PAGEPAGE111.3證明【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．干脆證明(1)定義：干脆從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法．(2)一般形式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(本題條件,已知定義,已知公理,已知定理))?A?B?C?…?本題結論．(3)綜合法①定義：從已知條件動身，以已知的定義、公理、定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止．這種證明方法常稱為綜合法．②推證過程eq\x(已知條件)?…?…?eq\x(結論)(4)分析法①定義：從問題的結論動身，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止．這種證明方法常稱為分析法．②推證過程eq\x(結論)?…?…?eq\x(已知條件)二．間接證明(1)常用的間接證明方法有反證法、同一法等．(2)反證法的基本步驟①反設——假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真．②歸謬——從反設和已知條件動身，經過一系列正確的邏輯推理，得出沖突結果．③存真——由沖突結果，斷定反設不真，從而確定原結論成立．【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一綜合法【例1】已知，且，求證：.【答案】證明見解析【解析】由,得，即，所以，所以，故原等式成立．【舉一反三】1．已知函數f(x)=(x（1）若函數f(x)在[1,+∞)上是增函數，求正數a的取值范圍；（2）當a≠1時，設函數f(x)的圖象與x軸的交點為A，B，曲線y=f(x)在A，B兩點處的切線斜率分別為k1，k2，求證：k1【答案】（1）(0,1]；（2）見解析.【解析】（1）∵f(x)=(xa-a)設g(x)=xln∵函數f(x)在[1,+∞)上是增函數，∴g(x)=xlnx+x-a2≥0在[1,+∞)設h(x)=xlnx+x，則∵x≥1，∴h'(x)≥2，∴h(x)=xln∴h(x)≥1，由a2≤xlnx+x在[1,+∞)上恒成立，得∴0<a≤1，即a的取值范圍是(0,1（2）∵a≠1，∴由f(x)=(xa-a)lnx=0，得x∵f'(x)=xlnx+x-a2ax設F(x)=lnx-x+1，則F'(x)=1-xx，∴0<x<1時，F'(x)>0，x>1時，F'(x)<0，所以∵a>0且a≠1，∴a2>0且∴F(a2)=lna2．若a，b，c是不全相等的正數，求證：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)>lga＋lgb＋lgc.【答案】見解析【解析】證明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)>0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)>0.由于a，b，c是不全相等的正數，∴上述三個不等式中等號不能同時成立，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)>abc>0成立．上式兩邊同時取常用對數，得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(c＋a,2)))>lg(abc)，∴lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)>lga＋lgb＋lgc.考向二分析法【例2】11．已知，，且，試用分析法證明不等式．【答案】見解析【解析】要證，只需證，只需證，因為只需證，只需證，即證或，只需證，而由，可得，所以．【舉一反三】1．（1）已知a>0，b>0，用分析法證明：ab（2）已知a>0，用分析法證明：a2【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．【解析】（1）要證ab只需證aa+bb因為a>0，b>0，a-b與a-所以a-ba-b（2）要證a2+1因為a>0，故只要證a2即證a2從而只要證2a2+即證a2+1a2考向三反證法【例3】設，且，，，用反證法證明：至少有一個大于。【答案】見證明【解析】證明：（反證法）假設結論不成立，即，而這與相沖突故至少有一個大于。【套路總結】【套路總結】應用反證法證明數學命題，一般有以下幾個步驟：第一步：分清命題“p?q”的條件和結論；其次步：作出與命題結論q相反的假設綈q；第三步：由p和綈q動身，應用正確的推理方法，推出沖突結果；第四步：斷定產生沖突結果的緣由在于起先所作的假設綈q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明白命題p?q為真．所說的沖突結果，通常是指推出的結果與已知公理、已知定義、已知定理或已知事實沖突，與臨時假設沖突以及自相沖突等都是沖突結果．【舉一反三】1．（1）已知，試用反證法證明：中至少有一個不小于1；（2）已知實數，，，滿意，，求證：，，，中至少有一個是負數．【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．【解析】（1）假設均小于1，即，則有，而，與假設沖突，所以假設不成立，故中至少有一個不小于1．