①向量加法的三角形法則已知向量非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A,作AB=a,BC=b，則向量②向量加法的平行四邊形法則若AB=a,AD=b，則向量

AC叫做

作圖(ABCD是平行四邊形)2向量的減法①向量減法的幾何意義已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a即a?b可以表示向量b的終點(diǎn)指向向量②一般地,我們有a當(dāng)且僅當(dāng)a,③向量的加減法滿足交換律和結(jié)合律④若(1)如圖一，若A,B,C三點(diǎn)共線，則x+y=1；(2)如圖二，若點(diǎn)O和點(diǎn)C在AB同側(cè)，則x+y<1；(3)如圖三，若點(diǎn)O和點(diǎn)C在AB異側(cè)，則x+y>1；圖一圖二圖三特殊的，在三角形?ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則AD=3向量數(shù)乘運(yùn)算一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量

a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa它的長度與方向規(guī)定如下：(1)λ(2)當(dāng)λ>0時,λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與4兩個向量共線共線定理非零向量a與向量b共線?有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使得b當(dāng)λ>0時,λa的方向與a當(dāng)λ<0時，λa的方向與a當(dāng)λ=0時，λa【題型一】向量的相關(guān)概念【典題1】給出下列命題①向量

AB與CD是共線向量，則②若a,b滿足|a|>|b|且③若a=b④若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；⑤若|a|=|b⑥若a∥b，b∥c，則a∥其中正確命題數(shù)是哪些？【解析】對于①，對于向量來說，共線向量即是平行向量，所以向量