（2）假設，，，，，這與相沖突，所以原假設不成立，故中至少有一個是負數．考向四數學歸納法【例4-1】用數學歸納法證明：eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2n2n＋2)＝eq\f(n,4n＋1)(n∈N*)．【答案】見解析【解析】證明①當n＝1時，左邊＝eq\f(1,2×1×2×1＋2)＝eq\f(1,8)，右邊＝eq\f(1,4×1＋1)＝eq\f(1,8)，左邊＝右邊，所以等式成立．②假設n＝k(k∈N*，k≥1)時等式成立，即有eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k2k＋2)＝eq\f(k,4k＋1)，則當n＝k＋1時，eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k2k＋2)＋eq\f(1,2k＋1[2k＋1＋2])＝eq\f(k,4k＋1)＋eq\f(1,4k＋1k＋2)＝eq\f(kk＋2＋1,4k＋1k＋2)＝eq\f(k＋12,4k＋1k＋2)＝eq\f(k＋1,4k＋2)＝eq\f(k＋1,4k＋1＋1).所以當n＝k＋1時，等式也成立．由①②可知，對于一切n∈N*等式都成立．【例4-2】用數學歸納法證明不等式：eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)>1(n∈N*且n>1)．【答案】見解析【解析】證明①當n＝2時，eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(13,12)>1成立．②設n＝k(k∈N*，k>1)時，eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,k2)>1成立．由于當k>1時，k2－k－1>0，即k(2k＋1)>k2＋2k＋1，則當n＝k＋1時，eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,k＋12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)＋\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,k2)))＋eq\f(1,k2＋1)＋eq\f(1,k2＋2)＋…＋eq\f(1,k2＋2k＋1)－eq\f(1,k)>1＋eq\f(1,k2＋1)＋eq\f(1,k2＋2)＋…＋eq\f(1,k2＋2k＋1)－eq\f(1,k)>1＋eq\f(1,k2k＋1)＋eq\f(1,k2k＋1)＋…＋eq\f(1,k2k＋1)－eq\f(1,k)＝1＋eq\f(2k＋1,k2k＋1)－eq\f(1,k)＝1.綜合①②可知，原不等式對n∈N*且n>1恒成立．【套路總結】【套路總結】1．由一系列有限的特別現象得出一般性的結論的推理方法，通常叫做歸納法．2．用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題時，其步驟如下：(1)歸納奠基：證明取第一個自然數n0時命題成立；(2)歸納遞推：假設n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立，證明當n＝k＋1時，命題成立；(3)由(1)(2)得出結論．【舉一反三】1．用數學歸納法證明：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)．【答案】見解析【解析】證明①當n＝1時，等式左邊＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝右邊，等式成立．②假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，即1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，那么，當n＝k＋1時，有1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，所以當n＝k＋1時，等式也成立．由①②知，等式對任何n∈N*均成立．2.求證：對一切正整數n,42n＋1＋3n＋2都能被13整除．【答案】見解析【解析】證明①當n＝1時，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．②假設當n＝k(k∈N*)時，42k＋1＋3k＋2能被13整除，則當n＝k＋1時，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，∴當n＝k＋1時也成立，由①②可知，當n∈N*時，42n＋1＋3n＋2能被13整除．【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．用反證法證明命題：“，，，且，則中至少有一個負數”時的假設為A．全都大于等于0 B．全為正數C．中至少有一個正數 D．中至多有一個負數【答案】A【解析】因為原結論為“中至少有一個負數”所以其否定為“中全都大于等于0”所以選A2．利用反證法證明：若，則，假設為()A．都不為0 B．不都為0C．都不為0，且 D．至少有一個為0【答案】B【解析】的否定為，即，不都為0，選B.3．