AB與CDA、B、C、D四點(diǎn)不一定在一直線上，①錯誤；對于②，向量是有方向的量，不能比較大小，其模才能比較大小，故②錯誤；對于③，若a=b,b=c對于④，向量是可以平移的矢量，當(dāng)兩個向量相等時，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故④錯誤；對于⑤a=b只說明兩個向量的模相等，對于⑥當(dāng)b為零向量時不成立，零向量與任何向量都平行.【點(diǎn)撥】①向量是可以平移的矢量，沒有固定的起點(diǎn)，共線向量即是平行向量,與線段、直線不一樣；②零向量與任何向量都平行，在判斷向量關(guān)系時要注意零向量的特殊情況.【題型二】共線定理【典題1】點(diǎn)C在直線AB上，且|AC|=23|CB|【解析】(點(diǎn)C在直線AB上，注意分類討論)(1)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，如圖所示；∵AC=2若AB=λBC，則(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段BA延長線上，如圖所示；∵AC=2若AB=λBC，則【點(diǎn)撥】體會下線段比與向量比之間的相互轉(zhuǎn)化，若AB=λBC，則λ=|AB|【題型三】向量的加減法【典題1】若|a+b|=|a?【解析】構(gòu)造平行四邊形ABCD，|a+b所以平行四邊形ABCD的對角線相等，即ABCD是矩形，故a與b的的夾角為90°.【典題2】在△ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，BE與CD交于點(diǎn)P，設(shè)AB=AC=b，則APA．13a+13b B．2【解析】方法1首尾相接法AP=AB=AB+λ=AB+λ=1?λAB+(利用平幾知識點(diǎn)求出λ)如圖過點(diǎn)E作EF//AB,∵E、D是中點(diǎn)，∴EF=1∴BPBE=∴AP方法2構(gòu)造平行四邊形法過點(diǎn)P分別作PH//AB,PG//AC,則四邊形AGPH則AP=其中x=AG(問題化為線段比值問題)由方法1可得BP∵x=AGAB∴AP方法3△ABC中，D,E分別為邊AB,AC的中點(diǎn)，∴AD∵B,P,E三點(diǎn)共線，設(shè)AP=m∵C,P,D三點(diǎn)共線，設(shè)AP=n∴m=12∴AP=1【點(diǎn)撥】①本題是用向量AB=a、②方法1是利用三角形法則，“首尾相接法”,思路是：先找到一個含AP的封閉圖形，比如?ABP,則有AP=AB+BP，接著BP③方法2是構(gòu)造平行四邊形法：構(gòu)造鄰邊在AB,AC所在的直線上，AP為對角線的平行四邊形④方法3是使用向量性質(zhì)：在?ABC中，點(diǎn)D在邊BD上，則存在x，使得AD=【典題3】點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，且滿足OA+2OB+4OC=0，則△ABC【解析】如圖所示，作OD=4OC，以O(shè)A，OD為鄰邊作平行四邊形OAED，連接OE交AC于點(diǎn)N∵滿足OA+2∴OA∴OE由△OCN~△EAM可得ONNE(利用平行四邊形性質(zhì)，注意圖象中的8字型，A字型)∴|ON|=15|OE|=∴△ABC的面積與△AOC的面積之比是7:2．(利用等高，三角形面積的比等于底的比，S△【點(diǎn)撥】①線段的比與向量之間的比可相互之間轉(zhuǎn)化，比如題目中由ONNE=14?ON=②求解兩個三角形的面積之比，可利用兩個三角形等高，把問題轉(zhuǎn)化為求解邊長之比.③類似題中已知條件OA+2OB+4OC=0是含三個向量的等式，可努力轉(zhuǎn)化為兩個向量的關(guān)系鞏固練習(xí)1(★)對下列命題：(1)若向量a與b同向，且|a|>|b(2)若向量|a|=|b|，則a(3)對于任意向量|a|=|b|，若a與(4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；(5)向量a與b平行，則向量a與b方向相同或相反．其中正確的命題的個數(shù)為.【答案】1【解析】(1)向量不能比較大小，故不正確；(2)向量|a→|=|b(3)由相等向量的定義可得其正確；(4)錯誤，0→(5)若其中一個是0→故真命題只有(3)即1個；故答案為：1．2(★)在△ABC中，AB=a，AC=b，若點(diǎn)D滿足BD=2【答案】2【解析】方法一首尾相接法AD方法二（構(gòu)造平行四邊形）過D作DE//AB，作DF//AC,易得AEDF是平行四邊形，且AE=23AC,3(★★)如圖，在?OACB中，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中【答案】7【解析】因為OF→=OB所以O(shè)A→=6又OC→所以m=45，n故m+n=74(★★)如圖，在△ABC中，AD=14AB，AE=12AC【答案】1【解析】設(shè)CF→=kCD→=k(AD∵BF→=BCBE→∵BF→∥BE→，∴BF→=λBE∴14k?1=?λ1?k=12∴AF→5(★★★)設(shè)G是△ABC的重心，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，若aGA+bGB+cGC【答案】等邊三角形【解析】∵G是△ABC的重心，GA→=?23×又aGA→+bGB→∴（a－b）AB→+（a－c）AC→+（b－∴a－b=a－c=b－c，∴a=b=c．∴△ABC的形狀是等邊三角形．6(★★★)已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足OA+2OB+3OC=0，△BOC的面積為S1【答案】1【解析】如圖所示，延長OB到D使得BD=OB，延長OC到E使得CE=2OC，∵滿足OA→∴點(diǎn)O是△ADE的重心．∴S△OAD=S△ODE=S△OAE．S△OAB=12S△OAD，S△OAC=13S△OAE，S△OBC=∴S1=118S△ADE，S2=S△OAB+S△OAC+S△OBC=13S17(★★★)在△ABC中，E,F分別為AB,AC中點(diǎn)，P為線段EF上任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x,y滿足PA+xPB+yPC=0，設(shè)△ABC,△PCA,△PAB的面積分別為S,S1,S2【答案】5【解析】如圖所示．∵點(diǎn)P在△ABC的中位線EF上，∴S△BPC∴S1+S∴12S≥2S1S2，當(dāng)且僅當(dāng)S1=此時點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)．以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，連接PD交BC于點(diǎn)O．則PB→化為PA→∵PA→+xPB∴2x+3y=52．故答案為：8(★★★)已知G是△ABC的重心，直線EF過點(diǎn)G且與邊AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，AE=αAB，AF=βAC，則1α【答案】3【解析】如圖所示，∵三點(diǎn)E，G，F(xiàn)共線，