用數學歸納法證明“能被3整除”的其次步中，時，為了運用假設，應將變形為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】假設時命題成立，即：被3整除．當時，故選：A．4．用數學歸納法證明命題“”時,在作歸納假設后,須要證明當時命題成立,即需證明()A．B．C．D．【答案】B【解析】將題目中的，改為，即，故選B.5．數學歸納法證明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．1【答案】D【解析】當n=k時，左邊的代數式為1k+1當n=k+1時，左邊的代數式為1k+2故用n=k+1時左邊的代數式減去n=k時左邊的代數式的結果為：12k+16．（1）求證．（2）設x，y都是正數，且x+y＞2證明：和中至少有一個成立．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）∵=（13+2）-（13+4）=，∴；（2）假設和都不成立，即≥2且≥2，∵x，y都是正數，∴1+x≥2y，1+y≥2x，∴1+x+1+y≥2x+2y，∴x+y≤2，這與已知x+y＞2沖突，∴假設不成立，即和中至少有一個成立．7．計算：，；所以；又計算：，，；所以，．（1）分析以上結論，試寫出一個一般性的命題；（2）推斷該命題的真假。若為真，請用分析法給出證明；若為假，請說明理由．【答案】（1）；（2）真命題【解析】（1）一般性的命題：是正整數，則（2）命題是真命題。因為因為所以.8．已知，求證：（1）；（2）.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）因為，所以，所以得證.（2）欲證明成立，即證明成立，又即證明成立，即證明成立，即證明成立，即證明成立，即證明成立.故不等式成立得證.9（1）用分析法證明；（2）已知為正實數，請用反證法證明：與中至少有一個不小于2．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）要證，只需證，即證，即證，即證14＜18，而14＜18是成立的，，（2）假設結論不成立，則，，即，即.即，沖突！故假設不成立，與中至少有一個不小于2．10．（1）已知，都是正數，并且，求證：；（2）若，都是正實數，且，求證：與中至少有一個成立.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）因為，都是正數，所以，又，所以，所以，所以，即.（2）假設和都不成立，即和同時成立.且，，.兩式相加得，即.此與已知條件相沖突，和中至少有一個成立.11．已知函數及函數g（x）＝﹣bx（a，b，c∈R），若a＞b＞c且a+b+c＝0．（1）證明：f（x）的圖象與g（x）的圖象確定有兩個交點；（2）請用反證法證明：；【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）證明由得①∵,∴∴∴①有兩個不相等的實數根，即兩函數圖像確定由兩個交點,（2）證明：若結論不成立，則≤-2或≥-（I）由≤-2，結合（1）a>0，得c≤-2a，即a+c≤-a，∴-b≤-a∴a≤b這與條件中a>b沖突（II）再由≥-，得2c≥-a，即c≥-(a+c)=b∴b≤c這與條件中b>c沖突故假設不成立，原不等式成立12．已知，其前項和為.（1）計算；（2）猜想的表達式，并用數學歸納法進行證明.【答案】（1）；（2），證明見解析.【解析】（1）計算，.（2）猜想.證明：①當時，左邊，右邊，猜想成立.②假設猜想成立，即成立，那么當時，，而，故當時，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.13．已知數列滿意，．(Ⅰ)求的值，猜想數列的通項公式并用數學歸納法證明；(Ⅱ)令，求數列的前項和.【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)當時，當時，當時，猜想，下面用數學歸納法證明當時，，猜想成立，假設當()時，猜想成立，即則當時，，猜想成立綜上所述，對于隨意，均成立(Ⅱ)由（Ⅰ）得①②由①－②得：14．已知數列，且為該數列的前項和.（1）寫出數列的通項公式；（2）計算，猜想的表達式，并用數學歸納法證明；（3）求數列的前項和的取值范圍.【答案】（1）；（2），證明見詳解；（3）.【解析】（1）依據題意可得；（2）；；；可以看到，上面表示四個結果的分數中，分子與項數n一樣，分母可用項數n表示為.于是可以猜想.下面我們用數學歸納法證明這個猜想.①當時，左邊，右邊，猜想成立.②假設當時猜想成立，即.所以，當時猜想也成立.依據（1）和（2），可知猜想對任何都成立.（3）由（2）知，因為，所以，則，即，所以.15．已知，.（1）當時，分別比較與的大小（干脆給出結論）；（2）由（1）猜想與的大小關系，并證明你的結論.【答案】（1）見解析；（2）見證明【解析】證明（1）當時，，，，當時，，，，當時，，，.（2）猜想：，即.下面用數學歸納法證明：①當時，上面已證.②假設當時，猜想成立，即，則當時，.因為，所以，所以，當時猜想也成立.綜上可知：對，猜想均成立.16（1）用數學歸納法證明：；（2）已知，，且，求證：和中至少有一個小于．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】（1）①當時，左邊，右邊，左邊右邊．②假設時等式成立，即，那么當時，，即當時，等式成立．綜上，．（2）假設，，因為，，所以，，所以，故，這與沖突，所以原假設不成立，故和中至少有一個小于．17．（